浅谈数学命题的推广.pdf

浅谈数学命题的推广 华东师范大学课程与教学系 2 0 0 0 6 2 汪纯中 数学命题一般都由 条件 和 结论 两部 分组成 正确的命题揭示了 条件 与 结论 之间的必然联系 一个数学命题的条件改变 了 其结论也往往随之发生相应的变化 把一 个数学命题中的某些特殊的条件一般化 比如 取消某些条件过强的限制 从而得到更普遍 的结论 叫做数学命题的推广 为推广一个数学命题 可以考虑使用以下 一 些有用的策略 一 选择恰当的解题方法 解决某些数学问题 由于切入点不同 使 用工具不同 思维层次不同等原因 同一个问 题会呈现出风格各异的不同解法 其中有的解 法可能揭示了问题的本质 因而往往会暗示如 何将该命题加以推广 包括推广命题的形式 结论 以及可能的解法 例 1 对于正整数 n 证明 1 2 2 3 1 n n 1 n n 1 n 2 直觉告诉我们可以用数学归纳法来证明 本题 也可以由 n n 1 n n 并利用两 1 个求和 公式 1 2 n 去n n 1 1 二 2 n n n 1 2 n 1 进行证 0 明 我们知道 使用数学归纳法证明一个命 题 仅证明了结论的正确性 而并没有指出这 个结论是如何得到的 而使用后一证明方法 需要知道 1 2 n 的结果 因此这两种 证明方法虽然都很容易想到 但却不能帮助我 们对该命题进行推广 例如 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 等于什么 无法直接回 答 注意到用数学归纳法证明本题的过程中 会得至 0 1 2 2 3 k k 1 k 1 k 2 1 1 2 1 2 1 2 3 那么就有 1 2 1 1 2 3 一 1 1 k 2 受此式启发 我们还可以用拆项法 来证明本题 证明 在等式 1 1 1 2 一 五一1 五 五 1 中分另 取五 1 2 n 并相加 得 1 2 2 3 n n 1 吉 1 2 3 一 0 1 2 1 2 3 4 一 吉 1 2 3 1 n n 1 n 2 一 一1 1 1 n n 1 n 2 显然 这个证法比前两种证法都更为简 捷 而且若利用该证法中使用的拆项方法 并 进 行 类 比 我 们 有 k k 1 2 去 1 2 3 一 1 一 1 k k 1 2 由此可得本题的一个推广命题 1 2 3 2 3 4 n n 1 n 2 1 n n 1 n 2 n 3 n v 用完全类似的方法 本题可推广到更为一 般的情形 维普资讯 2 0 0 5 年第 1 期 中学数学研究 1 2 3 2 3 4 1 n n 1 1 n 2 n 一 1 l n n 1 n 1 2 n n N 且 2 例2 命题 口 b 均为正数的充要条件是 口 b 0 且 口 6 0 命题的必要性显然 充分性证明的自然想 法是 a b 0 口 b 同为正数或同为负数 如果 口 b同为负数 则 口 b0 矛盾 口 b同为正数 按照这个证明思路 很难将这一命题推广 到三个数 口 b C 的情形 而如果仅从形式上加 以推广 可能会得到这样的结论 口 b C均为 正数的充要条件是口 b C 0 且 a b c 0 很明显 这一推广命题是错误的 因为 口 b C 0 且 a b c 0 是 口 b C 均为正数 的必要 而非充分条件 一个简单的反例是 口 3 b C 一 1 那么 本例命题的推广结果又是什么呢 让我们进一步探索原命题充分性的其它 证明方法 由于条件 口 b 0 且 a b 0 中 的两个式子 口 b a b 与一元二次方程的根与 系数关系式中的两根和与两根积形式完全一 致 而二次方程与二次函数之间又有密切关 系 从而想到构造一个一元二次函数 厂 戈一口 戈一b 戈 一 口 b 戈 口 6 口 b 0 a b 0 当 0 时 f 0 由此 若f 0 则必有 0 由f 的表达式 知f 口 f b 0 口 0 b 0 这一证明方法给予我们极大的启示 对于 口 b C 三个数 我们可以构造一个一元三次函 数f 一口 b C 0 一 口 b C a b 6 c C O a b c 仿上面思 路 女 口 果 口 b C 0 a b 6 c c 口 0 且 a b c 0 那么当 0 时 应有f 0 又由于f 口 f b 厂 C 0 口 0 b 0 C 0 这样 我们得到了例中命题的一个推广 口 b C 均为正数的充要条件是口 b C 0 口 b 6 c c 口 0 且 a b c 0 进一步 通 过构造 函数 f 一 口 1 戈一口 2 戈一口 戈 一 O 1 0 2 口 n 戈 一 口 1 口 2 口 1 口 3 口 n 一 1 口 n 戈 一 2 一 一1 1 口 2 就可以将命题推广到 一 般情形 口 1 2 n 均为正数的充要条件 是 O 1 0 2 口 n 0 O 1 0 2 O 1 a 3 口n 一1 口 n 0 O 1 0 2 口 n 0 二 改变命题结论的形式 数学命题结论的形式有时对于数学命题 推广的难易程度有很大的影响 有些数学命题 由结论形式很容易进行推 广 例如 对于两个正数的平均数不等式 若 口 b 0 则 着眼于形式 推广 命题应该是 若 口 1 口 2 口 是n n 2 个 正数 则 但另有些数学命题 需要改变结论的形 式 才便于将命题推广 例 3 直角坐标平面内以 1 1 y 1 A 2 2 2 A 3 3 y 3 为顶点的三角形的有向 面积公式为 I X 3 I S i a 专 l Y 1 2 Y 3 l f 1 1 1 f 现将它推广到以 1 1 1 A 2 2 2 A 3 X 3 Y 3 A 4 4 Y 4 为顶 点 的 凸 四边 形 1 2 3 4的有向面积计算公式 连接 2 4 利用上述公式可得 s 四边 I 2A 3 A 4 Si aIA 2 A 4 Si a2A3 A4 1 z I I z X 3 I l Y 1 2 Y 4 l l 2 Y 3 Y 4 l f 1 1 1 f f 1 1 1 f 维普资讯 2 中学数学研究 2 0 0 5 年第 l 期 吉 1 l X2 1一 1 3 X2 X41Yl Y2 Y4 Y3 Y2 Y41 1 1 1 1 1 1 1 l l l l l l l l l l l l X1 X3 X2轧 y 4 1 1 1 l l l l一 3 l l 0 1 l S A A IA z A3 1 I yX l 2 I yX 2 3 I 奶 I s 四 边 1A 2 A 3 A 4 S A A1 2A 4 S A A2 3A 吉 c I I I I 1 X 2 yX 3 I X4 j yX2 3 j yX 3 I 轧 I s I yX 2 3 1 的概念可能已经无济于事 这时可以考虑引入 合适的新概念 以使命题的推广得以成功 下 面就是这样一个例子 例4 平面几何中一个定值问题的推广 命题1 正三角形内任意一点到其三边 的距离之和为一定值 这是一个常见题 利用面积方法很容易证 明该命题 且题中的定值为正三角形边上的高 线长度 如果取消边数的限制 则命题 1 可以推广 为如下命题 命题2 正 n 边形内任意一点到其各边 的距离之和为一定值 如果取消平面图形的限制 则命题 1 可以 推广为如下命题 命题3 正四面体内任意一点到其各面 的距离之和为一定值 进一步取消面数的限制 则命题 3 又可以 推广为如下命题 命题4 正多面体内任意一点到其各面 的距离之和为一定值 那么 如果取消 点在三角形内 这一限 制 对命题1 又该如何推广呢 显然 当点在正三角形外部时 该点到三 角形三条边所在直线的距离之和将大于正三 角形边上的高 这一点用面积方法很容易证 明 而且也不是一个定值 因此 取消 点在三 角形内 这一限制 命题1 的结论将不成立 这时 我们可以引入 有向距离 这一新概 念 三角形所在平面上一点 P 若它与该三角 形内部任意一点均在三角形某条边所在直线 的同侧 则定义点P到该边所在直线的距离为 正 若在异侧 则定义距离为负 有了正 负距离的概念 取消 点在三角形 内 这一限制后 命题 1 就可以推广为如下命 题 命题5 正三角形所在平面上任意一点 维普资讯 2 0 0 5 年第 1 期 中学数学研究 3 到其三边所在直线的有向距离之和为一定值 仍可用面积方法证明命题 5 且题中的定 值还是正三角形边上的高线长度 四 使用类比方法 利用不同研究对象之间存在的某些相似 属性 通过类比 有时我们可以将某些数学命 题进行推广 类比作为一种思想方法 它在数 学命题的推广中往往起着十分重要的作用 例5 有这样一个真命题 过抛物线的 焦点作一直线与抛物线交于 A B两点 当A B 与抛物线的对称轴垂直时 A B的长度最短 注意到抛物线是圆锥曲线 圆锥曲线还包 括圆 椭圆和双曲线 而抛物线 椭圆和双曲线 都可以作过焦点的弦 既然抛物线有命题中的 性质 由类比 椭圆和双曲线也可能具有类似 的性质 于是将原命题作如下推广 过圆锥曲线 除圆外 的一个焦点作一直线与圆锥曲线交 于 A 两点 对于双曲线 A 两点应在同一 支上 当A B与圆锥曲线的过焦点的对称轴垂 直时 A B的长度最短 证明略 例 6 在平面几何中有如下结论 若凸 四边形 A B C D的对角线A C与B D互相垂直 则 A B C D AD2 BC2 利用类比方法 我们将它推广到空间 命题 若空间四边形 A B C D的对角线A C 与B D互相垂直 则 A B C D A D B C 证明 过 作 B M j A C 交 A C于 连结 D M A C j B D A C j B M B A C j 平面 B D M 于是 A C j D M 在 R t X A B M和R t X C D M中 AB A M BM C D C M DM A B C D A M BM2 C M2 DM2 在 R t x B C M和R t x D A M 中 BC B M C M AD DM A M BC A D B M C M DM A AB2 C D2 AD2 BC 进一步思考上述命题和它的推广 考虑到 两直线的垂直关系以及线段的长度都可以用 向量的数量积来表达 因此也可以采用向量方 法来解决上述问题 H 一 一 设A B 口 B C b C D c D A d 则 a b c d 0 且有 AC a b C A c d BD b c DB d a 于是 一 A C 口 b b c a b a c I b I 2 b c 0 C A D B c d a c d c a I d I 2 d a 0 两式相加可得 a b a c I b I 2 b c c d c a I d I d a 0 且 口 I 6 I I d I a