浅谈中学数学教学中学生数学观念的树立与培养_樊建先.pdf

2000 年 9 月 第 13 卷 第 3 期 内蒙古教育学院学报 自然科学版 Joumal of Inner Mongolia college of Education Natural Scienec Edition Sep 2000 Vol 13 No 3 浅谈中学数学教学中学生数学观念的树立与培养 樊建先 巴彦淖尔盟教育学院 邮编 015000 中图分类号 G633 6 文献标识码 B 文章编号 1008 7451 2000 03 0070 4 中国教育改革发展纲要 确立了教育由 应 试教育 向 素质教育 转轨的战略思想 由于传统 教育 应试教育的影响是根深蒂固的 由 应试 教育 真正转向 素质教育 困难很大 这种障碍在 某种程度上讲 可以说是来自教师的 因此 成人高 等教育学院要肩负这个重任 认真贯彻落实这一战 略思想 通过继续教育 在广大中学教师头脑中 树 立 素质教育 的观念 通过中学教育的实施者 中学教师 使 应试教育 真正转轨到 素质教育 上 来 数学素养 一词出现在 九年义务教育初中数 学教学大纲 中 指学生经过学校教育所获得的数 学知识 数学能力和数学品质 它是一个能适应未来 社会发展需要的人所必需的素养 而不单单是为解 决数学问题所需具备的素养 一个人的数学素养应 包括三个方面 一是数学知识素养 二是数学能力素 养 三是数学品质素养 数学能力素养与数学品质素 养有机的结合就形成了一个人的数学观念 所谓数学观念 就是人们常说的数学头脑 即人 们对数学的基本看法和概括认识 这些看法和认识 是通过思维活动对数学对象所作出的概括反映 这 是数学思维活动的产物 另一方面 数学观念对于数 学思维活动也有重大影响 学生对数学问题的思维 过程受到观念的指导 监控和制约并能影响其思维 的数量和质量 1 数学观念的具体内容及作用 本文中主要分析四个数学观念 1 1 推理意识 推理意识是指推理与讲理的自觉意识 即遇到 问题时自觉推测 并做到落笔有据 言之有理 这是 数学的严密的逻辑性的反映 数学具有的严密的逻辑性这一特点在中学的数 学中就很明显 所以教师完全可以利用数学教学 使 学生养成自觉推理 讲理的习惯 推理意识包括演绎推理 归纳推理 类比推理的 自觉意识 为什么要培养学生的推理意识呢 波利亚曾说 过这样一段话 严格的证明是数学的标志 这是数 学对于一般文化素养所提供的不可缺少的素养 一 个学生若对数学证明从未留下印象 那他就缺少了 一种基本的思维经历 由他的话我们可知 推理意 识是人们应具有的素养 70 除此之外 培养学生的推理意识还有如下三方 面的作用 有利于形成良好的道德品质 提高实际生活 能力 著名前苏联数学家辛钦曾谈到过 数学教学一 定会慢慢地一步一步地培养年青人一系列具有道德 色彩的特性 这些特性中包括正直和诚实 很显然 培养推理意识正是有助于这两种品质的形成 同时 也能够培养遵纪守法的习惯 尊重真理的习惯与严 肃认真的工作态度 帮助学生体会科学研究的全过程 消除他们 对科学研究的神秘感 树立起自己进行研究 发现的 信心与决心 有助于促进良好的思维品质的形成 这里主要是指能促进培养思维的批判性与组织 性 思维的批判性在科学思维的各种素质中有重要 地位 它表现为不轻率盲从的态度 思维的组织性表 现为记忆的条理性 具有推理意识的学生 能够有意 识地对所学的知识进行逻辑的分析 综合 分类 整 理 把知识系统化 其结果能够长久记忆 迅速再现 有利于运用 归纳推理 例 1 哥德巴赫猜想 1742 年德国数学家哥德 巴赫 1690 1762 根据对于奇数的猜想 21 11 7 3 39 31 5 3 77 53 17 7 461 449 7 5 257 199 5 归纳出一规律 所有大于 5 的奇数 可以分解为 三个质数之和 他把这一猜想告诉了著名数学家欧 拉 欧拉肯定了他的猜想 并以一个更简单的命题提 出 4 以后的每个偶数都可以分为两个质数之和 自 然欧拉也是从此定义入手的 因为 6 3 3 8 5 3 10 7 3 12 7 5 14 3 11 16 13 3 18 11 7 20 13 7 24 17 7 36 31 5 70 53 17 由于欧拉提出的命题可以推出哥德巴赫的命 题 于是后人就把两个命题合成后一个 并称之为 哥德巴赫猜想 我国数学家陈景润 1966 年证明 了 每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及 一个不超过两个质数的积的和 1973 年发表了全 部详细的论证过程 所证明向猜想逼近了一大步 类比推理 例 2 达尔文的一个发现 达尔文的妻子埃玛 是他的表姐 婚后生了十多个子女 个个都体弱多 病 有的终生不育 有一天 达尔文从植物异花受 精和自花受精实验中 得出了异花受精的后代较 优 自花受精的后代较弱的结论 他运用类比推 理 把自花受精和人类近亲结婚相类比 才发现他 的子女体弱多病 乃是由于近亲结婚的结果 他的 发现进化论已被人类繁衍的实践证明为真理 1 2 抽象意识 抽象意认是指学生在学习数学的过程中应形成 如下思维习惯 从本质上看问题 对于复杂的事物 现象 有意识地区分主要因素与次要因素 本质与表面现 象 从而抓住本质解决问题 自觉地把适当问题 化为数学问题 即自觉地进行抽象概括 建立数学 模型的习惯 这意味着对事物现象的结构 事物之 间或事物内部各元素之间的敏感 其中包括对数量 及形状的敏感 抽象意识是数学的抽象性的反映 数学的抽象 性在中学数学中有明显的表现 数学中常用的抽象 化手段有等置抽象 理想化抽象 实现可能性的抽 象 它们在数学概念的形成过程中是必不可少的 因此数学教学尤其是概念教学中 教师应有意识地 提供机会 让学生体会 将抽象思想形成抽象意 71 浅谈中学数学教学中学生数学观念的树立与培养 识 培养抽象意识有助于培养思维的深刻性以及抽 象概括能力 我们知道 社会生活是复杂的 学生走向社会 以后 在生活中 工作上都会碰到许多意想不到的 棘手的问题 要想妥善处理这些问题 就不能被表 面现象所迷惑 而应具有透过现象抓住本质的思维 习惯与一定的能力 即看问题要有一定的深度 也 是与抽象意识相吻合的 具有抽象意识有助于解决实际问题 一个著名 的例子是欧拉解决哥尼斯堡七桥问题 要想使中学 毕业生在实际工作中遇到问题时 运用某种理论来 解决 就必须培养它们的抽象意识 起码要消除它 们对建立抽象数学模型的神秘感 使它们正确认识 抽象与具体的关系 1 3 整体意识 整体意识是指全面地从全局上考虑问题的习 惯 这是能够体现数学的辩证思维特性的一种数学 观念 数学自身就是一个统一的整体 中学数学也构 成一个完整的知识系统 同时中学数学中许多内容 也为学生形成整体意识提供了知识条件 比如分类 问题 中学数学中运用分类的一个突出例子是绝对 值概念 要正确分类 需要把握整体的情况 需要 把握部分与整体的关系 因此 这是一种培养整体 意识的好材料 培养整体意识 不能仅强调一个整体 还要强 调本与局部的关系 整体与局部的相对统一 整体 与结构的关系 学生学习每一门课程都应力求从整 体上把握课程内容 然而 值得指出的是 掌握整 体并不是要求掌握全部细节 最根本的是要掌握某 些关键的 点 和 线 以便能够结成一张网 覆盖全部内容 这张网就是结构 结构是整体的骨 架 弄清了结构就弄清了整体 如上所述我们知道 学生有了整体意识 无论 是对他们现在的学习 还是对于他们以后解决实际 问题 都能起到观念上指导作用 具有整体意识以后 人们的思维方式可能有如 下变化 由着重对事物单方面的研究 转向着重对 事物多方面的整体研究 由着重对事物实体的研 究 转向着重对事物的各种类型的联系和结构的研 究 这种思维方式显然比以前更科学 1 4 化归意识 化归意识是指在解决问题的过程中 有意识的 对问题进行转化 变为已经解决或易于解决的问 题 化归意识还意味着用联系 发展的 运动变化 的眼光观察问题 认识问题 客观世界是充满矛盾的同一体 是具有普遍联 系的 事物之间又是在一定条件下相互转化的 事 物是处于运动变化之中的 客观世界的这些特性 要求我们在观察问题 处理问题具有化归意识 数学是一个有机整体 它的各个部分之间存在 着概念的亲缘关系 使用着相同的逻辑工具 数学 内部的各种联系为问题的转化提供了条件 化归思 想 无论对于实际生活还是工作 学习都能给予一 定的启示 比如 数论中我们研究是关于整数的问 题 即离散的问题 但是用联系的 运动的观点看 问题 就能够看到离散的量不过是某一连续过程中 的瞬时状态 从而把离散的问题转化为连续的问 题 这种转化常能解决一些较难的问题 数学中的无限到有限的化归 数与形的互化 曲线到直线的化归 空间到平面的化归等 解决了 许多难以解决的问题 数学中的函数 对应 同构 的概念突出地反映了联系的特点 成为化归的有力 工具 化归意识的培养不仅有助于解决实际问题 而 且对培养思维的灵活性与逆向思维都起到促进作 用 一个人的思维是否具有灵活性 关系到他能否 迅速妥善地处理问题 强调化归意识 能使学生意 识到事物是多方联系的 解决问题的途径不是单一 72 浅谈中学数学教学中学生数学观念的树立与培养 的 从而提醒他们自觉地建立联想 调整思维方 向 2 在数学教育中发展和培养数学观念 数学教育中发展和培养学生的数学观念是否可 行呢 我们认为是可行的 主要有两个依据 一是 数学观念具有普适性和共有性 数学观念存在于学 生的思维活动中 如化归意识可以说 人皆有之 每个学生都有化归的体验和认识 尽管有时这种认 识或观念是肤浅或无意识的 但是 它既可以在思 维活动中得到应用 获得效益 又可以在认知过程 中不断发展和深化 此外 数学教材中 存在大量 的可供抽象概括的具体素材 并且经抽象概括后又 有广泛的应用领域 因此 并且经抽象概括后又有 广泛的应用领域 因此 学生接受这些观念并不是 十分困难的事 另一方面 既然数学观念是人们长 期思维活动的产物 因而 它具有社会共有性 数 学观念具有数学知识的某些基本特征 可以把数学 观念当作知识那样传授给学生 并且可用语言来描 绘它 解释它 二是数学观念具有显著的个体特 征 数学观念是个体思维活动的产物 它反映了学 习者的思维 观点 方法 态度和习惯等个体特 征 可以说世界上不存在具有完全相同数学观念的 两个人 因此 学生尽管具有某些知识结构的数学 观念 但不通过自己独立的思维活动 是不可能形 成和发展为带有个人特色的数学观念 只有通过其 自身的心理活动 把知识结构和数学观念与个人的 经历 经验 心理体验结合起来 才能形成具有个 性特色的生动活泼的数学观念 即认知结构的数学 观念 由于现实生活中存在着这两种不同结构的数 学观念 因而 在教学中我们就可以把知识结构的 数学观念象知识一样 灌输给学生 先让他们构造 起大体的框架 当然这种框架对学生来说可能是空 洞的 未被理解的 然后再通过学生自己的思维活 动 逐渐理解它 检验它 丰富它并内化为认知结 构的数学