福州三中2012-2013学年高三校模拟考试数学(理科).pdf

福州三中 2012 2013 学年高三校模拟考试 数学 理工类 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 其中第 卷第 21 1 2 3 题为选考题 请考生根据要求选答 其它题为必考题 考生作答时 将答 案答在答题卡上 在本试卷上答题无效 第 卷 选择题共 50 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题意要求的 1 已知集合 1 xxM 集合 02 则NM I等于 A 2 2 xxxN 1 xx B 10 x0 x C 2 x xx 2 设等差数列 n a的前n项和为 n S 若 2 a 4 a是方程03的两个根 则 5 S等于 A 20 B 10 4 2 xx C 10 D 20 3 已知i是虚数单位 R a 则 1 a 是 i i a a 为纯虚数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 已知0 a 0 b 直线01 byax是圆4 1的一条对称 轴 则ba 1 22 yx 的最大值等于 A 2 B 1 C 2 1 D 4 1 5 已知函数 1 0 0 0 1 0 x f xx x C 4 n D 8 n 7 某人发现表停了 他打开收音机 想听电台报时 则等 待报时的时间不多于 10 分钟的概率等于 A 12 1 B 10 1 C 6 1 D 3 1 8 已知几何体的三视图如右图所示 它们都是直角边长等于1 的等腰直角三角形 则这个几何体的表面积等于 A 2 B 2 23 C 4 D 12 9 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 b 的右焦点为F O为原点 在椭圆上存在一 个点 a P使得 OFP为等边三角形 则椭圆的离心率为 A 13 B 32 C 1 2 5 D 2 15 10 在平面直角坐标系xOy中 定义 11 yx 22 yx两点之间的 直角距离 为 MN MN 21 yy 对于以下结论 其中正确的序号是 O为坐标原点 满足条件 21 xx 1 OP的点P的轨迹围成的图形的面积为 2 设 1 1 A B为直线032 y上任意一点 则xAB的最小值为2 O为坐标原点 M为曲线2 2 1 2 1 yx上任意一点 则OM恒等于2 A B C D 第 卷 非选择题共 100 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡相应位置 11 已知向量 2 sin a 1 cos b 且ba 则 2tan 12 若 8 8 则 8 2 210 8 1 xaxaxaax L 321 aaaa L 13 若点 yx满足则函数yx的最小值等于 1 6 y xy yx z 2 14 曲线C 2 xy 在1 1点处的切线l与曲线C及x轴围成的封闭图形的面积 等于 15 如图给出四个函数图象 它们分别与下列的一个现实情境相匹配 y x O O x y O x y O x y 情境 A 根据乘客人数 每辆公交车一趟营运的利润 情境 B 被称为 经历春夏秋冬四季 的福州某一天每一时刻的气温 情境 C 按时间记录的某一个减肥失败者的体重 情境 D 按年度记录 平均增长率控制在某一范围的人口数 其中情境 A B C D 分别对应的图象是 按序填写正确图象的序号 第 2 页 共 10 页 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 16 每天的 P 值是空气质量的重要指标 空气质量级别与 P 值范围对应关系如下表所 示 为了了解某市 2013 年的空气质量 随机抽取了该市 2013 年 10 天的 P 值数 据 绘制成茎叶图如下图所示 试估计该市 2013 年 P 值的日平均值 把频率视作概率 求该市在后续 3 天时间里至少有 1 天空气质量超标的概 率 从这 10 天的 P 值数据中任取 3 天的数据 将其中空气质量达到一级的天 数记为 求 的分布列和数学期望 17 已知R a 函数xln2 2 讨论 xf的单调性 是否存在a的值 使得方程3 axxf xf有两个不等的 实数根 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理 由 18 如图 某简单几何体的一个面ABC内接于圆M AB是 圆M的直径 BECF BE平面ABC 且2 AB 1 AC 7 CF 求证 EF BE AC 当CF为何值时 平面AEF与平面ABC所成的锐角取得最小值 E C F M B A 19 已知双曲线C的中心在原点且经过点2 D 0 1 m2 1 2 m2 分别是两条渐近线的方向向量 求双曲线C的方程 如图所示 椭圆 1 1 2 y的左顶点为 4 2 x A 经过点 0 的直线l与椭圆交于 5 6 BM N两点 试判断AN 是否为定值 并证明你的结论 双曲线C或抛物线 0 p是否也有类似 的结论 若是 请选择一个曲线写出类似结论 不要求书写求解或证明过程 AM 2 2 pxy N M B A y xO 第 3 页 共 10 页 20 如图 准备在扇形空地AOB上修建一个山水景观OPQ 已知 3 2 AOB km1 点P在扇形弧上 OA交OB于点Q 记xPOAOAPQ 当Q是OB中点时 求PQ的长 求使山水景观OPQ的面积S最大时x的值 为了方便路人休闲行走 要在扇形空地上铺 设一条从入口A到出口B的观光道路 道路由弧 AP 线段PQ以及线段QB组成 怎样设计才能使 得观光道路最长 x Q P B O A 21 本题有 1 2 3 三个选答题 每题 7 分 请考生任选 2 题作答 满分 14 分 如 果多作 则按所做的前两题计分 作答时 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑 并将选题号填入括号中 1 本题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy内 变换 1 将每个点 yx沿着与x轴平行的方向平移 y2个单位变成点 P 变换 2 将点 yx变为 yx 其坐标变换公式为 y 写出 1 的坐标变换公式及 1 y x 2 x 2 所对应的二阶矩阵A B 求曲线14 C依次经过 1 和 2 22 yx 变换作用后的曲线 C的方程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy内 直线l的参数方程是 3 2 5 4 5 xt yt t为参数 以O为 极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C的极坐标方程为2sin 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程 设直线l与x轴交于点M 点N在曲线C上 求M N两点间距离 的最小值 3 本小题满分 7 分 选修 4 5 不等式选讲 设函数xx2 2 证明 对任意R MN xf x 62 x恒成立 解不等式 2 xf 1 x xf x 第 4 页 共 10 页 福州三中 2012 2013 学年高三校模拟考试数学 理科 参考答案 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 2 3 4 5 A C A D B 6 7 8 9 10 B C D A B 二 填空题 每小题 4 分 共 20 分 11 3 4 12 1 13 3 14 12 1 15 三 解答题 共 80 分 16 本小题满分 13 分 估计该市 2013 年 P 值的日平均值 45 10 78625248464435303025 X 3 分 依题意 1 天空气质量超标的概率 10 1 p 所以 1 天空气质量未超标的概率 10 9 1 pp 5 分 依题意 空气质量是否超标相互独立 该市在后续 3 天时间里至少有 1 天空气质量超标的概率 271 0 1 3 pP 8 分 的可能取值为 3 2 1 0 这 10 天的 P 值数据中空气质量达到一级的天数共有 4 天 所以 30 1 3 3 10 3 4 C C P 10 3 2 3 10 1 6 2 4 C CC P 2 1 3 10 2 6 1 4 C CC P 1 6 1 0 3 10 3 6 C C P 所以 的分布列如下表 11分 3 2 1 0 P 30 1 10 3 2 1 6 1 第 5 页 共 10 页 的数学期望 第 6 页 共 10 页 5 6 6 1 0 2 1 1 10 3 2 30 1 3 E 13分 17 本小题满分 13 分 x ax x axxf 222 2 2 1 分 当时 0 x 0 a0 a0 xf 解得 a a x 当x变化时 与的变化情况如下表 所以函数在 x f xf x f 0 a a 内单调递减 在 3 xf a a 内单调递增 6 分 存在 使得方程有两个不等的实数根 理由如下 由 可知当 e 0 2 0 a a时 在 xf 0 上单调递减 方程3 xf不可能有 两个相等的实数根 当时 根据函数的单调性可知 使得方程0 a3 xf有两个不等的实数根 等价于函数的极小值3 a a f 10分 即3 e 0 2 ln1 a a a a f 解得 所以的取值范围是 13分 2 e a0 aaa m m n 3 73 2 a n n 2 2 a cos m 28 2 a 因为24247 当且仅当2 752 a a时等号成立 所以 4 2 24 3 cos n CF时 平面AEF与平面ABC所成的锐角最小 13分 19 本小题满分 13 分 两条渐近线的方程为xy 2 1 依题意2 a 所以1 b 双曲线方程为1 y 4 分 4 2 x 2 ANAM 为定值0 理由如下 当直线l的斜率不存在时 l的方程为 5 6 x 求得 5 4 5 6 M 5 4 此时 5 6 N 0 5 分 当直线l斜率存在时 l的方程可设为 5 4 5 4 5 4 5 4 AN AM 5 6 xky 第 7 页 共 10 页 由 5 6 1 4 2 2 xky y x 得0100 显然0 记 11 yx 22 yx 则 144240 25100 2222 kxkxk MN 25100 240 2 2 21 k k xx 25100 100144 2 2 21 k k xx 7 分 25100 64 25 36 5 6 5 6 5 6 2 2 2 2 2121 2 211 k xxxxkxy k k 所以 xy 2 2 2211 yxyxANAM 0 25100 64 4 25100 240 2 25100 100144 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 212121 2121 k k k k k k yyxxxx yyxx 综上所述 ANAM 为定值0 10分 双曲线C 1 4 2 x 2 y的左顶点为A 经过点 0 3 10 B的直线l与双 曲线C交于M N两点 则ANAM 为定值0 13分 说明 1 必须指出B点坐标 但可以不说具体定值 2 对双曲线而言 与右顶点相关的点为 0 px 3 10 2 3 抛物线也有类似结论 抛物线 0 p的顶点为O 经过点 0 2 pB的直线l与抛物线交于 2 y M N两点 则ONOM 为定值0 20 本小题满分 14 分 当Q是OB中点时 2 1 OQ 3 1 第 8 页 共 10 页 1PQO OP 在 OPQ中 由余弦定理得cos2 222 3 OP 解得 PQ QO PQ QO 4 131 PQ 4 分 在 OPQ中 由正弦定理得 3 sin 3 2 OP xsin PQ 所以 3 2 sin 3 32 xPQ 3 2 0 x 12 3 6 2sin 6 3 4 1 2cos 4 1 2sin 4 3 3 3 sin sin 2 1 cos 2 3 3 3 sin 3 2 sin 3 3 sin 2 1 x xx xxx xx xPOPQS 所以当1 6 2sin x 4 3 max S 此时 3 x 9 分 设观光道路长为 xf 在 OPQ中 由正弦定理得 3 sin sin OP x OQ 所以xOQ sin 3 32 3 0 x sin 3 32 1 3 x 2 sin 3 32 xf x x 即1sin x 3 3 cos xf xx 3 0 x xxx1 f 3 3 si