离散数学的实例化概念教学法.pdf

第 16 期 计 算 机 教 育 2011 年 8 月 25 日 Computer Education No 16 Aug 25 2011 57 文章编号 1672 5913 2011 16 0057 03 中图分类号 G642 文献标识码 A 离散数学的实例化概念教学法 马 慧 盛艳秀 徐建良 刘颖健 中国海洋大学 信息科学与技术学院 山东 青岛 266100 摘 要 针对离散数学教学中理论与应用结合困难的现状 为增强学生对抽象理论及具体应用的理解 提出 用实例增强概念理解 的教学方法 在讲解新概念之前先介绍其应用背景 以具体例子阐述其理论细节 通过选择合适的例子 比较前后概念 引导学生建立完整的知识网络 关键词 离散数学 概念 实例 教学方法 离散数学 Discrete Mathematics 又称为离散数 学结构 Discrete Mathematical Structures 是现代数学 的重要分支 整个计算机学科的专业基础课 1 2 同 时也是信息类专业的重要专业课程 离散数学属于专 业数学的范畴 研究离散量的结构和相互间的关系 充分描述了计算机科学离散性的特点 计算机求解的 基本模式是 实际问题 数学建模 算法设计 编程实现 离散数学识培养学生运用离散结构作 为问题的抽象模型 进而构造算法 解决问题 1 课程特点与教学难点 离散数学的课程内容高度抽象 并且强调证明问 题 它的大多数应用来自于计算机科学 学习该课程 的学生超过半数来自计算机专业 课程的特点决定了 离散数学是一门既讲究基础理论 又注重实际应用的 学科 课程特点如下 同时也是教学的难点 3 7 1 内容抽象 概念众多 离散数学使用数学化的表达方式 理论性强 逻 辑严密 对于学生而言 从习惯其表达方式到熟练运 用要经历一个较长的过程 离散数学理论表达的基础 是大量严密的概念 对概念的理解程度决定了对课程 内容的理解程度 大量抽象的概念也是学生学习的主 要困难 往往在授课过程中 学生反映对以前的概念 不理解 对新学的知识难以接受 学生感觉离散数学越 学越难 理论在不断加深 因此要重视对概念的教学 2 在后续课程中应用多 离散数学是计算机学科的专业基础课 所以教学 安排在大学低年级 大部分高校从二年级开始离散数 学的教学 虽然离散数学在很多后续专业课中有广泛 应用 但是在学习离散数学的时候 大部分专业课尚 未开课 所以部分学生对离散数学的应用认识不足 学习兴趣不高 因此在离散数学的教学 要特别强 调其实际应用性 对抽象的知识要通过实例来具体 化 让学生真正看到离散数学在计算机科学中的具 体应用 针对离散数学的基础概念众多而且抽象的特点 为了解决学生因为概念掌握不深入和缺乏实际应用 带来的学习困难 我们特别侧重概念教学和应用引 入 提出了以实例增强概念理解的教学方法 2 实例化概念教学方法 离散数学的教学目的是提高学生对实际问题的 数学本质的表达能力 增强解决实际问题的综合能 力 为了克服教学中理论和实际应用结合的困难 既 要注重对理论进行细致分析 又要注重引入实际应 用 在教学中 如果教师能够对基础概念做重点讲解 基金项目 国家自然科学基金 40806040 作者简介 马慧 女 副教授 研究方向为计算机控制 海洋平台的振动控制等 盛艳秀 女 讲师 研究方向为并行 计算等 徐建良 男 教授 研究方向为计算复杂性理论 刘颖健 女 讲师 研究方向为卫星海洋遥感等 计 算 机 教 育 Computer Education 58 2011 使得学生具备建模的基本能力 并通过实例进行强 化 那么就能有效地提高教学效果 为了达到上述目 标 我们着重对概念的教学进行挖掘 提出了 用实 例增强概念理解 的教学方法 该教学法的主要出发 点是让学生了解理论如何应用 提高学习兴趣 通过 具体实例让基本概念立体化和实用化 强化具体理论 细节 通过前后概念的比较形成知识的网络化 2 1 介绍应用背景 提高学生兴趣 在我们对学生的问卷调查中发现 学生对离散数 学学习兴趣不高的原因之一是对实际应用背景不够 明确 没有相关实际背景的概念仅意味着数学符号 印象不够深刻 针对这个问题 我们认为孤立引入概 念的教学形式 不能提高学生的兴趣 不利于理论知 识和实际应用的结合 在引入新概念的时候 应该首 先介绍其应用背景 让学生对将要学习的知识有直观 的认识 图论是结合实际应用最多的一部分内容 课本中 对相关内容的实际应用背景介绍比较丰富 例如哥尼 斯堡七桥问题引出了图论的起源 通过漫游问题引出 欧拉图和汉密尔顿图 通过地图着色直接介绍着色问 题等 因此学生能从课本上了解图论的一些实际应 用 在图论的教学中 在介绍完相关概念后 多引入 实际问题 引导学生利用图论的知识进行建模 锻炼 抽取实际问题的数学实质的能力 又如 函数是离散数学中集合论的内容 虽然高 等数学中也学习过函数 但是离散数学中介绍的函数 更加抽象 覆盖面更广 由于这个特点 大部分学生 感觉其理论性强 对函数应用的理解不够深入 实际 上 函数在计算机科学中非常重要而且应用十分广 泛 在课堂教学中应该向学生介绍这部分内容 例如 假设计算机需要存储查询大量的数据 则要确定每个 数据的位置 通常 我们建立从存储表到数据编码的 散列函数 用到最多的就是模n函数 散列函数在密码 学中也被经常使用 如产生数字指纹和其他一些电子 资源来验证消息的真实性等 在教学中 通过一些实 例建立学生对抽象内容的理解 提高学生的学习兴趣 2 2 讲解新概念 注重老概念 虽然各个概念在教科书中独立出现 但其内容彼 此关联 如果在教学中单独讲解新概念 而没有建立 新概念与已学知识的联系 那么对学生而言 这些知 识点就是一些孤立的片断 无法深入理解其内容 所 以在讲解新概念的时候 要加强与已学概念的比较 让学生建立理论体系的完整印象 例如 等价 这个概念在数理逻辑和集合论中 都出现过 两者本质相同 而定义的方法不一样 教 材中没有把这两者联系起来讲解 大部分学生将其视 为完全不同的概念 在讲课的过程中 我们通过前后概 念的比较和联系 可以对 等价 进行更深入的分析 数理逻辑研究两个命题公式的等价 给定两个 命题公式 A 和 B 设P1 P2 Pn为所有出现于 A 和 B 中的命题变元 若对于P1 P2 Pn任一 组真值指派 A和B的真值都相同 则称 A和B等价 记作 A B 集合论中考虑等价关系 设R为定 义在集合A上的一个关系 若R是自反的 对称的和 传递的 则R称为等价关系 若 R 称 x 等 价于y 记做 x y 学习完等价关系 我们可以在 更广义的集合关系范畴内讨论逻辑等价 设R为定义 在所有命题公式集合上的关系 R当且仅当 P Q P Q为逻辑公式 则很容易验证R是一个等 价关系 P Q 通过这样的比较教学 将数理逻辑和 集合论中的两处概念联系在一起讨论 让学生加深了 对等价的理论认识 同时也巩固了通过定义关系来讨 论问题的方法 2 3 选择实例来阐述概念的理论细节和实际应用 一个新概念的引入 意味着可以用这个新概念来 表达实际事物的数学实质 并通过这个新概念来延展 对具体问题的建模手段 因此 我们在讲解离散数学 中的概念时 不但要阐明其基本含义 更要引导学生 使用离散数学的概念来表达实际问题 并从应用中掌 握概念定义的具体细节 以集合论中的二元关系为例 A和B是任意两 个集合 A B的子集 R 称作A到B的二元关系 A B时称R为 A上的二元关系 这个关系概念确定 了A到B的关系R中元素的表达形式 序偶 其 中 x A y B 对于A上的二元关系 x y A 这里集合A和序偶都是一般性的定义 根据具 体问题会有不同的表达形式 在讲课的时候 可以举 不同的例子 与学生展开论述具体的表达形式 例如 马 慧 等 离散数学的实例化概念教学法 59第 16 期 定义在复数集C上的关系R1 其序偶 R1 x C y C 序偶的具体表达形式可以写成 a b c d R 定义在A A上的关系R2 那么其序偶 R2 x A A y A A 序偶的具体表达形 式可以写成 u v m n A 介绍了 上述两种具体关系后 那么考虑计算机中常见的字符 串的处理 让学生写出定义在长度为n的字符串集合 上的关系R的表达形式 以加深理解 通过对二元关 系概念的展开讲解 学生能够较好地掌握如何表达具 体的关系 为后续分析问题解决问题打下良好的基础 2 4 实例的选择要切合理论要点 体现实际应用 在讲课时 我们通过实例来加深学生对概念的理 解 锻炼学生对问题的数学本质的表达能力 选择合 适的实例是实现这一教学目的重要保证 实例要切合 概念的理论要点 最好是有实际应用背景 能够通过 概念来构造这个实例的数学模型 在集合论中关系的闭包运算 尤其是传递闭包 在实际中有广泛应用 教科书在介绍这个概念的时候 只给出了理论定义 没有给出实际应用的例子 为了 加深学生的理解 我们在讲传递闭包之前 增加了通 讯网络的应用例子 通讯网络是重要的实际应用模 型 其中的一个问题即确定网中两个结点是否相连 这里 结点相连的问题可以分为两类 第一类是结点 直接相连 第二类是结点不直接相连但是经过中间结 点相连接 我们可以把通讯网络的连接问题作为关系 来处理 回顾已经学过的关系表示方式 无论是集合 表示法 关系图 还是关系矩阵 都只能表述第一类 结点间的信息 如果需要查找第二类结点 必须经过 多步运算来得到结果 从应用的角度来看不够便捷 传递闭包的引入可以解决这个问题 通过这个例子 学生能够更深入理解选择不同关系表达方式的便捷 程度 了解传递闭包的具体应用 在接下来介绍闭 包运算和性质时 同学们带着问题学习 自然会提 高兴趣 3 结语 离散数学的实际教学中往往难以把握如何结合 理论与应用的问题 我们通过 用实例增强概念理解 的教学方法 学生通过学习概念背景进一步理解含 义 提高数学建模的能力 在对实际问题的建模过程 中 学生将自然地使用离散数学的相关概念和理论 对高年级的专业课程学习 起到了很好的促进作用 实际教学效果表明 实例化概念教学方法能有效帮助 学生理解抽象概念 同时锻炼了学生把握问题的数学 实质的能力 加强了解决实际问题的能力 参考文献 1 耿素云 屈婉玲 王捍贫 离散数学教程 M 北京 北京大学出版社 2001 1 20 2 Kenneth H Rosen 离散数学及其应用 M 北京 机械工业出版社 2007 1 5 3 廖伟志 李文敬 王汝凉 基于培养学生计算思维的任务驱动式 离散数学 教学模式研究 J 计算机教育 2009 21 93 95 4 王元元 陈卫卫 贺汛 离散数学数理逻辑教学中值得关注的几个问题 J 计算机教育 2009 16 136 138 5 文海英 廖瑞华 魏大宽 离散数学课程教学改革探索与实践 J 计算机教育 2010 6 100 103 6 费文龙 吕红 提高 离散数学 课程教学质量的探索 J 计算机教育 2008 24 140 141 7 钟敏 时念云 改革课程实验 提高离散数学教学质量 J 计算机教育 2008 18 29 30 Enhancing Comprehension of Concepts via Real Examples in Discrete Mathematics MA Hui SHENG Yanxiu XU Jianliang LIU Yinjian College of Information Science and Technology Ocean University of China Qingdao 266100 China Abstract Discrete Mathematics is very abstract and applied widely It is difficult for teachers to combine the theory and applications appropriately in the teaching process To solve the problem and enhance the comprehension of abstract theory and specific applications we present the teaching method of Enhancing Comprehension of Concepts via Real Example Before discussing the new concept we introduce the application background in detail In the discu