第29届俄罗斯数学奥林匹克.pdf

2 O 0 4年第 1 期 1 9 第 2 9届俄 罗斯数 学奥林 匹克 第 届俄罗新数学奥林匹克决赛于2 0 0 3年4月 l 3 2 0日在俄罗斯奥廖尔市举行 来 自俄罗 斯全 国各地的 2 0 6名选手参加了比赛 考试分为两天 每天5个小时考4道题 我国派出了6名湖 南省中学生组成的代表队参加了此次竞赛 他们中有 3 人来自长沙一中 2人来自湖南师大附中 1 人来 自 长沙雅礼中学 其中4 名高二学生参加了十年级的竞赛 2 名 高一学生参加 了九年级的竞 赛 决赛共颁发 1 5个一等奖 3 0个二等奖和 5 3个三等奖 我国选手共获得 了3个一等奖和 2个三 等奖 载誉而归 以下各个年级的前 4 题为第一天的试题 后 4题为第二天的试题 九 年 级 9 1 数集 由2 0 0 3个不同的数组成 对于 中任何两个不同的元素 o b 数 o b 2 都是有理 数 证明 对于 中任何数 o 数 o 2 都是有理数 9 2 o0 和0 0 2 相交于点 A B 过点 A所作 的两圆的切线分别与 B O 和 B O 相交于点 和 J已 证明 K L 0 l 0 2 9 3 直线上分布着 2 k一1 条白色线段和2 k一1 条黑色线段 已知任何一条 白色线段都至少与 k条 黑色线段相交 并且任何一条黑色线段都至少与 k 条白色线段相交 证明 可以找到一条黑色线段与所 有白色线段都相交 也可以找到一条白色线段与所 有黑色线段都相交 9 4 数列 按如下方式构成 o P 其中 P 1 是质数 且 P 恰有 3 0 0 位数字非0 而 o 是 的十 进制小数表达式中的 个循环节的2 倍 试求 啦叨 9 5 某国有 J 7 r 个城市 每两个城市之间或者 有公路 或者有铁路相连 一个旅行者希望到达每个 城市恰好一次 并且最终回到他所 出发的城市 证 明 该旅行者可以挑选一个城市作为出发点 不但能 够实现他的愿望 而且途 中至多变换一次交通工具 的种类 9 6 设 o b c 为正数 它们的和等于 1 证明 1 1 1 2 2 2 丽 而 9 7 能否在一张无限大的方格纸的每一个方 格中都填入一个正整数 使得对任何正整数 m n 1 0 0 纸上的任何 m n 方格表中所填的数的和都可 以被 m n整除 9 8 在锐角 A P D的边A P和P D上各取一点 和 c 四边形 A B C D的两条对角线相交 于点 Q A P D和 B P C的垂心分别为 和 证 明 如果 直线 经过 A B Q和 C D Q的外接圆的交点 那么它必定经过厶 B Q C和 a Q O的外接圆的交 点 y Q y Q 十 年 级 1 0 1 数集 由 2 0 0 3个不同的正数组成 对 于 中任何三个不同的元素o b r 数 n 2 6 c 都是 有理数 证明 可以找到一个正整数 n 使得对于 中任何数 o 数 o n 都是有理数 1 0 2 内接于圆的四边形 A B C D的两条对角线 相交于点 0 设 A B O和 C D O的外接圆分别为圆 s 和圆 s 它们的交点为 0和 过点 0分别作A B 和 C D的平行线 它们分别与圆 s 和圆 5 2 交于点 三 和 在线段 和 O M上取点P和 Q 使得 O P P L gq Q O 证明 0 K P Q四点共圆 1 0 3 给定了一个具有 n n 2 个顶点的 树 即一个具有 n个顶点和n一1 条边的图 由其中任 何一个顶点可以沿着边到达任何一个另外的顶点 并且其中没有由边构成的环状的路 在该树的各个 顶点上分别放有数 在各条边上分别 写有它的两个端点上数的乘积 将所有各边上的数 的和记为 s 证明 2 s 1 0 4 在平面上给定了一个有限点集 和一个 正三角形 今知 的任何一个由不超过 9个点构 成的子集 都可以被 的两个平移图形所覆盖 证明 点集 可以被 的两个平移图形所覆盏 l O 5 同 9 5 1 O 6 正整数序列 按如下方式构成 a o为 维普资讯 中 等 数 学 某个正整数 如果 o 可以被 5整除 则 o J 如果 o 不能被 5整除 则 a 其中 表 示不超过 的最大整数 证明 数列 a 自某一项开 始递增 1 0 7 设 A B C的外心和内心分别为 0和 j 其旁切圆 分别与边 A B A C的延长线相切于点 K M 与边 B C相切于点 已知线段 1 01的中点 P 位于 A B C的外接圆上 证明 0 N 三点共线 1 0 8 试找出最大的正整数 使得无论怎样 将正整数 1 至4 O 0 填入 2 0 X 2 0方格表的各个格 中 都能在同一行或同一列中找到两个数 它们的差不 小于 十 一 年 级 1 1 1 设 a 口 y r为正数 对一切实数 都有 s i n 似 s i n s i n 7 x s i n 证 明 口 y或 口 r 1 1 2 同 1 0 2 1 1 3 给定两个系数为非负整数的多项式厂 和 g 其中 厂 的最大系数为 m 现知对于某两 个正整数 am 则多项式 厂与g恒等 1 1 4 开始时 甲乙二人各有一条长纸带 在一 条纸带上写有字母 在另一条纸带上写有字母 曰 每一分钟 二人之一 不一定按照顺序轮流 把对方 纸带上的单词拷贝到自己纸带上的单词的左边或者 右边 证明 经过若干昼夜之后 一定会出现如下情 况 即可以把甲的纸带上的单词分成两段 将它们各 自在原位翻转后仍然得到原来的单词 1 1 5 三角形的三边之长是某个系数为有理数 的三次方程的根 证明 该三角形的高是某个系数为 有理数的六次方程的根 1 1 6同 9 7 1 1 7 某国有 1 0 0个城市 某些城市之间有道 路相连 在其中任何四个城市之间 都至少有两条道 路相连 已知该国没有经过各个城市恰好一次的道 路 证明 该国存在这样的两个城市 使得其余任何 城市都至少与这两个城市之一有道路相连 1 1 8 四面体 A B C D 的内切球分别 与它的面 A B C A B D A C D B C D相切于点 D l C l B A 1 考察 与点 和平面B C D 距离相等的平面以及与其类 似的其他三个平面 证明 由这四个平面所围成的四 面体的外接球的球心与四面体 A B C D的外接球的球 心相互重合 参 考 解 答 9 1 任取 0 b c M a b c 则 tl b 2 b 0 c 0 c 6 都是有理数 因此 0 6 一 b 0 0一b 0 b一 o 一6 o 6 一2 Q c 0 F 2 一 C 2 6 0 一6 Q 从而 o 6 Q 这样 便知 o 4 5 6 o 一6 Q 9 2 我们有 I AK BAK BA L B O 2 0 曰 D 1 0 2 1 8 0 一 L B K 故知 A L B K是圆内接四边形 从而 B O 0 B A K B L K 所以 甩 0 0 2 9 3 只须证明 如果任何一条白色线段都至少 与 k条黑色线段相交 那么 就一定 可以找到一条黑 色线段 与所 有 白色线段相交 假设上述断言不成立 则对于每条黑色线段 都 存在不与它相交的白色线段 由抽屉原理 至少有 k 条黑色线段 满足与每条黑色线段相应的白色线段 都 位于其 同一边 为确定 起见 可设都 位于 左边 于 是 这些黑色线段的左端点都位于不与其相交的白 色线段的右端点的右边 我们考察所有这些 白色线 段右端点中最左边的一个 显然 它至少位于 k条黑 色线段左端点的左边 从而 以它为右端点的白色线 段不能与这 k条黑色线段 中的任何一条相交 这与 题 意矛盾 9 4 02 1 0 p 假设 的十进制小数表达式 中开始循环之前 的部分 由m位数字构成 而 最小 循环节 曰由k 位数字构成 由等比数列求和公式得 一一 一一一 曰 一一 1 0 一1 旦 n一1 0 1 0 1 0 一1 一 1 0 1 0 一1 于是 有 nI 1 0 1 0 一1 反之 如果 m和 k是使得关系 nI 1 0 1 0 一1 成立的最小正整数 即 m是可以整除 n的 2和 5的 最 大 方 幂 的 指 数 而 k 是 使 得 1O 一 1 成 立的最小的正整数 记 c n I O L 一 I J B C A 1 0 一1 维普资讯 2 O O 4年第 1 期 2 1 则有 B 1 0 一1 A1 0 于是 B C 这样一来 u 就是使得 1 0 1 I 1 0 一1 p 成立的最小正整数 我们证明此时必有 t 首先证明 ul t 若 u t 不妨设 t r 其中 0 r 0 y 0 可以得到 1 1 4 1 1 4 1 1 4 将上述三个不等式相加 得到 2 2 2 而 4 4 4 将条件 b c 1 代入并化简 即得所证 解法 2 不失一般性 设 b c 于是 1 一c 卜 b 2 一 从而 0 1 一o l l C 注意到r r 故只须证明 研 由于式 左端三个分式的分子之和等于 0 所 以 在不增大各个分数值的前提下 可将它们的分母 变为相等 易知在 b c的假定下 有 1 c 1 如果 6 1 c 那么 只要将不等式 左 端三个分式的分母都换为 1 一c 即可保证其中的负 分数的值不变 且正分数 的值不增大 从而式 成 立 如果 b c 那么 只要将式 左端三个 维普资讯 中 等 数 学 分式的分母都换为 1 一b 即可保证其中的一个负 分数的值不变 另一个负分数只可能减小 且正分数 的值不增大 从而式 成立 9 7 不可能 对于任意一个 2 0 0 2 0 0的方格表 A 假设它位 于某个 2 0 0 t 2 0 0 t 方 格表 的角 上 其 中 t 是某 个 不能整除方格表 A中所有数之和的正整数 将图形 B A划分为一系列尺寸为 2 0 0 2 0 0 t 一1 的矩形 根据题意 每一个这种矩形中的数的和都可以被 t 整除 且方格表 中的数的和也可以被 t 整除 则方 格表 A中的数的和可以被t 整除 由此导致矛盾 9 8 分别以对角线 A C B D为直径作 圆 和 圆 2 设 B B1 C C t A A t D D1 是 A B P C和A A P D中 的高 其中点 A C 在圆 上 点 D 在圆 上 于是 A D A D 四点共圆 从而 Hl A H1 At H1 D Hl Dl 即点 H 位于圆 和圆 的根轴上 同理 也 位于圆 和圆 的根轴上 于是 该根轴就是直 线 H 分别将对角线 A C B D的中点记为M 根据题意 点 位于圆 和圆 的根轴上 所以 x m 2一 C M 2 XN2一 D 由于 Q X B Q X C Q X D Q 所 以 X A C A X B D 因此 上述平方差或者等 f 0 或 者就是它们相似比的平方 如果该平方差等于 0 有 A X C B X D 9 0 于是 A BJ I C D 因为其 中一条 直线可 以由另一条直线 以 为 中心 旋转 9 0 得 到 此与 A P D为锐角的事实相矛盾 故 X A C 厶 X B D 同理 A Y A C A Y B D 故 A C B D 因为 Y M Y N C M D N 所以点 y关于圆 和圆 C O 2的 幂相等 故 y在圆 和圆 的根轴上 1 0 1 从数集 中取出4个不同的数 a b c d 由于 d 2 n 6 Q d 6 c Q 所 以 6 c n 6 Q 故 a a b a 6 c a b b c Q 同理可知 b n 6 Q 从而 对于 中任何两 个 不 同 的 数 n 和 6 都 有 q 詈 等E Q 于 是 n g 6 jn a b b q q z Q r r 一 6 m m k E N 令 r t m k 得 6 n mEQ 故对任何 c 有 c 4 n b n Q 1 0 2 不失一般性 设 A B O B A O 此 时 A B O L和 D C O M都是等腰梯形 如图 1 于是 有 I DA 0 OD c D oM 砌f D K MC 一 K OC 胁4 从而 K MO K O L 同理 K I D K O M 所 以 加 MC O A 脚 易知还有A K O P A K MQ 故 K P O K Q M 一Z K Q O 即 四 边 形 r P o Q内接于 圆 日 图 1 1 0 3 考察连接顶点 和 的边 z 用 k z 表 示去掉边 z 以后 不能与顶点 相通 的顶点数 目 类似地 定义 z 显然有 1 k f Z Z n一1 k Z Z n 并且对每个顶点 都有 k z n一1 其 中对所 一 有出自顶点 的边 z 进行求和 这是因为由顶点 出发 可以沿着树上的路走到其余 n一1 个顶点 中的任何一个 并且到达各个顶点都只有一条不 自 交的路径 对于给定的边 z 利用均值不等式 可得 k Z Z X i 荔 I x l x j 碣 其 中最后一 步得 自 k i z 岛 z f k z r 枷 一 与 n 一 n 一 1 一 1 n 一 1 将式 对所有的边 z 求和 即得题中结论 1 0 4 先证 明两个 引理 引理 1 如果两个三角形 和 正同位相 似 并且 与 的三条边所在的直线都相交 则 位 于 之 中 此命题显然成立 引理2 对任何有限点集 和任何三角形 都可以找到一个与 正同位相似的三角形 使得 维普资讯 2 0 0 4 年第 1 期 2 3 包含点集 肼 并且在 的每条边上都有 M中的点 证明 显然 存在包含点集 肼且与 正同位相 似的三角形 我们考察其中的一个 如果在它的某条 边上没有 肼 中的点 那么 通过作以该边所对顶点 为中心的位似变换将它缩小 使得该边与点集 M相 交 并且缩小后的三角形仍然包含点集 肘 对各条 边都如此操作 即可得到所需的三角形 综合上述两个引理可知 的任何包含点集 M 的同位相似图形一定也包含 现在我们证明题 目本身 将引理 2运用于点集 和正三角形 我们得到一个三角形 不妨称之为 A B C 在它的边 B C C A A B上分别有点集 中的 点X A 其中有些点可能重合 如果 A B C的大小不超过 那么题中结 立 否则 考察 A B A c A A A c B c C 其中 A B A c A是以A为中心所作 的 A B C的位似图形 其大小与 相同 其余两个三角形 的含义类似 因 而它们都是 的平移图形 我们考察点集 的如下 子集 X X一 A B A c A X 8 X一 A 8 B C B X c X一 A c B c C 下面再证明一个引理 引理 3 如果 的某个平移图形 包含点 和 那么 就不可能与 相交 对于其余情形也有 类似的结论 证明 假设命题不真 于是 与经过 A B C 各条边的直线都相交 从而它包含 A B c C 但是 与 A B C是全等的三角形 故知它们重合 于 是由 的定义知 不可能与之相交 下面接着证明原题 现在我们对三角形 和集 合 运用引理2 得到三角形 并 且在它们的边上可以找到分别属于集合 的点 X A x 8 A x cA x c8 X C 其中可能有些点相互重合 由题意知 点集 X A B xA xA c c 可以被 的某两个平移图形 所覆盖 于是 必有一个平移图形至少盖住 X A 中的两 个点 不妨设 X A X B T i 根据 引理 3 即知 不 可 能与集合 比 相交 从而 点 全都含 于另 一 个三角形 之中 再由引理 1 知 集合 被包含 在 之中 这说明集合 X已经整个被 A B c C和 三角形 所覆盖 1 0 5 同9 5 1 0 6 题 目的结论等价于 自某个 n开始 都不是 5 的倍数 我们来证明这一点 首先证明 数列中存在两个相邻项都不是 5的 倍数 否则 对任何 n都有 或者 或者 n 几 注意到对任何 七 都有 吼 所 以恒有 n 几 这样一来 数列 J n n 3 n 严格单调下降 此为不可能 于是 可以 找到某两个相邻项 吼 和 都不是 5的倍数 其次证明 也不是 5的倍数 那么将可以断 言 a 都不是 5的倍数 由题意知 l 5 记 m 于是 n 1 5 m一口 其中 0 口 1 且n 5 5 m一口 5 埘 一 5 口 注意到 0 5 口 3 故知 5 m一3 2 1 2 7 2 I 2 0 1 1 1 不失一般性 设 口一 0 y r 0 令 一 半 等 于是 题中的条件转化为 s i n c 0 s s i n c 0 s出 其中 b 0 c d 0 已知s i n甜 c 0 s 0的最小正根为 或 而 s i n c 0 s d x 0的最小正根为 或 如果 c 则 c 0 s b x c 0 s d x 这表明 b d 由此可得所证 假定式 左端的最小正根为 如果 则有 2 d 于是 2 s i n c 0 s s i n 通过比较该式左右两端的最小正根 得到 c d 这是不可能的 或者 c 2 b 在后一种情况下 有 s i n b x s i n 因而 b d 有s i n甜 s i n 故 c 所以 当 时 有 c b d 8 同 理 可 证 当 磊 时 n c b d Z O 8 l 1 2 同 1 0 2 1 1 3 假设 不与g恒等 设 c c 1 一 c l c 0 g d d t 一 d l d 0 由于 0 c m b的最 小 下 角 标 则 d l 6 g r 对于多项式 g 它是将多项式 g中的系 数 换为r d l 换为 d l q 并保持其余系数不变 的多项式 易知 g b g b 又 d d l 6 g r d l 1 1 凹 r d I m I g 口 维普资讯 2 0 0 4 年第 1 期 所以 g a g J n 由此得到矛盾 1 1 4 如果一个单词从左到右念跟从右到左念 是一样的 则称其为 对称 的 下面用归纳法证明 经过 n分钟后 每条长纸带上的单词都可以分为两 个 对称的 单词 于是 只要分别翻转这两个 对称 的 单词 那么 所得到的单词就同原来的一样 当 n 0 1时 结论显然成立 设 n 1 并假定 结论在 n 一1 时成立 我们考察 n的情况 不失一般 性 可设第一步是乙把 A拷贝到 自己单词 的左边 即在第一步之后 两条纸带上分别写着 A和 A B 再 叫来丙丁二人 交给他们分别写有字母 A和 的两 条纸带 让他们重复甲乙二人的操作 即如果甲拷贝 乙的单诃到自己单词的左边 丙就照样拷贝丁的单 词 这样的过程一直持续 n一1 分钟 根据归纳假 设 丙丁二人最终所得到的单词都可以分成两个 对 称的 单词 而只要把他们单词中的字母 全部换 成字母结合A B 那么 就得到了甲乙二人纸带上的 单词 下证结论对 n也成立 首先证明一个引理 引理对于任何一个由字母 A和 C所构成 的 对称的 单词 如果在其末尾添加一个字母 A 然后 再把所有的字母 C全都换成字母结合 A B 那么 所 得到的单词仍然是 对称的 假设原来的单词中一共有 k个字母 C 而在第 一 个字母 C的前面有 个字母 A 在第一个和第二 个字母 C之 间有 个字母 A 在最后一个 即 第 k 个 字母 C的后面有 个字母 A 那么由对称 性 有 一 f i 0 1 k 而在变化后的单词中 在第一个字母 B之前有 1 个字母 A 在第一个和第二个字母 之间有 1 个字母 A 在最后一个 即第 k个 字母 的 后 面有 1 个字母 A 由此联 系式 知引理成立 假定丙 的由字母 A和 C所构成 的单词可以分 成两个 对称的 单词 S和 而把其中的所有 C都 换成字母结合 A B后所得的单词为 S 和 如果 非空 那么 S A和 A就都是 对称的 单词 故知单 词 以字母 A开头 我们写 A A T A 则单词 也是 对称 的 于是 甲的单词就可以分为 s A和 如果 是空的 那么S A s 就是所需要的划分 s 是 对称的 单词 对于乙的单词同理可证 1 1 5 设三角形的三边长分别为 n b c 由多 项式系数的有理性 可以认为它是既约的 即有 厂 一口 b c 一 B x C 由题意和韦达定理知 亦 即 2 p 口 b c A Q 6 c Q a b c C Q 记三角形的面积为 S 有 P j s p p 一a p B p c Q 又由 h h 2 s 推知 h h b 是 方 程 X 2 一 X 2 一 2 一 0 的 根 从而 口 D C 6 c c 口 口 b 2 4 S 2 一 2 A C 2 B 2 2 2 2 2 2 I I 一 2 儿 1 6 S 6 1 6 S a2 b C 2一 C 1 1 6 不可能 参考 9 7的解答 n 7 作一个图 以该国的各个城市为顶点 以 道路为边 在该图中取出最长的不 自交的路 S 假设 它的两个端点分别为 A和 由题意知 S上的顶点 数目不大于 9 9 且 A 都不可能与非 S上的顶点相 连 否则与路 S的最长性相矛盾 当 A与 相连 时 路 S成为一个圈 类似地 路 S上的任何顶点都 不能与非 S上的顶点相连 1 首先假定路 S上的顶点数 目不大于 9 8 观 察端点 A和 以及非 S上的两个顶点 y 1 和 y 2 由 题意知 在它们之间至少连有两条边 由于顶点 A 和 不可能与非S上的顶点相连 所以 A和 之间 连有一条边 从而 路 S成为一个圈 S上的任何顶 点都不能与非 S上的顶点相连 我们来观察路 S上的任意两个顶点置 和 以 及非 S上的任意两个顶点 y 和 y 2 由于在它们之 间至少连有两条边 但是此时路 S上的任何顶点都 不能与非 S上的顶点相连 所以 这两条边只能是一 条连在 置 和 之间 另一条连在 y 1和 y 2之间 于是证得 路 S上的所有顶点均两两相连 非 S上 的所有顶点亦两两相连 从而得出要证的结论 下转第 4 1页 维普资讯 2 O O 4年第 1 期 4 1 余数为0 或 1 故 q 一4 p被 4除余数也为0 或1 从 而 q 一4 p 1或 4 这两个方程 中符合题意的整数 解 有 故所求两位数P q 为 2 3 6 5 3 4 8 6 三 由 0 0 知 Y 随 的增大而增大 从而 0 b 2 当 0 1 时 一1 c 1 一1 0 b c 1 故 一 1 c 0 b c 一2 1 2 一1 所以 c 一1 因此 0时 Y I 一1是 Y l c 在 一1 1 时的最小值 故 0是函数 Y l 一 c的对称轴 即 一 0 6 0 n 2 得 Y l 2 x 一1 Y 2 2 x 解 方 程 组 f Y 2 一 得 L v 2 x 故 两 图像 的交 点 坐 标 A 学 曰 两 图像所形成 的封闭图 形如 图 8所示 由于 半 的 整数解为 0 1 所 以 对 应 的 格 点 有 J I 3 f 图 8 o o 0 M O 一1 N 1 1 P 1 2 四个点 四边形 O MN P恰好是一个平行 四边形 其面积 S 日 边 形 1 1 1 沈雪明 江苏省苏州市长桥 中学 2 1 5 1 2 8 上接第 2 5页 2 在其余 的情形下 仅有一个 顶点不在路 s 上 将该顶点记为 D 如果 D与路 S上的任何顶点 都没有边相连 考虑 D和路 s上的任意三个顶点 由于