Hawgent皓骏动态数学资源：综合案例(1).pdf

Hawgent 皓骏动态数学资源系列 Since 1990 s 一千一千零零一一个个综合综合案例案例 第一第一辑辑 深入学科 彻底突破数学教学和数学学习中的重点难点问题 开展数学实验 数学教学 数学学习和数学研究的必备工具 皓骏 广州 数学技术中心皓骏 广州 数学技术中心 Hawgent Technology Centre in Mathematics 内容介绍 这是为测试 Hawgent 皓骏动态数学软件的功能而制作的一些案 例 仅用于展示 Hawgent 皓骏动态数学软件在表现数学问题方面的潜 在能力 因为这些案例与学校当前的数学课程关系不够紧密 分类也 不够严谨 同时这些案例制作的也不尽完美 希望大家能够提出批评 意见和宝贵建议 但是 我们希望这些案例能够起到抛砖引玉的作用 从而启发大 家设计出更多 更精彩 更有价值的案例 我们的本意 是不希望一般的数学教师学习工具以及开发案例 而是建议大家根据自己在数学教学过程中所遇到的问题 提出具体的 需求 而具体的案例开发工作 可由 Hawgent 皓骏技术团队实现 当然 也不否认有许多数学老师具有自己开发案例的兴趣和热 情 因此 我们也会逐步提供对应的用户手册以及微视频教程 目目 录录 一 数学创作 1 01 窗口的魔力 1 02 飞舞的蒲公英 1 03 高尔夫练习 2 04 铲土机在工作 2 05 行走的北极熊 3 06 七彩圆盘 3 07 视觉暂留 4 08 圆的反演 4 09 行驶的自行车 4 10 钟表 5 11 摆钟 5 12 秒表 6 13 圆形跑道上赛跑 6 14 方形追赶路线 7 15 星形追赶路线 7 16 四龟互追 8 17 勾股树 8 18 二叉树 1 9 19 二叉树 2 9 20 雪花曲线 10 21 皮亚诺曲线 10 二 平面几何 11 01 凸多边形的滚动 11 02 正多边形的车轮 11 03 多边形的旋轮线 12 04 圆内接正多边形 12 05 圆周的展开 13 06 梯形面积的说明 14 07 布拉克威尔定理 14 08 等积三角形面积的剪拼 15 09 利用剪拼证明勾股定理 15 10 利用剪拼证明勾股定理 15 11 平行四边形面积的说明 16 12 三角形面积的说明 16 13 翻折与轴对称 17 14 曲线万花筒 17 15 三角形的三条高线 18 16 多边形的外角和 18 17 谢尔品斯基毯 19 18 双卵相依 19 19 双圆管束 20 20 化圆为方 20 三 函数图象 21 01 迭代变换 21 02 阶梯函数 22 03 曲边梯形的面积 22 04 曲线的切线 22 05 指数函数 y ax及其反函数图象的交点 23 四 各种曲线 24 01 贝塞尔曲线 24 02 离散点曲线 24 03 两圆切点的曲线 24 04 花朵曲线 25 05 螺旋曲线 25 06 密铺曲线 26 07 魏尔斯特拉斯曲线 26 08 三分角曲线 27 五 跟踪轨迹 27 01 李萨如图象 27 02 旋轮线 28 03 两圆的公切圆 28 04 圆周旋转 29 04 圆簇花苹果 29 06 数字与颜色 29 07 星形线和玫瑰线 30 08 直纹曲面 30 09 四连杆运动 31 六 三角函数 31 01 任意角 31 02 正弦曲线的画法 32 03 正弦曲线的形成 32 04 正弦曲线的变换 33 05 余弦定理的直观说明 33 06 正弦波叠加为锯齿波 34 07 正弦波叠加成为方波 34 七 随机问题 35 01 随机数表 35 02 频率逼近概率实验 35 03 抛豆估计圆周率 36 04 投针估计圆周率 36 八 圆锥曲线 37 01 圆的放缩 37 02 椭圆的生成 37 03 直线的包络 38 04 二次方程曲线 39 05 过五点的二次曲线 40 06 离心率对圆锥曲线的影响 40 07 圆锥的椭圆截线 41 08 圆锥的抛物截线 42 09 圆锥的双曲截线 42 10 椭圆的滚动 43 九 空间几何 44 01 小蛮腰 44 02 波浪彩带 44 03 马鞍面 45 04 猴鞍面 46 05 螺旋曲线 46 06 呼吸 47 07 李萨如曲线 47 08 房子的透视 48 09 椭圆的旋转 49 10 抛物线的旋转 49 11 双曲线的旋转 49 12 双四棱锥包络 50 13 正四面体包络 50 14 旋转的正六棱柱 51 15 圆柱的截面 51 16 正四面体的展开 52 17 棱锥的侧面展开 52 18 圆柱侧面展开 53 19 圆锥侧面展开 54 20 圆柱截线的展开图 54 A 物理问题 55 01 布朗运动 55 02 声的传播 55 03 声的传播 56 04 横波 56 05 多普勒现象 57 06 干涉条纹 57 07 平抛运动 58 08 炮弹的轨迹 59 09 力的分解 59 10 单摆模型 60 11 弹簧的运动 60 12 电场和等势面 61 13 滑动变阻器 62 14 开关与灯 63 15 凸透镜成像 64 16 放大镜 64 17 折射现象 65 18 齿轮 65 1 一 一 数学数学创作创作 01 窗口的魔力窗口的魔力 方框里是什么 把椭圆形窗口拖过来就看见了 从两个窗口看到的为何不一 样 02 飞舞的蒲公英飞舞的蒲公英 漫天飞舞的蒲公英 它们的形状都是相同的 在漂移的过程中 它们具有怎样的位置关 系 2 03 高尔夫练习高尔夫练习 理想的环境下 球的路径与哪些有关呢 在现实情况下呢 随机改变球洞的位置 怎么 调整球的初速度与角度 才能使球进入球洞呢 改变 k 的值 你发现了什么 如果在月球上 打高尔夫球 g 该如何改变 04 铲土机在工铲土机在工作作 观察铲土机工作的过程 认真思考一下 它的工作原理是是什么 在铲土机和托运车当 中 有哪些我们熟悉的几何图形 3 05 行走的北极熊行走的北极熊 北极熊在行走过程中 它身上的哪些部位在进行着怎样的运动 通过变量尺 改变字母 a b c1 c2 c3 c3 c4 c5 的值 探索和研究这些字母对 北极熊有什么作用 06 七彩圆盘七彩圆盘 这是一个七彩圆盘 实际上它是由许多种颜色组成的 因为任何两种不同颜色的组合 都是一种新的颜色 并且组合的比例不同 所得到的颜色也不相同 4 07 视觉暂留视觉暂留 人眼在观察景物时 光信号传入大脑神经 需经过一段短暂的时间 光的作用结束后 视觉形象并不立即消失 这种残留的视觉称 后像 视觉的这一现象则被称为 视觉暂留 08 圆的反演圆的反演 设在平面内给定一点 O 和常数 k k 不等于零 对于平面内任意一点 A 确定 A 使 A 在直线 OA 上一点 并且有向线段 OA 与 OA 满足 OA OA k 我们称这种变换是 以 O 为的反演中心 以 k 为反演幂的反演变换 简称反演 称 A 为 A 关于 O r 的互为 反演点 09 行驶的自行车行驶的自行车 自行车当中有多少个圆形 当自行车行驶过程中 有多少个对象在做圆周运动 如果把 5 运动形式分为一次运动 往复运动和重复运动 那么 人和车是否有某个部位在做一次运动 往复运动和重复运动 分别是哪些部位 10 钟表钟表 这是一个标准的钟表 通过变量尺你还可以自由地调节时间 你能准确地判断钟表的时 针 分针和秒针吗 11 摆钟摆钟 你知道单摆有什么性质吗 下面是利用单摆的性质制作的摆钟 单摆来回摆动一次 就 是一秒钟的时间 6 12 秒表秒表 这是一个秒表 单击 计时 按钮即可开始计时 通过秒表当中指针的转动情况 你能知 道哪个是秒针吗 另外两个指针分别表示什么时间单位 13 圆形跑道上赛跑圆形跑道上赛跑 从同一地点出发 沿着圆形跑道赛跑 在同一时间内 速度不同的人奔跑的路程不同 那么可能就有第一次的相遇 第二次的相遇 第三次的相遇 7 14 方形追赶路线方形追赶路线 一只兔子在正方形的边界上跑 一条狗去追赶这只兔子 兔子所经过的路径当然是这个 五角星 那么这条狗所经过的路径是什么形状的图形呢 15 星形追赶路线星形追赶路线 一只兔子在五角星的边界上跑 一条狗去追赶这只兔子 兔子所经过的路径当然是这个 五角星 那么这条狗所经过的路径是什么形状的图形呢 8 16 四龟互追四龟互追 有四个乌龟 甲 乙 丙 丁 甲追逐乙 乙追逐丙 丙追逐丁 丁追逐甲 如果它们 的起初的位置分别在正方形的四个顶点处 并且他们跑动的速度相同 那么 它们都能追到 自己的目标吗 它们最终的位置会在哪里 它们各自所经过的路径是什么形状的曲线 17 勾股树勾股树 在勾股树当中 有一个红色的正方形 两个蓝色的正方形 四个绿色的正方形 八个黄 色的正方形 每一种颜色的正方形之间具有怎样的面积关系 9 18 二叉树二叉树 1 从树干开始 每一根树枝总是一分为二 你能推算一下 这棵树有多少根树枝吗 如果 树干算作第一层 那么第 N 层有多少根树枝 19 二叉树二叉树 2 从树干开始 每一根树枝总是一分为二 你能推算一下 这棵树有多少根树枝吗 如果 树干算作第一层 那么第 N 层有多少根树枝 最末端有多少片树叶 10 20 雪花曲线雪花曲线 将一个等边三角形 取每边中间的三分之一 接上去一个形状完全相似的但边长为其三 分之一的三角形 结果是一个六角形 现在取六角形的每个边做同样的变换 即在中间三分之一接上更小的三角形 以此重复 直至无穷 外界的变得原来越细微曲折 形状接近理想化的雪花 21 皮亚诺曲线皮亚诺曲线 看一条曲线如何填充一块区域 11 二 平面几何二 平面几何 01 凸多边形的滚动凸多边形的滚动 在水平路面上 不规则形状的轮子也可以进行滚动 但是 轮子的形状不同 滚动时的颠簸程度也不相同 其边界上一点所经过的路径也不 相同 当然 在这里你可以通过拖动红色的点 从而改变轮子的形状 02 正多边形的车轮正多边形的车轮 车轮为什么要做成圆形的 12 如果要求汽车平稳地行驶 车轮一定要做成圆形的吗 03 多边形的旋轮线多边形的旋轮线 圆形车轮在滚动过程中 我们把车轮边沿上一点所经过的路径称之为旋轮线 事实上 不只是圆能够滚动 任意多边形也可以滚动 那么正三角形在滚动个过程中 它的顶点所生成的旋轮线是什么形状的 具有什么特 点 正方形 正五边形 正六边形 在滚动个过程中 它们的顶点所得到的旋轮线呢 04 圆内接正多边形圆内接正多边形 顶点都在圆周上 并且边和角都分别相等的多边形 被称为这个圆的内接正多边形 当圆内接正多边形的边数由少到多增加的过程中 它的周长和面积分别如何变化 13 05 圆周的展开圆周的展开 利用直尺能够测量圆的半径 却不能测量圆的周长 但是 可以将圆周展开成为直线段 14 06 梯形面积的说明梯形面积的说明 为什么梯形的面积等于上底边长与下底边长之和的一半再乘以高 07 布拉克威尔定理布拉克威尔定理 在直角三角形三边上分别向外作半圆 则外切于这 3 个半圆的正方形的周长 等于该三 角形周长的 2 倍 15 08 等积三角形面积的剪拼等积三角形面积的剪拼 如果两个三角形同底 等高 它们的面积也相等 那么 总可以将一个三角形通过剪切 后再拼成另外一个三角形 对于一般的两个面积相等的三角形 也会有相同的结论吗 09 利用剪拼证明勾股定理利用剪拼证明勾股定理 勾股定理是数学当中最有名的一个定理 它的证明方法目前有 400 多种 下面是利用剪拼图形的方式而实现无字证明勾股定理的过程 10 利用剪拼证明勾股定理利用剪拼证明勾股定理 勾股定理是数学当中最有名的一个定理 它的证明方法目前有 400 多种 下面是利用剪拼图形的方式而实现无字证明勾股定理的过程 16 11 平行四边形面积的说明平行四边形面积的说明 平行四边形的面积为什么等于底乘以高 12 三角形面积的说明三角形面积的说明 为什么三角形的面积等于底乘以高除以 2 17 13 翻折与轴对称翻折与轴对称 翻折 就是以直线为轴进行旋转的过程 绕直线翻折 180 度后的结果 就与原来的图形关于这条直线轴对称 14 曲线万花筒曲线万花筒 你知道万花筒的构造原理吗 它是如何得到千变万化而又有规律的图案的 18 15 三角形的三条高线三角形的三条高线 三角形的三条高线为何交于一点 16 多边形的外角和多边形的外角和 多边形的外角和是多少 为什么会是这个数值 19 17 谢尔品斯基毯谢尔品斯基毯 在一张三角形的地毯的内部挖去一个小三角形 这个小三角形的三个顶点分别是原来的 三角形三条边的中点 将这个过程在剩下的三角形地毯中继续下去 18 双卵相依双卵相依 在空中漂浮的两个椭球形气泡 它们相互依偎 互不分离 20 19 双圆管束双圆管束 观察下面的图案 它有什么特点 你能知道它是如何得到的 20 化圆为方化圆为方 方和圆之间 不是绝对的 圆可化为方 方可化为圆 21 三 函数图象三 函数图象 01 迭代变换迭代变换 由点 nnn yxP 可以得到点 111 nnn yxP 其中变换公式为 nnn nnn dycxy byaxx 1 1 点 P 是起始点 按照这种变换迭代下去 就可以得到一连串的点 点 P 的位置对这一连串的点有什么影响 字母 a b c 和 d 呢 22 02 阶梯函数阶梯函数 登高望远 往往需要攀登许多层的阶梯 那么这个梯面所在的曲线如何利用函数表示 拾级而上的过程 如何利用时间表示已经等上的高度 03 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 如何计算函数图象与 x 轴之间的区域的面积 可以把这些区域分为若干个长方形 分得 越细长方形的面积之和就越趋近于曲边多边形的面积 04 曲线的切线曲线的切线 过曲线上一点做该曲线的切线 当点在左侧时切线在曲线的上方 而当点在右侧时切线 在曲线的下方 那么是否存在一个点 使得过该点的切线穿过曲线 23 05 指数函数指数函数 y ax及其反函数及其反函数图象图象的交点的交点 指数函数 y a x 和它的反函数可能存在有多少个交点 如果存在交点 那么这些交点之 间具有什么关系 24 四 各种曲线四 各种曲线 01 贝塞尔曲线贝塞尔曲线 你了解贝塞尔曲线的性质吗 你明白贝塞尔曲线的构造原理吗 02 离散点曲线离散点曲线 几个离散点所组成的曲线 可能是什么形状的呢 能有什么规律呢 03 两圆切点的曲线两圆切点的曲线 两个半径相等且相切的圆在正方形的内部沿着边沿滚动的过程中 它们的切点所经过的 路径是一条什么形状的曲线 这条曲线具有什么特点和性质 25 04 花朵曲线花朵曲线 这是一个漂亮的如花朵般的曲线 你知道它对应的方程么 改变字母 a b c d 或 n 的值 你还可以看到它千变万化的形状 你能发现字母 a b c d 和 n 是如何影响花朵曲 线性质的吗 05 螺旋曲线螺旋曲线 改变字母 a m 或 n 的值 你还可以看到它千变万化的螺旋曲线 你能发现字母 a m 和 n 是如何影响螺旋曲线性质的吗 26 06 密铺曲线密铺曲线 仔细看看这幅图形有什么特点 这个由曲线组成的图形有什么性质 拖动红色的点 看一看整个图形是如何改变的 07 魏尔斯特拉斯曲线魏尔斯特拉斯曲线 一个处处连续且处处不可导的函数 27 08 三分角曲线三分角曲线 自圆上一点 D 向定点 C 作射线 在射线上取点 G 使 DG 等于定长线段 EF 点 D 在 圆上运动时 点 H 的轨迹就是三分角曲线 五 跟踪轨迹五 跟踪轨迹 01 李萨如图象李萨如图象 将椭圆的参数方程 sin cos tby tax 当中的自变量增加一个系数 就得到了李萨如曲线 sin cos ntby mtax 通过变量尺改变字母 a b m n 的值 观察和研究它们对李萨如曲线的 影响 28 02 旋轮线旋轮线 旋轮线是匀速圆周运动与匀速直线运动的组合 旋轮线的形状和性质受车轮运动速度 的影响吗 03 两圆的公切圆两圆的公切圆 与圆 A 和圆 B 同时相切的圆所在圆心应满足什么条件 29 04 圆周旋转圆周旋转 一个圆圈 绕它的直径旋转一周 能够得到什么图案 04 圆簇花苹果圆簇花苹果 点 A 和点 B 是圆 O 上的点 当点 A 在圆 O 上运动的过程中 以 A 为圆心 经过点 B 的圆 会怎样变化 圆 A 所扫描过的区域是一个什么形状的图案 06 数字与颜色数字与颜色 在这个颜色面板当中有多少种不同的颜色呢 拖动下方的红点 会发现下方有一个变 化的数字 红点对应上方的颜色也在同时发生着改变 30 07 星形线和玫瑰线星形线和玫瑰线 AB CD 是圆 O 的两条相互垂直的直径 点 E 是圆 O 上的任意点 G H 分别是点 P 到 AB CD 的垂足 OK GH 于点 K 当点 P 在圆周上运动的过程中 请观察和研究 GH OK 所扫描过的区域 08 直纹曲面直纹曲面 有两个半径相同的圆 且它们所在的平面平行 圆心之间的连线与两个圆所在的平面 都垂直 点 A 和点 B 分别在上下两个圆上 当点 A 和点 B 在各自的圆上以相同的速度运动 时 线段 AB 所形成的图形是具有什么性质的图形 31 09 四连杆运动四连杆运动 你知道四连杆的构造原理吗 它是如何工作的 六 三角函数六 三角函数 01 任意角任意角 我们可以把角看作是一条射线沿着它的端点旋转而成的 可以旋转半周得到 180 的 32 角 也可以旋转一周得到 360 的角 还也可以旋转超过一周得到大于 360 的角 02 正弦曲线的画法正弦曲线的画法 利用单位圆绘制正弦函数 y sin x 的图像 03 正弦曲线的形成正弦曲线的形成 圆周运动和直线运动的合成生成正弦曲线 33 04 正弦曲线的变换正弦曲线的变换 函数 y sin x 如何变换得到函数 y 3 sin 2x 3 05 余弦定理的直观说明余弦定理的直观说明 在一个三角形中 任意一边的平方等于另外两边的平方和减去另两边及其夹角的余弦的 积的两倍 34 06 正弦波叠加为锯齿波正弦波叠加为锯齿波 掌对于函数 y sin x 的图像我们已经非常熟悉 那么 y sin x sin 2x 2 的图像是什 么形状的呢 y sin x sin 2x 2 sin 3x 3 的图像呢 07 正弦波叠加成为方波正弦波叠加成为方波 我们知道 k kx IIy n k sin 1 是锯齿波 那么如果把这里的自然数 k 变为奇数 k 那么结果又会如何呢 35 七 随机问题七 随机问题 01 随机数表随机数表 观察一下 这个表格当中的数有什么规律 单击 重置 按钮 每个方格内的数不再相 同 但它们是否仍然满足你所发现的规律 02 抛硬币抛硬币实验实验 频率和概率分别表示什么意义 有什么联系与区别 36 03 抛豆估计圆周率抛豆估计圆周率 抓一大把豆子 撒在正方形内部 那么落在圆内的豆子数与落在正方形内的豆子数之比 就近似等于圆的面积与正方形的面积之比 当然撒的豆子数目越多 豆子数目之比越接近于 面积之比 已知边长我们就能求出正方形的面积 那么利用撒豆子的方法你能求出圆的面积吗 从 而进一步求出圆周率 的近似值吗 04 投针估计圆周率投针估计圆周率 有关 的计算 最奇妙的方法是 18 世纪法国自然学家肯特 布冯的 投针问题 在 一个平面上画一些间距都为 d 的平行线 一根长度小于 d 的针被投掷到画好线的平面上 如 果刚好压在线上 那么就认为投掷有效 布冯惊人的发现 有效投掷与无效投掷的比例可用 表达出来 37 八八 圆锥曲线 圆锥曲线 01 圆的放缩圆的放缩 椭圆可以看做是把圆压缩或拉伸而得到的 那么这个压缩或拉伸的方向有什么特征或要 求 02 椭圆的生成椭圆的生成 点 A 在圆 O 的内部 M 是 AP 的中点 MN AP MN 交 OP 于点 N 当点 P 在圆上运 动的过程中 点 N 所经过的路径是什么图形 你能否对你所发现的结论进行解释 38 将点 A 拖动到圆 O 的外部 其他条件不变 M 是 AP 的中点 MN AP MN 交 OP 于 点 N 当点 P 在圆上运动的过程中 点 N 所经过的路径是什么图形 你能否对你所发现的 结论进行解释 03 直线的包络直线的包络 点 A 是圆 A 内的一点 点 B 是圆 O 上的任意点 MN 是圆 O 的一条弦 它垂直且平分 线段 AB 当点 B 在圆上运动的过程中 弦 MN 的位置也会发生对应的改变 那么弦 AB 的 包络是一个什么图形 你能进一步解释其中的道理吗 39 04 二次方程曲线二次方程曲线 参数 A B C D E F 是如何影响方程 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0 对应曲线的性质的 40 05 过五点的二次曲线过五点的二次曲线 经过五个点就能够确定一个二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 对应的曲线 想一想 为什么 06 离心率对圆锥曲线的影响离心率对圆锥曲线的影响 到点 A 的距离与到直线 m 的距离之比为定值 a 的点的轨迹 是一条圆锥曲线 我们把 这个比值 a 称作是圆锥曲线的离心率 而当 a 改变时 圆锥曲线的性质也会随之发生改变 那么 a 是如何影响圆锥曲线的性质 的呢 41 07 圆锥的椭圆截线圆锥的椭圆截线 用平面去截取一个圆锥 当什么时候能够得到一个椭圆形状的截线呢 或者说 当得到的截线为椭圆时 平面与圆锥具有什么样的位置关系 42 08 圆锥的抛物截线圆锥的抛物截线 用平面去截取一个圆锥 当什么时候能够得到一个抛物线形状的截线呢 或者说 当得到的截线为抛物线时 平面与圆锥具有什么样的位置关系 09 圆锥的双曲截线圆锥的双曲截线 用平面去截取一个圆锥 当什么时候能够得到一个双曲线形状的截线呢 或者说 当得到的截线为双曲线时 平面与圆锥具有什么样的位置关系 43 10 椭圆的滚动椭圆的滚动 如果圆形的车轮被压扁了 它很可能会变成什么形状的图形 如果它还继续向前行驶 那么它将如何运动 坐在上面的人会有什么样的感觉 44 九 九 空间几何空间几何 01 小蛮腰小蛮腰 这个小蛮腰形状的建筑 它具有什么特点 它的结构是怎样的 02 波浪彩带波浪彩带 通过红色控制点可以从各个方向对彩带进行观察和研究 你能发现这条彩带具有什么性 质 45 03 马鞍面马鞍面 马鞍面是一种曲面 又叫双曲抛物面 形状类似于马鞍 构造方法是在 xz 面上构造一 条开口向上的抛物线 然后在 yz 面上构造一条开口向下的抛物线 两条抛物线的顶端是重 合在一点上的 然后让第一条抛物线在另一条抛物线上滑动 便形成了马鞍面 马鞍面得函数解析式为 z xy 46 04 猴鞍面猴鞍面 猴鞍面是一种三次曲面 其标准方程为 z x 3 3xy 2 这个曲面在原点附近像一个适合 猴子坐的鞍 三个向下的缺口分别可放下猴子的双腿和尾巴 故名猴鞍面 05 螺旋曲线螺旋曲线 螺旋曲线是一条沿半径为 m 的圆柱体表面以角速度 k k 为比例因子 匀速升降的曲 线 47 06 呼吸呼吸 曲面的某些部分 有规律地进行上下运动 像是曲面在进行呼吸的过程 07 李萨如曲线李萨如曲线 李萨如 Lissajous 曲线是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹 48 08 房子的透视房子的透视 透视就是在平面上再现空间感 立体感的方法 在这里拖动下方的红色控制点 可以得到从不同的方向观察房子的效果 49 09 椭圆的旋转椭圆的旋转 椭圆绕着它的长轴旋转一周 得到的几何体具有什么性质 10 抛物线的旋转抛物线的旋转 抛物线绕着它的准线旋转一周 得到的几何体有什么性质 11 双曲线的旋转双曲线的旋转 双曲线沿着与它的焦点连线垂直的对称轴旋转一周 所得到的几何体有什么性质 50 12 双四棱锥包络双四棱锥包络 这两个正四棱锥具有公共的底面正方形 观察一下它们的侧面具有什么性质和特征 13 正四面体包络正四面体包络 这是一个正四面体 不过它的每一个面都有一个空心的莱洛三角形 这个莱洛三角形是 怎么形成的呢 通过观察它的每一个面得性质和特征能否得到你的结论 51 14 旋转的正六棱柱旋转的正六棱柱 正六棱柱有哪些性质 拖动红色控制点可以从不同方向对它进行观察和研究 15 圆柱的截面圆柱的截面 一个圆柱被平面所截 所得到的截面可能是什么图形 改变标示平面的四个点 A B C D 可以改变平面与圆柱的相对位置 从而给改变截面的形状和性质 52 16 正四面体的展开正四面体的展开 对于一个正四面体来说 它被完全展开之后 有几种可能的结果 17 棱锥的侧面展开棱锥的侧面展开 在这里 棱锥底面正多边形的边数可以任意改变 从而得到正三棱锥 正四棱锥 正五 棱锥 正六棱锥 53 18 圆柱侧面展开圆柱侧面展开 圆柱的侧面展开之后可以得到一个长方形 长方形的长和宽又分别由圆柱当中的哪些因 素所确定的呢 54 19 圆锥侧面展开圆锥侧面展开 圆锥的侧面展开之后 就得到了一个扇形 扇形的圆心角与原来圆锥的性质有关 那么 具体来说它是由哪些因素决定的呢 20 圆柱截线的展开图圆柱截线的展开图 当一个与圆柱底面不平行的平面去截取圆柱时 所得到的截线就是一个椭圆 这个被平面所截之后的几何体的侧面展开之后 它的椭圆形的截线展开得到了什么形 状的曲线 55 A 物理问题物理问题 01 布朗布朗运动运动 液体分子不停地做无规则的运动 不断地随机撞击悬浮微粒 当悬浮的微粒足够小的时 候 由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的 在某一瞬间 微粒在另一 个方向受到的撞击作用超强的时候 致使微粒又向其它方向运动 这样 就引起了微粒的无 规则的运动就是布朗运动 02 声的传播声的传播 纵波是指在传播介质中质点的振动方向与波的传播方向平行的一类波 声波就是一种纵 波 56 03 声的传播声的传播 纵波是指在传播介质中质点的振动方向与波的传播方向平行的一类波 声波就是一种纵 波 04 横波横波 横波的特点是质点的振动方向与波的传播方向垂直 横波的传播 在外表上形成一种 波 浪起伏 即形成波峰和波谷 传播的只是振动状态 媒质的质点并不随波前进 57 05 多普勒现象多普勒现象 多普勒现象指的是 波在波源移向观察者接近时接收频率变高 而在波源远离观察者时 接收频率变低 06 干涉条纹干涉条纹 干涉 指满足一定条件的两列相干波相遇叠加 在叠加区域某些点的振动始终加强 某 些点的振动始终减弱 即在干涉区域内振动强度有稳定的空间分布 58 07 平抛运动平抛运动 如果把平抛运动分解为水平方向和竖直方向上的运动 那么在水平方向上和竖直方向上 的运动分别具有怎样的特点与规律 59 08 炮弹的轨迹炮弹的轨迹 炮弹从炮口被射出后 它所行驶的路径 到达的距离与哪些因素有关 分别改变初速度 重力加速度和角度 观察这些因素是如何影响炮弹的射程的 09 力的分解力的分解 力的分解当中的平行四边形法则 60 10 单摆模型单摆模型 通过单摆的简谐运动得到正弦波曲线 11