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_高等数学_课程教案授课类型 理论课 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.1映射与函数 一、集合 二、映射 三、函数本授课单元教学目标或要求： 映射与函数概念、函数的几种特性要求：熟悉初等函数图形、性质，能建立简单实际问题中的函数关系式本授课单元教学内容： 通过生活中的实例引入集合相关概念，给出集合的表达形式并讨论其运算，通过对集合运算法则的证明培养学生严谨的逻辑思维；给出映射概念及其表示形式并举例说明，通过对实例的分析，对映射进行分类；在映射概念的基础上，说明函数是一种特殊的映射，并列举多个常用函数进行分析；给出函数有界性的定义并举例进行说明，回顾初等数学中函数奇偶性、单调性与周期性并给出函数实例；通过画集合之间的关系图示，分析逆映射与复合映射，给出反函数与复合函数概念；最后给出函数之间四则运算的表达形式并举例说明。 重点：函数概念，函数奇偶性、单调性、周期性、有界性，反函数、复合函数概念难点：映射与函数关系，反函数、复合函数概念难点突破：通过实例的列举和画集合之间的关系图示，帮助学生理解映射、逆映射和复合映射的概念，在此基础上利用映射引入函数概念，分析函数定义的两个要素，进一步利用逆映射定义反函数、利用复合映射定义复合函数。 本授课单元教学手段与方法：实例教学方法和画图辅助法。本授课单元思考题、讨论题、作业： 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.2数列的极限本授课单元教学目标或要求：数列极限的定义、收敛数列的性质、简单的数列极限计算要求：理解极限的定义、会做简单的给出求的计算，收敛数列的性质，简单的数列极限计算本授课单元教学内容： 通过讨论典型数列，和，启发学生认识到：数列当时有四种变化趋势：（1）与某常数无限接近；（2）无限增大；（3）无限减小；（4）无特定的变化趋势，在此基础上引入数列极限的定义，并进一步利用该定义，证明数列极限的四条重要性质。 重点：数列极限的定义，收敛数列的性质，简单的数列极限计算难点：数列极限的定义难点突破：在老师的启发下，师生互动的过程中，通过对数列与常数的关系的细致入微地剖析，逐渐将数列极限概念渗透到学生的头脑中。在讲解难点时，注意结合数列极限的几何意义这一重要的辅助手段，帮助学生理解数列极限的定义的本质。本授课单元教学手段与方法：本节在教师的引导下，启发学生发现、总结、思考并解决问题。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.3函数的极限本授课单元教学目标或要求：函数极限的、定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算要求：理解函数极限的定义、会做简单的给出求的计算，函数极限的性质，函数极限计算本授课单元教学内容： 在分析数列与函数关系的基础上，启发学生思考函数极限可能出现的自变量变化情形，抛开数列极限定义中的特殊性，给出自变量的两种变化趋势；与数列极限的对比给出自变量趋于有限值时函数极限为的、自变量趋于无穷大时函数极限为的定义，利用定义证明几个简单函数的极限；进一步分别给出两种情形下函数极限为的几何解释和单侧极限的定义，讨论极限存在与单侧极限之间的关系并举例说明；与数列极限的四条性质相对应，给出函数极限的相应性质，并利用几何解释作为辅助思考手段，启发学生共同完成证明。重点：函数极限的、定义，函数极限的性质，简单的函数极限计算难点：函数极限的、定义难点突破：本节的难点在于函数极限的、定义，在讲授时首先分析数列与函数关系，从而启发学生思考函数自变量可能出现的变化情形与数列变化情形的不同，在此基础上给出自变量的两种变化情形，并与数列类比得出相应的函数极限定义。本授课单元教学手段与方法：和数列极限进行类比进行讲授，以几何解释作为辅助手段。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.4无穷小与无穷大 1.5极限运算法则本授课单元教学目标或要求：无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系，极限运算法则要求：理解无穷大、无穷小的定义，熟悉无穷大、无穷小的关系，熟练掌握极限运算法则本授课单元教学内容：给出无穷小的定义并举例，强调学生注意无穷小与很小数的区别，利用无穷小给出函数极限存在的充要条件；给出无穷大的定义并举例，同样强调学生注意无穷大与很大数的区别，给出函数为当时无穷大的几何意义并举例说明；利用函数极限的定义证明无穷大与无穷小之间的关系定理；利用极限定义、无穷小与函数极限的关系证明极限相关运算法则，在此基础上举例说明这些法则的使用，总结有理函数极限计算的各种可能情形。 重点：无穷大、无穷小的定义，无穷大、无穷小的关系，极限运算法则难点：复合函数极限运算法则难点突破：本节的难点是复合函数当时极限运算法则的证明，在证明之前，分析当时极限为的定义，从而得到中间变量需要满足的条件，进一步结合当时极限为的定义给出证明。本授课单元教学手段与方法：以讲授和实例为主的教学方法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.6极限存在准则 两个重要极限本授课单元教学目标或要求：极限存在准则，两个重要极限要求：理解极限存在准则，熟练运用两个重要极限求极限本授课单元教学内容：首先证明数列极限存在准则i夹逼准则并推广到函数极限运算上，然后利用这一准则作辅助单位圆证明重要极限1，向学生展示数学中代数、几何的有机统一，之后举例说明极限存在准则i和重要极限1的适用情形；给出数列极限存在准则ii并给出其几何解释，证明重要极限2，举例说明数列极限存在准则ii和重要极限2的适用情形。重点：极限存在准则 两个重要极限难点：极限存在准则ii难点突破：本节的难点是极限存在准则ii，解决这一难点的关键是要同学生一起在互动讨论中得出极限存在准则ii直观的几何解释，帮助学生很好的理解极限存在准则ii中包含的数学思想，之后通过变式教学方法，突出两个重要极限的本质特征本授课单元教学手段与方法：实例教学法和变式教学法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.7无穷小的比较 1.8函数的连续性与间断点本授课单元教学目标或要求：无穷小的比较，函数连续的定义，函数的间断点的分类要求：理解高阶无穷小、等价无穷小、同阶无穷小的定义，会用等价无穷小代换，理解函数连续的定义，能判断函数的连续和间断点及间断点的类型本授课单元教学内容：通过三个实例，提出无穷小趋于零的“快慢”问题，在此基础上给出高阶、低阶、同阶、阶和等价无穷小的定义，以实例说明这些定义；证明为等价无穷小的充分必要条件并给出常用的时的等价无穷小；证明重要的等价无穷小代替定理，举例说明这一定理，并通过等实例说明使用这一定理的前提条件；从生活中的实例出发，得出函数连续的直观描述，并结合平面曲线连续引入函数连续的数学定义，进一步给出单侧连续的定义，讨论函数间断点的分类与判断方法。 重点：无穷小的比较、等价无穷小代换，函数连续的定义，函数的间断点的分类难点：等价无穷小代换，函数的间断点的分类难点突破：针对等价无穷小代换这一难点，总结常用的等价无穷小，通过实例说明代换需满足的条件；函数间断点的分类中通过流程型板书格式突出内容的逻辑衔接。本授课单元教学手段与方法：发现教学法和实例教学法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 1.10闭区间上连续函数的性质本授课单元教学目标或要求：连续函数的运算，初等函数在其定义区间内连续，闭区间上连续函数的性质要求：熟练运用连续函数的运算求极限，能判断一个函数是否为初等函数并给出其连续区间，会用零点定理判断方程根的存在性本授课单元教学内容：与极限运算相类比，对连续函数四则运算、反函数、复合函数连续性定理进行证明，并以实例进行说明；首先总结基本初等函数在其定义域内都是连续的，回顾初等函数的定义，然后结合连续函数的运算，在与学生的共同讨论中得出初等函数在其定义区间内都是连续的这一重要结论，通过实例解释定义区间与定义域的区别；结合对几何图形的分析证明闭区间上连续函数的有界性和最大最小值定理、零点定理和介值定理。重点：连续函数的运算，初等函数在其定义区间内连续，闭区间上连续函数的性质难点：闭区间上连续函数的性质难点突破：本节的难点在于学生对闭区间上连续函数性质的理解和使用，解决这一难点的关键在于应该将函数与图形相结合，采用图形辅助的方法，在教师启发下，引导学生主动去发现这些性质，加深对这些性质的理解，进而学会使用这些性质。本授课单元教学手段与方法：发现教学法、实例教学法和图形辅助相结合 本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 习题课_ 授课时间 2 节授课题目：第一章 函数与极限习题课本授课单元教学目标或要求：函数与极限综合习题课要求：掌握函数基本性质，掌握数列、函数极限的求法，能判断函数的连续和间断、间断点类型，能用闭区间上连续函数性质作简单证明本授课单元教学内容：首先讲解本章知识体系，指出章节中的重点和难点，给出系统的知识结构图表，然后根据学生在作业中所反映出的问题，有针对性的讲解典型例子，并在相应的典型例子之后列出同类型题目，最后为了达到分层次教学的目的，列举一些综合性、有一定难度的问题，通过对问题的分析，启发学生掌握问题关键、学会拆解难点，进一步解决问题。重点：函数极限计算，函数连续、间断点判断难点：极限计算方法的总结和采用，间断点的分类难点突破：针对极限计算方法的总结和采用这一难点，系统地总结现有的极限计算方法，给出相应适用情形实例，采用课堂练习的方式让学生自己用这些方法解决相应问题，加深学生对这些方法及其适用情形的记忆；对于间断点的分类问题，回顾不同间断点的定义和函数实例，强调这一问题的实质仍然归结为函数极限的计算问题，通过对前面函数实例的分析进一步说明这一实质。本授课单元教学手段与方法：系统地总结该章的重点和难点，主要使用实例教学法本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.1导数概念本授课单元教学目标或要求：导数定义，导数的几何意义，利用定义求函数的导数要求：理解导数的定义和导数的几何意义，能利用导数的定义求函数的导数本授课单元教学内容：从极限思想出发，用直线运动平均速度的极限定义其瞬时速度并给出表达式，用曲线上一点处割线的极限位置定义曲线上该点的切线，进一步给出切线斜率的表达式；比较瞬时速度与切线斜率表达式的共同点，撇开其具体意义，得出函数的导数定义，进一步给出导函数的定义；结合极限计算方法，计算等基本初等函数的导函数，给出不可导典型实例：在处；定义左导数和右导数，在此基础上给出函数在区间可导的定义；解释导数几何意义，并用几何意义说明函数在处不可导；最后给出并证明函数可导性与连续性之间的关系。重点：导数定义及利用定义求导数，导数的几何意义难点：导数定义难点突破：本节的难点是导数定义，为了解决这一难点，首先在讨论直线运动的瞬时速度和曲线上一点切线斜率问题时，采用发现教学法，启发学生去发现瞬时速度与平均速度、切线与割线的关系，然后与学生一起给出极限的表达形式，最后和学生讨论这一形式中各部分的含义，从而促使学生牢固理解记忆导数定义。本授课单元教学手段与方法：发现教学法和图形辅助相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.2函数的求导法则本授课单元教学目标或要求：函数的四则运算的求导法则，反函数求导法则。要求：熟练掌握函数四则运算的求导法则及反函数的导数法则。本授课单元教学内容：利用极限运算和函数可导一定连续证明函数四则运算的求导法则，举例说明这些法则的使用，完善基本初等函数中三角函数的求导公式。然后证明反函数的求导公式，用指数函数和对数函数导数进行验证，进一步求出反三角函数的求导公式。 重点：函数的四则运算的求导法则，反函数求导法则难点：反函数的导数难点突破：本节的难点在于反函数的求导方法，解决这一难点的关键在于通过实例函数的分析，帮助学生理清函数关系，再结合求导运算加深学生对基本求导法则与导数公式的记忆，使学生作到不仅知道公式、法则，而且还能独立的合理运用这些法则和公式。本授课单元教学手段与方法：启发式教学法和实例教学法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.2函数的求导法则本授课单元教学目标或要求：复合函数求导法则，基本求导法则与导数公式要求：熟练掌握复合函数求导法则及基本求导法则与导数公式。本授课单元教学内容：证明复合函数的求导法则，从复合函数实例出发，逐步分解、求导，帮助学生理解这一法则；最后总结基本求导法则与导数公式，并进一步用实例进行说明，加强学生求导运算的能力。 重点：基本求导法则与导数公式，复合函数求导法则。难点：复合函数的导数难点突破： 本节的难点在于复合函数的求导方法，解决这一难点的关键在于通过实例函数的分析，将复杂的函数分解，帮助学生理清函数关系，再结合求导运算加深学生对复合函数求导法则与导数公式的记忆，使学生作到不仅知道公式、法则，而且还能独立的合理运用这些法则和公式。本授课单元教学手段与方法：讲授和实例为主的教学方法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.3高阶导数本授课单元教学目标或要求：高阶导数的定义、计算要求：理解高阶导数的定义，掌握简单函数的高阶导数的计算本授课单元教学内容：从物理中变速直线运动速度与位置函数、加速度与速度函数之间的关系，引入二阶导数的定义和表达形式，将其拓展到阶导数的定义和表达形式，并说明高阶导数求导运算与普通求导运算的关系；利用数学归纳法证明高阶导数的leibniz公式，将其与二项式定理形式进行比较，帮助学生记忆，最后通过实例的求导运算说明利用这一公式简化高阶导数求导运算的适用情形。重点：高阶导数的定义、计算难点：高阶导数的计算难点突破：本节的难点在于高阶导数计算中的简化技巧，在讲授中以的高阶导数为例，将一阶导数的形式进行适当地转化，使其与形式相近，再结合复合函数求导法则，给出二阶导数表达式，进一步给出阶导数表达式；最后对leibniz公式的适用情形进行总结。本授课单元教学手段与方法：讲授和实例为主的教学方法。本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率本授课单元教学目标或要求：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变换率要求：掌握隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的计算，理解相关变化率的求解办法本授课单元教学内容：首先给出隐函数的定义，介绍隐函数的显化；进一步提出隐函数显化有困难情况下函数的求导问题，启发学生思考在这种情况下，如何去求隐函数的导数，通过实例说明这一方法，在隐函数求导运算的基础上，介绍对数求导法并以实例说明这一方法的适用情形；然后从抛射体运动轨迹函数表达式的建立，提出参数方程所确定函数的导数计算方法，用复合函数和反函数求导法则给出求导方法并通过实例说明；最后通过实际问题引入相关变化率的定义，给出其在物理、经济上的运用实例。重点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变换率难点：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数难点突破：针对本节隐函数所确定函数的求导问题，需要在实例的讲授过程中，将求导过程须将看作是的函数这一本质逐步渗透到学生头脑中；而对于参数方程所确定函数的求导问题，主要在于高阶导数的求法上，需要启发学生思考，得出参数方程的导数仍然以参数方程形式表示，从而帮助学生理解参数方程高阶求导运算的本质。本授课单元教学手段与方法：启发式教学法和实例教学法相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学习题课教程，张小柔等编，科学出版社高等数学习题课讲义，梅顺治等编授课类型_ 理论课_ 授课时间 2 节授课题目：第二章 导数与微分2.5函数的微分本授课单元教学目标或要求：函数微分的定义、计算要求：理解函数微分的定义，掌握函数的微分的计算，理解函数微分的几何意义本授课单元教学内容：通过平面正方形金属薄片在温度变化下面积改变量的启发，引入函数可微性及函数微分的定义，给出函数可微与函数可导之间的关系；从几何上解释微分意义，提出以切线段代替曲线段的重要数学思想，为后续弧微分及弧长计算打好基础；总结基本微分公式和微分运算法则，从复合函数微分法则给出微分形式不变性并通过实