讲义_直线与圆的位置关系.doc

精品资料 考考试试要求要求 板板块块 A 级要求B 级要求C 级要求 直线与圆的 位置关系 了解直线与圆的位置关 系 了解切线的概念 理 解切线与过切点的半径 之间关系 会过圆上一 点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线 能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题 能解决与切线有关的 问题 切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题 一 直一 直线线和和圆圆的位置关系的定的位置关系的定义义 性 性质质及判定及判定 1 设的半径为 圆心到直线 的距离为 则直线和圆的位置关系如下表 O rOld 位置关系图形定义性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 直线 与相离dr lO 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点 直线叫做 圆的切线 唯一公共点叫做切点 直线 与相切dr lO 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点 直线叫做 圆的割线 直线 与相交dr lO 从另一个角度 直线和圆的位置关系还可以如下表示 直线和圆的位置关系相交相切相离 公共点个数210 圆心到直线的距离与半径的关系drdr dr dr 公共点名称交点切点无 直线名称割线切线无 精品资料 二 切二 切线线的性的性质质及判定及判定 1 切切线线的性的性质质 定理 圆的切线垂直于过切点的半径 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切切线线的判定 的判定 定义法 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 距离法 到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切切线长线长和切和切线长线长定理 定理 切线长 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间的线段的长 叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线 的夹角 切切线线的判定定理的判定定理 设 OA 为 O 的半径 过半径外端 A 作 OA 则 O 到 的距离 d r 与 O 相切 因此 我们得到 lll 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 注 定理的题设 经过半径外端 垂直于半径 两个条件缺一不可 结论是 直线是圆的切线 举例说明 只满足题设的一个条件不是 O 的切线 A O l 证明一直线是圆的切线有两个思路 1 连接半径 证直线与此半径垂直 2 作垂线 证垂足在圆上 切切线线的性的性质质定理及其推定理及其推论论 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 我们分析 这个定理共有三个条件 一条直线满足 1 垂直于切线 2 过切点 3 过圆心 三 三角形内切三 三角形内切圆圆 T M O B A l A O T O A 定理 过圆心 过切点 垂直于切线 过圆心 过切点 则 OA OAAOAAT 经过圆心 垂直于切线过切点 1 2 AB M ABMT 过圆心 为切点 经过切点 垂直于切线过圆心 1 2 AMMT AM M 过圆心 为切点 O A l 精品资料 1 定义 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫 做圆的外切三角形 2 多边形内切圆 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的外切多边形 3 直角三角形的内切圆半径与三边关系 O F E D C B A C B A C B A c b a c b a 1 2 图 1 中 设分别为中的对边 面积为a b c ABC ABC S 则内切圆半径 1 其中 图 2 中 则 s r p 1 2 pabc 90C 1 2 rabc 四 典例分析 切线的性质及判定 例 1 如图 是的直径 点在的延长线上 过点作的切线 切点为 若 ABOADABDOAC25A 则 D 例例 1 例例 2 巩固巩固 例 2 如图 直线与相切于点 的半径为 若 则的长为 ABO AO 230OBA OB A B C D 4 342 32 巩固 如图 与相切于点 线段与弦垂直于点 则切线 ABO BOABCD60AOB 4cmBC AB cm 例 3 如图 若的直径与弦的夹角为 切线与的延长线交于点 且的半径OAABAC30 CDABDOA 为 2 则的长为 CD A B C 2D 42 34 3 O A C B D O BA O D C B A A C D B O O E D C B A 精品资料 例例 2 巩固巩固 巩固 如图 为半圆的直径 点在的延长线上 切半圆于点 于点 EBOAEBADODBCAD C 半圆的半径为 则的长为 2AB O2BC 例 4 如图 已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底 下底以及腰均相ABCDCDOADBCAB 切 切点分别是 求证 以为直径的圆与相切 DCE ABCD 例 4 巩固 巩固 如图 已知以直角梯形中 以为直径的圆与相切 求证 以为直径的圆与相ABCDABCDCDAB 切 例 5 已知 如图 在中 以为直径的半圆与边相交于点 切线 ABC ABAC BCOABDDEAC 垂足为点 求证 1 是等边三角形 2 EABC 1 3 AECE 巩固 如图 切于点 直线交于点 弦 求证 MPO MOPO AB ACMP MOBC M P O C B A 例 6 如图 中 是的中点 以为圆心的圆与相切于点 ABC ABAC OBCOABD 求证 是的切线 ACOA 例 7 如图 已知是的直径 为的切线 切点为 平行于弦 ABOABCOABOCADOAr 1 求证 是的切线 CDOA 2 求的值 AD OC 3 若 求 CD 的长 9 2 ADOCr O D C B A O D C B A E A C O B O D CB A O D C BA 精品资料 M OA D C B 巩固巩固 如图 已知是的直径 是和相切于点的切线 过上点的直线 ABOABCOABOAAADOC 若且 则 2OA 6ADOC CD 巩固巩固 如图 AB 是半圆 圆心为 O 的直径 OD 是半径 BM 切半圆于 B OC 与弦 AD 平行且交 BM 于 C 1 求证 CD 是半圆的切线 2 若 AB 长为 4 点 D 在半圆上运动 设 AD 长为 点 A 到直线 CD 的距离为x 试求出与之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 yyxx 例 8 如图 为的直径 是外一点 交于点 过点作的切线 交于ACOABOAABOAEEOABC 点 作于点 交于点 DDEDC EFAC FADM 1 求证 是的切线 BCOA 2 EMFM 例 9 如图 割线与相交于 两点 为上一点 为的中点 交于 ABCOABCDOAE A BCOEBCF 交于 DEACGADGAGD 1 求证 是的切线 ADOA 2 如果 求的半径 242ABADEG OA 例 10 如图 已知点在的边上 以为直径的与相切于点 且平分EABC ABAEO BCDAD 求证 BAC ACBC 巩固 是圆的直径 是它的弦 过作圆的切线 过作交于 则ABBCCCDBBECD CDE ABCEBC 例 11 如图 已知中 以为直径作交于 过作的切线Rt ABC 90ABC ABO ACDDO 交于 求证 DEBCEBECE C O D BA M OF E D C B A O G F E D C B A O E D C B A A O B C D E D O E C BA 精品资料 巩固 如图 已知的弦垂直于直径 垂足为 点在上 且 延长到点 连O ABCDFEABEAEC ECP 结 若 试判断与的位置关系 并说明理由 PBPBPE PBO 例 12 如图 点在的直径的延长线上 切于点 连结 POABA2ABPA PCOACBC 1 求的正弦值 P 2 若的半径 求的长度 OA2cmr BC 巩固 在中 是边上一点 以为直径的与边相切于点 连RtABC 90ACB DABBDO ACE 结并延长 与的延长线交于点 DEBCF 1 求证 BDBF 2 若 求的面积 64BCAD O 例 13 如图所示 AB 是直径 弦于点 且交于点 若 O OD BCFO EAECODB 1 判断直线和的位置关系 并给出证明 BDO 2 当时 求的长 108ABBC BD 巩固 已知 如图 O 的直径 8cm 是延长线上的一点 过点作 O 的切线 切点为 连接ABPABPC AC 1 若 求阴影部分的面积 120ACP 2 若点在的延长线上运动 的平分线交于点 PABCPA AC4 tan604 3PC 的大小是否发生变化 若变化 请说明理由 若不变 求出 的 8 8 3 3 OPC SSS 阴影扇形BO C 1 2 度数 O P F E D C B A P C O B A O F E D CB A F E C O D BA O PB C A 精品资料 例 14 在平行四边形中 以为直径作 ABCD1060ABADmD ABO 1 求圆心到的距离 用含的代数式来表示 OCDm 2 当取何值时 与相切 mCDO 例 15 已知 如图 的直径与弦相交于 的切线与弦的延长线O ABCDE AA BCBD O BFAD 相交于点 F 1 求证 CDBF 2 连结 若的半径为 求线段的长 BCO 4 3 cos 4 BCD ADCD 巩固 如图 在中 为边上一点 以为圆心 为半径作半圆ABC 90C 34ACBC OBCOOB 与边和边分别交于点 连结 BCABDE DE 1 当时 求线段的长 3BD DE 2 过点作半圆的切线 当切线与边相交时 设交点为 求证 是等腰三角形 EOACFFAE 典例分析 切典例分析 切线长线长定理及切定理及切线线性性质质的的应应用用 例 16 在中 点在上 以为圆心的分别与 相切于 Rt ABC 90A OBCOOAABACEF 若 则的半径为 ABa ACb OA A B C D ab ab ab ab ab 2 ab 例 17 如图 与以为直径的相切于点 则四ABBC DCBC BCADOAE9AB 4CD 边形的面积为 ABCD O A B C D E O F D C B A O F E D CB A C E O F B A C EO D B A P E O F D B A 精品资料 例 18 如图 过外一点作的两条切线 切点分别为 连结 在 OAPOAPAPBABABAB 上分别取一点 使 连结 则 PBPADEFADBE BDAF DEDFEFEDF A B C D 90P 1 90 2 P 180P 1 45 2 P 例例 19 如图 已知中 定值 的圆心在上 并分别与 ABC ACBC CAB OAOABAC 相切于点 BCPQ 1 求 POQ 2 设是延长线上的一个动点 与相切于点 点在的延长线上 试判断DCADEOAMECB 的大小是否保持不变 并说明理由 DOE 例例 20 如图 为的内切圆 点 为切点 若 则的面积OARt ABC DEF6AD 4BD ABC 为 例例 21 正方形中 切以为直径的半圆于 交于 则 ABCDAEBCECDF CF FD A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 2 5 巩固巩固 如图 以正方形的边为直径 在正方形内部作半圆 圆心为 切半圆于 交ABCDABOCGE 于 交的延长线于 ADFBAG8GA 1 求的余弦值 2 求的长 G AE 例例 22 如图 是半的直径 点是半径的中点 点在线段上运动 不与点重合 ABOAMOAPAMM 点在半上运动 且总保持 过点作的切线交的延长线于点 QOAPQPO QOABAC 1 当时 请你对的形状做出猜想 并给予证明 60QPA QCP 2 当时 的形状是 三角形 QPAB QCP 3 则 1 2 得出的结论 请进一步猜想 当点在线段上运动到任何位置时 一定PAMQCP 是 三角形 N QP O D C B A C E O F D B A E O F D CB A G E O F D C B A P Q M C O