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直觉思维在数学解题中的应用 临沧市二中：李存茜直觉思维在数学解题中的应用摘 要：在传统解题教学中，比较强调逻辑思维的作用，而事实上，直觉思维往往引导着逻辑思维的方向。本文分三部分来写：首先阐述直觉思维的概念；然后分析直觉思维的意义；最后举例说明直觉思维在中学数学解题中的应用。关键词：直觉思维；解题；应用1 数学直觉思维概念的界定1.1 什么是数学直觉思维在日常的数学教学中，我们常常会遇到这样的情形：在课堂上题目刚刚写完，老师还没来得及解释题意，有的同学就立即报出了答案。若进一步问他为什么？他说不出思维过程，此时其他同学会笑他瞎猜。这种现象就是数学直觉思维。那么，直觉思维究竟是什么？关于直觉思维，提法很多，比如：直觉思维是一种对事物、问题、现象的直接领悟式的思维。它不是按照逻辑思维的方式，对问题作详尽有序的逻辑推理，而是一种迅速的识别、敏锐的洞察和直接的理解。直觉思维是越过中间环节，直接达到结论的一种非逻辑思维1。数学直觉，简单地说，即是指人脑对于数学对象的某种直接的领悟和洞察2。对于直觉思维这一概念进一步说明如下：1.2 直觉与逻辑的关系在解决数学问题的过程中，逻辑思维与直觉思维是相互补充、相互为用的。直觉存在于逻辑方法运用过程的整体和局部。通常在主体接触问题之后，首先就有一个依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段，然后才能运用逻辑思维进行逻辑推理和集中思维以使认识逐步深入。而在局部的前进过程中思维受阻后，则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜想和想象，使思维发散直至找到新的正确思路。有一种观点认为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话不无道理，但侧重并不等于完全，在这个过程中，就主要倾向而言，直觉思维是数学发现的重要方法，而逻辑思维则是解决问题的基本方法。难怪法国数学家庞加莱说:“直觉是发明的工具，逻辑是证明的工具，直觉是逻辑的压缩” 3。因此，在具体的数学思维过程中，主体应加强这两种思维方式辨证运用的自觉意识，特别是要重视直觉思维在解题时的指引方向的调整思路的重要作用。比如：如图1，在中， 的平分线交于，那么图1分析: 通过观察图形，凭借直觉可猜想，即猜想，从而快速找到证题思路，下面只需用逻辑推理验证即可。 2 直觉思维的重要意义及其在数学解题中的作用2.1 数学新课程改革重视数学直觉思维标准中明确提出要培养和发展学生的创新意识和实践的能力，并要求教师引导学生主动地进行观察、实验、猜测、推理和交流等数学活动，让学生获得必须的数学知识，并会运用数学直觉思维去解决实际问题，使学生获得进行数学探究的切身体验和能力4。高中数学课程标准教师读本中还明确指出：在课程标准中，加强的内容有：知识的直观感觉。削弱的内容要：降低逻辑推理的要求5。高、中考的命题已由“知识立意”逐步过度到“能力立意”，鼓励创新精神的考题不断涌现，在高、中考限时的情况下，要能解决好这种类型的考题则需要考生具有较强的数学直觉思维。而这其中，直觉思维在数学解题中的作用也就日显重要。再如:如图2，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（ ）（A） 直线 （B） 圆 （C） 双曲线 （D） 抛物线 解：因为面，所以点到直线的距离等于的点到点的距离。故选。图2 说明：此题以立体几何为载体，考查了圆锥曲线的定义。注重直觉思维，体现新课标的精神，可见直觉思维越来越受到人们的重视。2.2 直觉思维在中学数学解题中的作用 爱因斯坦曾说过“思维，真正可贵的因素是直觉”。直觉思维在解题中发挥着重要的作用，具体表现如下：第一，运用直觉思维可以简化解题方法。一个优美的解题过程就像一个人一样，应该五官端正，四肢匀称，对一个解题过程，如果凭视觉发现个别部分之间有明显的不协调之处，则往往有优化或简化的可能。如：已知的外接圆的半径为，并且有，求的面积的最大值。解: 由正弦定理易得则由 得当且仅当时，的面积最大值为 。分析：以上解答两次用了正弦定理（化角为边，化边为角），凭直觉似乎有重复浪费之嫌。能否优化以上解答过程？在得到后，注意到及均为定值，有为定值，从而有以下自然且简洁的解法：。第二，运用直觉思维可以解决逻辑思维难以解决或解决“较慢”的问题。如第三部分的例3。第三，运用直觉思维可以帮助学生纠正解题失误。一般来说，学生解题时普遍存在这样的现象：拿到题就做，不善于去评判解题的正误、优劣，往往劳而无功。运用直觉思维判断能有效地纠正解题的失误。如：已知，求。解： 由已知得 因而由得 再由已知知，所以（舍去）或。说明：凭直觉，似乎应该是唯一确定的，即不能有两个值，事实上，由已知容易求得，则是钝角。当然也可以凭直觉发现错误的产生也与选择有关，若选择求，则答案必为一个不会出现增解。3 直觉思维在中学数学解题中的应用著名数学大师波利亚断言：“要成为一个好的数学家，你必须首先是一个好的猜想家”。3.1 直觉探望，指引解题方向确定解题方向是解决数学问题至关重要的一步。有的数学问题切入口一目了然，有的却迷雾茫茫。数学直觉此时能拔开迷雾，指引解题方向。快速确定解题方向，考试时尤为重要。例1 如图3，是的中线，是上一点，且交于，若，则? 6。 图3分析：题目的叙述和图形提供的信息可使我们做出如下判断：此题是比例线段问题- 划定问题范围。由此判断引出的目标定向是寻找与比例线段相关的定理-平行线截比例线段定理或相似三角形的性质定理等。至此，可使我们迅速做出如下解题决策-作平行线或相似三角形。解题方法：图41、作出与已知线段及所求线段（）有关的平行线（如图4）。 2、将绕点旋转180得（如图5）。解答： 1、过作，交AB于G，由得（如图4）由得所以图5 2、将绕点旋转180得（如图5）因为 所以。两种解法，尽管解题过程简、繁不同，但都是在深刻把握、理解题意和图形后 的“一闪念”之间获得的，这“一闪念”不是神仙的“天机”的“泄露”，而是头脑中的知识、经验、方法等与题目的已知、未知、图形等的共鸣或感应的结果，是一种高层次的思维能力-直觉思维能力。因此，直觉思维能力在解决数学问题中，是使我们迅速获得解题途径和快速、简洁作出解答的关键。直觉思维能力的高低，将标志着学生的灵活性，创新性及今后的发展，是重要的能力因素。3.2 拓宽思路，直觉把握问题本质例2 函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增， ,求实数a的取值范围。直觉思维点：确定与的实数范围是解题的突破口。对,恒有 ，依题意知、属于函数的单调递减区间。因此，解不等式：1得即为所求。说明：在直觉思维过程中，依据问题的显著特征，着眼于全局，抓住问题的本质，寻求问题的内在联系，结合现有知识和经验便能迅速找到解决问题的简捷途径。3.3 借助直觉思维 可以解决逻辑思维难以解决或解决“较慢”的问题例3 向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图6所示，那么水瓶的形状是（）Vh(B)(C)(D)（A） H图6分析：V-h图像显示：随着水深h的增加，水量V的增加先大后小。直觉判定必是水瓶(B)无疑。若用计算的方法逻辑地推导，只怕费力又费时。3.4 直觉观望，发现简捷解法7发现简捷的解题方法对考生而言“如获至宝”。数学直觉在这方面所起的作用是十分显著的。例4 已知异面直线、所成的角为50，为空间一点，则过点且与、b所成的角都是30的直线有且仅有（ ）(A) 1条； (B) 2条； (C) 3条； (D) 4条分析： 由异面直线所成角的概念。经过平移变换如图。利用直觉、猜想答案是选，为什么呢？由直观与想象过点的直线与直线，的夹角发生变化，则与平面，则射影是，夹角的平分线，即。PEOMba图7如图7：由余弦积定理得，因为是过点的直线与平面所成的角，由，所以，所以由此得出过点引直线与，成等角，则该角应大于边，所夹角的一半。若设与直线、所成的角都是，则：当=25时有且仅有1条。当（25，65）时有且仅有2条。当=65时有且仅有3条。当（65，90）时有且仅有4条。“直觉无处不在，直觉为我们打开发现真理的大门”。直觉思维是人类基本的思维形式。在数学教学中进行上述思考和探索，加上善于联想数形结合，就一定能提高学生的直觉思维能力。总之，数学直觉的训练有助于培养良好的数学素质，如敏锐的数学思考、深刻的数学分析，精湛的数学推理。我们在教学过程中除了帮助学生建立良好的逻辑思维外，应不失时机地启发学生的数学直觉，为社会发掘更多数学人才。总之，在数学教学过程中，熟练掌握基础知识，不断积累解题经验，结合题目有意引导学生进行正确的直觉思维，探索解题方案，科学地培养学生的思维品质，将有利于学生全面发展和数学素质的提高。参考文献1 王选昌. 数学思维方法M(2002年版). 北京：人民教育出版社，2002: 412 孔庆燧等著. 数学学习心理学M. 陕西：陕西科技出版社, 1993: 1853 卢三国. 认识与培养数学直觉思维J. 数学教学通讯, 2005, (8