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第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006年11月4日 8:0012:00 江西 鹰潭一 设是给定的正整数,. 求的最大值,这里 二求满足下述条件的最小正实数k:对任意不小于k的4个互不相同的实数a,b,c,d,都存在a,b,c,d的一个排列p,q,r,s,使得方程有4个互不相同的实数根三 如图,在PBC中,过点P作PBC的外接圆w的切线,与CB的延长线交于点A. 点D和E分别在线段PA和圆w上,使得,PDPE. 连接BE,与PC相交于点F. 已知AF,BP,CD三线共点(1) 求证:BF是的角平分线;(2) 求的值 四设正整数a不是完全平方数,求证:对每一个正整数n,的值都是无理数这里,其中表示不超过x的最大整数第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006年11月5日 8:0012:00 江西 鹰潭五设证明:若,则六如图,AB是圆O的直径,C为AB延长线上的一点,过点C作圆O的割线,与圆O交于D,E两点,OF是BOD的外接圆O1的直径,连接CF并延长交圆于点G求证:O,A,E,G四点共圆七设是一个不小于3的正整数,是一个实数证明:如果和都是有理数,那么存在正整数,使得和都是有理数八给定正整数,求的最小值,使得对集合X的任意n个二元子集,都存在集合X的一个子集,满足:(1);(2)对,都有这里表示有限集合A的元素个数解 答第六届中国西部数学奥林匹克第一天2006年11月4日 8:0012:00 江西 鹰潭一设n是给定的正整数,n2,. 求的最大值,这里解 由AMGM不等式,得所以等号成立当且仅当.故y的最大值是. 二求满足下述条件的最小正实数k:对任意不小于k的4个互不相同的实数a,b,c,d,都存在a,b,c,d的一个排列p,q,r,s,使得方程有4个互不相同的实数根解 所求最小正实数.一方面,若,取,则对的任意排列,方程的判别式,该方程无实数根.所以,.另一方面,设是不小于4的4个不同实数,不妨设,考察方程(1)和.(2)首先,故(1)、(2)都有两个不同实根.其次,若(1)与(2)有公共实根,则两式相减,得,这时,矛盾.所以,(1)与(2)没有公共实根,从而符合要求.综上,问题的答案为.三. 如图,在PBC中,过点P作PBC的外接圆w的切线,与CB的延长线交于点A. 点D和E分别在线段PA和圆w上,使得,PDPE. 连接BE,与PC相交于点F. 已知AF,BP,CD三线共点(1) 求证:BF是的角平分线;(2) 求的值解(1)当BF平分时,由于,所以,BD平分,于是,所以,由Ceva定理的逆定理知,AF,BP,CD三线共点若还有一个角满足,且三线共点,不妨设在线段PF内,则在线段AD内,于是, ,所以,这与三线共点矛盾 所以,BF是的内角平分线(2)不妨设圆O的半径为1,由(1)知,E是的中点因为,所以由PDPE知,又,所以,在直角三角形BDE中,有,所以 四设正整数a不是完全平方数,求证:对每一个正整数n,的值都是无理数这里,其中表示不超过x的最大整数证明:设,其中整数,则,且,而令.则 下面证明,对所有正整数n,.由于,所以 由可得.消去得, 其中.由数学归纳法易得 由和,可得相乘得 ,又因,故又由相乘得 ,即所以,对所有正整数n,都有 故由 得,对所有正整数n,都有因此,从而对所有正整数n,都有,故由知,是无理数.第六届中国西部数学奥林匹克第二天2006年11月5日 8:0012:00 江西 鹰潭五设证明:若,则证明 注意到若x,y是整数,则由奇偶性分析知若,则由上知于是可设,(c,d不可能相等),其中a,b,c,d,e,f都是正整数则,假设ba,且fe,则,两式相减得,则,而,矛盾!故ba,fe不可能同时成立所以,于是六如图,AB是圆O的直径,C为AB延长线上的一点,过点C作圆O的割线,与圆O交于D,E两点,OF是BOD的外接圆O1的直径,连接CF并延长交圆于点G求证:O,A,E,G四点共圆证明 连接AD,DG,GA,GO,DB,EA,EO因为OF是等腰DOB的外接圆的直径,所以OF平分,即又,所以 又 ,所以,所以,G,A,C,D四点共圆所以 而 , , 结合,得 因为B,D,E,A四点共圆,所以, 又OAOE,所以 由,得 ,所以,O,A,E,G四点共圆七设是一个不小于3的正整数,是一个实数证明:如果和都是有理数,那么存在正整数,使得和都是有理数证明 首先,我们证明如下结论:设是一个实数,如果是有理数,那么对任意正整数m,是有理数对m用数学归纳法由是有理数,得也是有理数设对一切,是有理数,则由知也是有理数,即当时命题也成立 由上述结论,对,分别令得到都是有理数,又,从而命题得证八给定正整数,求的最小值,使得对集合X的任意n个二元子集,都存在集合X的一个子集,满足:(1);(2)对,都有这里表示有限集合A的元素个数解 .(1)当时不一定存在条件的Y.事实上,令,考虑X的一个划分.因为,因此Y中至少有两个元素属于同一个,故此时,矛盾.(2)下证符合题意.记,则存在z个在所有中未出现的元素,记为.如果,则取便可.下设.设在中仅出现1次的元素有t个,因,则,所以 .故在
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