微分与积分思想.doc

_微分与积分思想【摘要】微分与积分是微积分中极其重要的两个数学思想，它们是数学理论与现实的连接桥梁，关系着社会的进步与科技发展，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用，微积分的发展更有助于这些应用的不断发展。因此，研究微分与积分具有重要意义。【关键词】微分、积分、思想一、 微分与积分的意义微分和积分是数学中极其摘要的两个数学模块，它们在数学分析和应用中起主要作用。微分是对一个函数的微分，以求函数的微小变化，积分是函数对因变量在某个取值范围内积累，当变化范围是有限时，称为定积分，当变化范围是无限时，称为不定积分。如果把函数当成一杯水，微分就是将这杯水蒸发，得到成个的水分子，从而了解其本质；而积分就是把有限或者无限杯水集中求其总量，比如，定积分就是将有限杯水集中得到其体积，质量，作用，从而了解了解其具体功效。二、 微分与积分的思想解释 微积分的诞生与发展共经历了三个时期：牛顿与莱布尼的以无穷小为基础的时期；柯西的动态极限概念为基础的时期；威尔拉斯以静态的量为概念的基础时期。这三个时期是微积分思想碰撞很激烈的时期，也是微积分得到较大突破的时期，是研究的量变产生质变的时期。庄子的文章“天下篇”中有这么一句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。其中就包含了微积分思想。在微积分中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。比如设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + x在此区间内。如果函数的增量y = f(x0 + x) f(x0)可表示为 y = Ax + o(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x0)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy = Ax。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Ax的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性描述（X0）。例1 求 （1）分析：这个函数是无法通过代数变形求出结果的，它只能通过微分的定义进行剖析从中得到微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。 在积分中，积分有两种，即定积分和不定积分。定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用远不止如此，它被大量应用于求和，例如求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个实变函数在区间a,b上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：F(x) + C = f(x)。定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。牛顿布莱尼公式：设f（x）在a，b上连续，F（x）是f（x）的一个原函数，即F(x)=f(x),则有 abf（x）dx=F（a）-F(b)=F（x）ab 通过公式可以知道，它们的通道为x的取值范围，当x的取值范围为闭区间时，F(x)为定积分，当x的取值范围为开区间时，F（x）为不定积分。不定积分的性质：1、两个函数的代数和的积分，等于这两个函数积分的代数和，即f（x）g（x）= f（x）g（x）。2、非零数常数因子可以提到积分号外