单自由度系统的无阻尼受迫振动.doc

单自由度系统的无阻尼受迫振动 任学晶 13010135机电学院 【摘要】通过学习，我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止，这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题，本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成，得出激振力频率与振幅之间的关系，对共振曲线进行分析，进而了解共振现象。 【关键词】阻尼；受迫振动；共振；1.引言 工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如，交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动，如图1所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起的振动，如图2所示，等等。 图 1 图 21.1简谐激振力工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力F随时间变化的关系可以写成 （1）其中称为激振力的力幅；即激振力的最大值；是激振力的角频率；是激振力的初相角，它们都是定值。1.1振动微分方程如图1所示的振动系统，其中物块的质量为。物块所受的力有恢复力和激振力，如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力在坐标轴的投影为 其中为弹簧刚度系度。 设为简谐激振力，在坐标轴上的投影可以写成式（1）的形式。质点的运动微分方程为 将上式两端除以，并设 图 3， （2）则得 （3）该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的解由两部分组成，即 其中对应于方程（3）的齐次通解，为其特解。且齐次方程的通解为设方程（3）的特解有如下形式： （4）其中为待定常数，将带入方程（3）得解得 （5） 于是得方程（3）的全解为 （6）1.3 结论上式表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力的振动，称为受迫振动。由于实际的振动系统中总有阻尼存在，自由振动部分总会逐渐衰减下去，因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。2.受迫振动的振幅与共振曲线2.1 受迫振动的振幅由式（4）和（5）可知，在简谐振动条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动频率等于，激振力的频率，振幅的大小与运动初始条件无关，而与其固有频率、激振力的力幅、频率有关。即：（1）若，此种激振力的周期趋近于无穷大，即激振力为一恒力，此时并不振动，所谓的振幅实为静力作用下的静形变。即： （7）（2）若，则由式（5）知，值越大，振幅越大，即振幅随单调上升，当接近时，将趋于无穷大。（3）若，习惯上把都取其绝对值，并视受迫振动与激振力相反。这时，随增大，减小。当趋于无穷大时，趋于零。2.2 共振曲线 有上述则可得振幅与激振力频率的关系，得到的曲线即为共振曲线。如图4所示。 图 4 3. 共振现象 在上述分析中，当时，此时这种现象称为共振。如图5所示。 图 5 事实上，当，式（3）没有意义，微分方程（3）的特解为： （8）将此式代入（3）中，得：故共振时受迫振动的运动规律为 （9）它的幅值为 由此可见，当时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限的增大。如图6所示为一长为无重刚杆，其一端铰支，另一端水平悬挂在刚度系数为的弹簧上，杆的中点装有一质量为的小球。若在店加一激振力，其中，为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。 解：设任一瞬时刚杆的摆角为，根据刚体定轴转动微分方程可以建立