数学模型作业2.doc

数学模型作业作业1.狱吏问题：某王国对囚犯进行大赦，让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房，每通过一次按所定规则转动门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被锁上；通过n次后，门锁开着的，牢房中的犯人放出，否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动每一把门锁，即把全部锁打开；第二次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间转动一次；第k次通过牢房，从第k间开始转动，每隔k-1 间转动一次；问通过n次后，那些牢房的锁仍然是打开的？问题分析： 牢房的锁最后是打开的，则该牢房的锁要被转动奇数次；如果把n间牢房用编号，则第k间牢房被转动的次数，取决于k是否为整除，也即k的因子个数，利用自然数因子个数定理，我们得到结论：只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的作业2.17个科学家中,每个科学家都和其他科学家通信，他们之间讨论3个题目，且任意两个科学家之间只讨论1个题目，证明其中至少有3名科学家，他们互相通信中讨论的是同一题目问题答案：证明：在17位科学家中每位至少与其余16位中的6位互相讨论同一问题。（鸽巢原理） 在17位科学家中选取一位X先生研究，设他与之少6位科学家讨论问题1。 我们只需证明这6位中至少有2位在讨论问题1。如果存在这种可能，命题得证。若 不存在，则他们之间必然讨论问题2或问题3。假设：6位科学家中的Y先生与其余至少3位科学家讨论问题2，则只需这3个人中有一 对科学家讨论问题2，命题得证。 若不存在这种可能，根据上述假设方法进一步分析，得出有3个科学家互相讨论同 一个问题，由于我们的分析完全建立在鸽巢原理上，则原命题得证。假设：6位科学家中的Y先生与其余至少3位科学家讨论问题3，命题得证。（证明同假设 ）综上命题成立作业3.某班有个学生，坐成行列，每个坐位的前后左右的坐位叫做它的邻座，要让个学生都换到他的邻座上去，问是否有这种调换位置的方案？问题分析：没有把7行7列的座位转化为77的方格表，每个格子代表一个座位，然后对此77的方格表的每一格染上白色和蓝色之一，染色时要满足相邻的两格是不同的颜色。则所谓每个人离开自己的座位坐到邻座上去即要从白格进入蓝格或从蓝格进入白格。而实际上图中的白格为25格而蓝格为24格(或者白24蓝25)，所以，白格中的人不可能都进入蓝格（或蓝格中的人不可能都进入白格），也就是说不可能使全班每个同学都离开自己的位子坐到邻座上去，所以没有作业4.夫妻过河问题：有3对夫妻过河，船最多能载2人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起，如何安排三对夫妻过河？若船最多能载3人，5对夫妻能否过河？问题分析：先一队过河,女的回来,载1个女的过河,留下1对在河边,另外1女回来,载他丈夫过河,女再回来载最后女过河,最后1女再回去载他丈夫过河女1女2女3过河,女1回来,载男1男2过河,女3回来载 男3过河,男1女1回来,让男1男4男5过河,男1回来,再载女1过河,女1回来,载女4女5过河就行了作业5在给定向北(N)50英尺，向东(E)140英尺的水面区域，下面的表格给出了一条航道路线。水面上的对应点的水深（d）也在下表中给出（单位：英尺）（a） 若一艘吃水5英尺深的轮船在航道中行驶，请指出安全区域；（b） 恶劣的天气可以使船上浮或下沉半英尺。指出在恶劣的天气中船行驶的安全区域；（c） 撰写一份一页纸的航线指南，给轮船船长提出建议；表一:N0510152025303035354040455050E257513090501540703010555956520120d888869455949678一、问题分析原题如下：在给定向北(N)50英尺，向东(E)140英尺的水面区域，下面的表格给出了一条航道路线。水面上的对应点的水深（d）也在下表中给出（单位：英尺）（a） 若一艘吃水5英尺深的轮船在航道中行驶，请指出安全区域；（b） 恶劣的天气可以使船上浮或下沉半英尺。指出在恶劣的天气中船行驶的安全区域；（c） 撰写一份一页纸的航线指南，给轮船船长提出建议；表一:N0510152025303035354040455050E257513090501540703010555956520120d888869455949678此题重点在于确定海底各点的深