数模论文：奖学金制度.doc

一、问题的背景奖学金制度是高校普遍采用的一种对学生进行奖励、激励的制度，评定奖学金成为高校每年工作的一个重要环节。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能。目前，高校奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类。综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。但是在奖学金评定工作的实施过程中，其效果往往不尽人意，在其公平性问题上存在争议。二、问题的重述我们收集了某班级评定奖学金可以用到的一些资料（在奖学金评定信息.xls中）。考虑到该班级所在学校对奖学金的评定有基本条件限制，如考试课成绩不能低于70分等，表中只给出了满足基本条件的同学的信息。请建立数学模型，根据资料中提供的数据，确定奖学金获得者名单。具体要求如下：(1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。说明：Excel中每门课程名称后面括号中的数据为该课程的学分。如考试课3（2.5）表示考试课3的学分为2.5。(2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。注意，权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。对表格中的数据，说明如下：为了简化问题，对于获奖情况，不管是科技类还是文艺类等方面的获奖，我们只考虑获奖级别的差异，而不考虑获奖内容的差别。该班级总人数为32，为了得到该班同学的民主测评情况，要求该班级所有同学根据自己的了解，为自己认为各方面表现良好的同学投票。每人至多投10票，表中“学生投票”列是统计得到的每个同学的得票数。(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。 (4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果你的模型中用到的数学方法比较复杂，可以简化模型的相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。三、模型的假设1、假设本文中只考虑综合奖学金的评定，不考虑单项奖学金；2、假设第一问中考查课的优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级所对应的分数分别为95,85,75,60,50这五个分数；3、对于获奖不管是科技类还是文艺类等方面的获奖，只考虑获奖级别的差异，不考虑获奖内容的差别；4、假设学校的培养目标是确定的，即应该是以学习为主导的。四、符号说明符号说明考试课总学分考查课总学分考试课科目学分考查课科目学分考试课的成绩考查课的成绩考试课所占的权重判断矩阵准则层判断矩阵A的最大特征根。（说明：此处只列出部分符号，其余符号在文中直接阐述出来）五、问题的分析5.1问题一的分析：问题一要求根据所给的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。由于考试课中的成绩是百分制，考查课中的成绩是等级制，各科的学分又各不相同，我们先将考查课的等级进行量化统一，都以百分制来量化。考试课与考查课所占的权重不相同，所以各因素层间可以运用层次分析法算出最终学生的综合成绩。最后，根据学生的综合成绩进行排名。5.2问题二的分析：我们的目标是确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重以及奖学金的评定结果，在考虑到这些因素时，我们也发现这些因素有互相的影响，在题设中，有这样一句话：“权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重”仔细理解这句话后，我们首先要确定的是学校的培养目标应该是以学习为主导，各方面平衡发展的综合性人才，那么很清楚的是，在综合成绩方面，它的权重一定是占主导的，其他几个项是属于学业外的综合素质的发展，基于这样的主观行判断，我们很顺当的应该采用层次分析的方法，这个方法也很贴切题目的要求，顺应学校以学习为主导的培养目标，即主观综合成绩比重大的特点。通过层次分析中的各因素两两比较来得出判断矩阵，最终通过和法求的各因素的权值。5.3问题三的分析：在用层次分析法求出各项权重后，要对各位同学做出综合的评价，即通过对其排名来确定最终的奖学金评定，那么我们下一步的工作就是把其各项因素数据化，只有在全部因素数据化的基础上，才能通过权重来计算每个同学的综合评定数来确定排名。因为各因素量纲不同，我们要先将这些数据进行标准化处理，使其量纲一致，最后再运用其权重，计算各学生的最终评定数确定总排名而确定奖学金的评定。六、模型的准备6.1层次分析法：做层次分析的一半步骤如下图：图1：层次分析步骤即：1、建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象）上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2、建立各层判断矩阵用成对比较法和1-9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3、计算权向量作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，做一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4、计算组合权向量作组合一致性检验（本文中没有要做最底层的权重，所以不涉及这个步骤）6.2数据标准化：数据的标准化有很多种，本文给出一种比较常用的标准化方法。第一步：先要算各因素的平均值第二步：计算各因素的标准差第三步：计算标准化数据为了简化计算步骤，本文将大量繁琐的数据直接在EXCEL中通过EXCEL的内建函数以及人工的编程语言计算出结果，省去其他软件编程的繁琐步骤，便于此方法在现实生活中的实现。6.3和法：去成对比较阵的个行向量归一化后的算术平均值近似作为权向量，即 具体计算步骤为：第一步：将的元素按行归一化；第二步：将归一化的各行相加；第三步：将相加后的向量除以即得权向量。类似的还可以用列和归一化的方法计算权向量。七、模型的建立与求解7.1问题一的模型建立与求解：在解决这个问题时，我们先考虑各个考试课与考查课的学分问题，很大程度上来说，我们会普遍认为学分的大小就是其权重大小的反应，但事实上来说，考试课和考查课是两个大的层次，在这两个大的层次内部是各科的小层次，那么，这些学分其实就是反应此科在这个大层次中的权重大小问题，而不能反应其在总体中的权重大小问题，弄明白这个问题后，我们就可以解决第一个问题了。即：图2：各因素的层次关系确定第三层权重时，本应该这样算：和（）但是这样算其实与直接用学分当权重算是一样的，不会影响排名。所以本文对此权重的计算就拿学分来代替。在综合成绩的评定上，主要包括考试课和考查课这两部分构成，而考试课与考查课的权重显然是应该不相同的，在确定考试课与考查课的权重时，我们直接用考试课的总学分和考查课的总学分占学习目标总学分的比重来确定权重，这样也符合学校分配学分的导向意义所在，体现出学校对学业建设的重视，以及学生的本质工作依旧是主修课程的学习。计算所得为：那么很自然的：那么我们用学分直接来计算每个同学综合成绩的计算公式如下: 通过EXCEL1的计算和降序排序，我们得到了如下的排名结果：表1:综合成绩排名表名次学生综合成绩第1名学生N95.54291第2名学生A94.17264第3名学生B92.00169第4名学生L89.87128第5名学生I88.06926第6名学生F87.24223第7名学生H86.6125第8名学生J85.9098第9名学生C85.45169第10名学生K84.1152第11名学生G83.40101第12名学生E79.61993第13名学生D79.5348第14名学生M75.23885初步检验：在对EXCEL表中的数据认识后，发现，学生N的考试课成绩全为90分以上，考查课成绩全为优秀，并且无其他人达这个程度，那么此人应该是第一名，这与我们计算排名后的结果是一致的。再如学生M，其考试课成绩全为70多分，考查课的成绩有最多个中等，没有其他人比起差，应该为最后一名，这也与我们的计算结果一致。所以初步检验结果为，我们的结果合理。所以我们的最终排名结果为：NABLIFHJCKGEDM(排名从第一名开始)。7.2问题二的模型建立与求解：我们先对综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票的相对重要性有个主观的评价排序上的了解，对于学生来说，学习是最重要的，那么我们把综合成绩视为最重要，其次在学生工作和获奖情况的问题上，学生工作是工作能力方面的体现，获奖情况是偏向于知识学习方面的，我们暂且认为获奖情况相对于学生工作稍重要，对于卫生和学生投票显然是投票重要与卫生，这也与学校的培养导向一致，即培养以学习为主导的综合性人才。有这样一个主观的认识之后，对我们下面建立层次分析模型2奠定了坚实的基础。7.2.1 首先我们先建立层次关系：（1）最高层：这一层次中只有一个元素，是分析问题的预定目标或理想结果，称为目标层，在本文中的对应项是奖项，需要说明的是，我们总共有三个奖项，即一二三等奖，而最高层是只有一个元素的，在本文中，我们可以把三个奖项独立分开做，相当于有三个层次分析，分别分析了一等奖对学生的选择情况，二等奖对学生的选择情况和三等奖对学生的选择情况。（2）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，称为准则层。本文的中间层只有一层，即综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票这几项因素。（3）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，称为措施层或方案层。本文的方案层其实就是学生，那么这层就是14个学生。简单的说就是奖项对学生的选择。下面我们用一张图来直观的反映下这三个层次：图3：层次分析图说明：本文建立层次模型之后，计算的是中间层的各项权重，整个模型用一句话解释其实就是：什么奖项选择了什么同学。7.2.2判断矩阵的构造层次结构反映了各因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同。我们就通过各因素两两比较来确定比较判断矩阵比较的标度值引用数字1-9及其倒数，如下表：表2：1-9标度的具体含义标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值若因素1与因素2的重要性之比为，那么因素2与因素1重要性之比为。有上面的标准之后，我们就可以对第二层的五个项进行主观判断构造矩阵了，构造结果如下：7.2.3一致性检验和权重向量的确定检验的第一步：求出判断矩阵对应的最大特征值3，我们可以通过MATLAB软件求的其值：。检验的第二步：通过求得的，查找相应的平均随机一致性指标。（对， 给出了的值）如下表所示：表3：一致性指标123456789000.580.901.121.241.321.411.45（说明：的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1-9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值，并定义。）此处得到：我们可以由是否等于来检验判断矩阵是否为一致矩阵。比大得越多，的非一致性程度也就越严重。对应的标准化特征向量也就越不能真实地反应出权值在对因素的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。检验的第三步：一致性指标的计算：检验的第四步：一致性比例的计算：，我们认为判断矩阵的一致性是可以接受的。权重的确定：那么在检验达标后，我们就开始对其权重做相应计算了，下面我们用和法求权重。对判断矩阵A做如下处理：1、求各列和2、各项元素除以相对应列和得到新的矩阵3、对矩阵B求各行和，分别为2.944,0.777,0.741,0.354,0.1834、对得出的行和那列中的每个元素除以矩阵A的阶，即5，得出的数据即为各项的权重。如下表所示：表4：各因素权重表因素综合成绩获奖情况学生工作投票卫生权重0.5890.1550.1480.0710.037为了使权重效果更加明了，可以在EXCEL中画出权重的比重图，如下所示：图4：准则层各因素权重比重7.3问题三的求解：对学生工作项的数据化问题上，我们采取这样的定义方法，级别定位班长高于团支书高于社团办公室主任高于社团某部部长高于某委员，由此我们分为了5个等级，对于一个人担任两个职务的，取最高分项乘以1.2作为其学生工作的单项分。对所在宿舍卫生的处理上我们采用区间式给分法，具体评价制度见下表。对奖项的数据量化，我们引用目前大多数高校的评分制度，具体也见下表。表5：各因素项的评价标准表各因素项的评价标准获奖情况省一等省二等省三等校一等校二等校三等评价标准654321卫生0-2021-4041-6061-8081-100评价标准10.750.50.250.125学生工作班长团支书主任级别部长级别委员级别评价标准54321在确定完量化标准之后，我们就可以得到一个关于14名学生在5个方面各自得分的数据了，通过EXCEL的数据处理，我们计算出了均值以及标准差，如下表：表6：个因素项量化值、均值及标准差表综合成绩获奖情况学生工作投票卫生学生A94.1726351400261学生B92.0016891901230.75学生C85.4516891911281学生D79.534797302.4200.5学生E79.6199324306300.75学生F87.2422297350241学生G83.4010135104260.5学生H86.612500150.25学生I88.0692567621141学生J85.909797300171学生K84.115202702.4240.125学生L89.8712837800180.125学生M75.2388513500120.125学生N95.5429054131291均值86.19884170.7857142861.34285714321.857142860.651785714标准差5.4995785771.4725377231.737697285.6550501180.357254447得出这个表格之后，我们的任务就开始转到重点了，要对其进行量纲归一，进行数据标准化，通过用EXCEL的计算，我们得到的结果如下表：表7：各因素数据标准化表综合成绩获奖情况学生工作投票卫生学生A1.450-0.534-0.8260.7330.975学生B1.055-0.534-0.1690.2020.275学生C-0.1360.146-0.1691.0860.975学生D-1.212-0.5340.751-0.328-0.425学生E-1.196-0.5342.2381.4400.275学生F0.1902.862-0.8260.3790.975学生G-0.509-0.5341.8020.733-0.425学生H0.076-0.534-0.826-1.213-1.125学生I0.3400.825-0.169-1.3890.975学生J-0.053-0.534-0.826-0.8590.975学生K-0.379-0.5340.7510.379-1.475学生L0.668-0.534-0.826-0.682-1.475学生M-1.993-0.534-0.826-1.743-1.475学生N1.6991.504-0.1691.2630.975经过这个步骤之后，我们所有因素的量纲已经统一了，现在就可以进行最后一步的计算来确定学生的排名而最终确定奖学金的评定了。我们一个同学的各项标准化后的数据乘以各项的权重求和，再通过EXCEL排序，我们得到下面的结果：表8：学生各因素综合排名表排名学生最终数据1学生N1.330187052学生A0.7438610513学生B0.5335186214学生F0.5046387185学生I0.236550086学生L0.0934266337学生C0.0259855898学生G-0.119558549学生K-0.2430554810学生J-0.2535743411学生E-0.2781015612学生H-0.280257913学生D-0.7451461614学生M-1.54847377很明显的排名已经出来了，那么我们的奖项也就确定了，我们通过下表呈现：表9：奖学金评定情况表一等奖二等奖三等奖学生N学生A、B、F学生I、L、C、G、K7.4问题四的解答：奖学金评定说明：由于奖学金对学生的学习与能力的培养具有导向性的作用，那么为了使学生能够得到学习能力、工作能力、人际关系的方面的全面发展，所以在奖学金的评定过程中我们要综合考虑各种因素。在这些能力中我们又要各有侧重，所以各因素所占的权重又各不相同。首先我们来主观确定下我们评奖学金的引导方向是侧重学生的学习，作为学生在学校的首要任务是学习，因而要达到学习要在所有的影响因素中要占据绝对的主导地位，这也与学校的培养目标相一致，那么综合成绩就是评定奖学金的主要依据，专业点来说就是其权重要大于其他所有因素。在综合成绩的确定上，要将考试课与考查课进行处理来算出综合成绩。又由于考试课是百分制，考查课成绩是等级制，所以要将考查课成绩先进行数据化处理使之变为百分制。即设优秀、良好、中等、及格、不及格、五个等级分别为95,85,75,60,50这五个分数。同时，我们还要考虑考试课与考查课所占权重的问题，这边确定的方法就是根据考试课和考查课各自的总学分除以所有科目的总学分得到的，分别为考试课占0.65，考查课占0.35.计算的公式如下所示综合成绩的计算是通过各自分数乘以学分求和除以学分和，最后将考试课和考查课求的的乘以各自权重，计算公式如下：其次是确定我们这边的其他四个因素项的相对重要性，主观判断为：获奖情况重于学生工作重于学生投票重于卫生。在确定完这些之后我们就可以用层次分析法来构建各因素两两比较判断矩阵，构造原则遵循下表标度。标度含义1表示两个因素相比，具有相同重要性3表示两个因素相比，前者比后者稍重要5表示两个因素相比，前者比后者明显重要7表示两个因素相比，前者比后者强烈重要9表示两个因素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值最终判断矩阵为先用矩阵中的每个元素除以相应列之和得到新的矩阵，然后各行相加的和除以因素个数就求的对应因素的权重了。这边的权重计算所得值为：因素综合成绩获奖情况学生工作投票卫生权重0.5890.1550.1480.0710.037最后我们要计算出学生的排名，那么就要对非数据化的因素项全部数据化，数据化的标准如下：各因素项的评价标准获奖情况省一等省二等省三等校一等校二等校三等评价标准654321卫生02021404160618081100评价标准10.750.50.250.125学生工作班长团支书主任级别部长级别委员级别评价标准54321通过数据标准化公式：得到最终的数据，把每行中的各个数据乘以其对应的权重（上面所得权重）求和即为此同学的最终分，用这个最终分来排序确定排名而确定奖学金的评定。这里评定的结果为：一等奖二等奖三等奖学生N学生A、B、F学生I、L、C、G、K八、模型的检验8.1 对我们模型进行检验的灵敏度分析：灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。可以用来确定评价条件发生变化时备选方案的价值是否会发生变化或变化多少。本文在利用评价表进行评价时，需要确定每一个分目标的权重系数和各分目标的评分数。而权重的确定存在当事人的主观意识，不同的人可能会有截然不同的价值观念。因此就必须考虑当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会产生怎样的变化。于是我们对第二问模型用灵敏度分析来检验，我们随机的改变比较判断矩阵中的两个量，但不改变其重要性顺序的主观判断，用与前面同样的计算过程计算最终的排名，看看结果有多大的偏差。这边我们就选取比较判断矩阵的二三列的第一个数据来进行改变，相应的第一列的第三四个数据也改变了，我们得到的矩阵为：通过相同的计算过程，我们得到的结果为表10：灵敏度分析表排名学生最终数据1学生N1.3172117592学生A0.7195205633学生B0.5145421184学生F0.513785学生I0.2253047216学生L0.071517787学生C0.0353534078学生G-0.101985069学生K-0.2346703110学生E-0.239107111学生J-0.2639262312学生H-0.2958700413学生D-0.7274212714学生M-1.53425035对比原排名与灵敏度分析后排名：表11：原排名与灵敏度分析后排名比较表排名先前计算排名结果灵敏度分析后计算结果1学生N学生N2学生A学生A3学生B学生B4学生F学生F5学生I学生I6学生L学生L7学生C学生C8学生G学生G9学生K学生K10学生J学生E11学生E学生J12学生H学生H13学生D学生D14学生M学生M比较前后两次数据排名，我们发现结果基本一致，有一处略微的变动，即10和11名的排名有出入，这符合灵敏度分析的结果偏差，允许有略微的差异，那么，这样的一个过程就验证了我们上面所做工作的相对准确性。九、模型的评价与改进9.1模型的优点9.1.1问题一的优点（1）方法简单，便于计算；（2）模型计算方法简便，实用性高；（3）符合学校在奖学金评定方面的要求，与实际情况相结合贴近生活。9.1.2、问题二模型运用了层次分析法主要具有以下的优点：（1）定性与定量相结合，能处理传统的优化法所不能解决的问题；（2）计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握；（3）将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策，具有很强的系统性；（4）结合不同因素所占权重不同对市场潜力进行对比评估，使评估系统化、简单化；（5）综合考虑影响奖学金评定的主要因素，使评估更符合实际。（6）本文采用层次分析方法，将复杂的问题分解，把多目标，多准则又难以全部量化处理的决策问题化为但目标决策问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层元素的数量关系，最后进行简单的数学运算。9.2模型的缺点9.2.1问题一