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李清毕业论文(定稿) 极大线性无关组的相关问题李清(陕西理工学院数学系数学与应用数学专业数应062班,陕西汉中723000)指导老师:周亚兰摘要本文主要讨论了向量的极大线性无关组的性质、求法、以及其在向量组和矩阵中的应用,并对每一条性质都给出了证明,在求解及应用的问题上给出了必要的例题加以说明,通过讨论,使读者对极大线性无关组有更好的认识.关键词极大线性无关组;线性相关;线性无关;向量组的秩1引言一个向量组中可能包含有很多个向量,而向量组的极大线性无关组是向量组中重要的知识点,它能够为我们研究向量中的其他问题带来方便.但是,课本上对向量组的极大线性无关组这一问题介绍的内容比较有限,在此,就我所了解的一些与之相关的问题进行一个简单的归纳、总结,从而给出一个简单的较系统的讨论.2预备知识定义2.1,?1向量?称为向量组k使1k?定义2.2向量组12,?,定义2.3,?,线性表出,那么向量组出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就等价.性质2.4反身性:每一个向量组都与它自身等价.对称性:如果向量组12,?,?,等价.12?,s,?,k?,?,的一个线性组合,如果有数域P中的数12s,k k12?2ssk?1如果向量?是向量组?线性表出1如果向量组12s?的一个线性组合时，我们也可以说?可以经由s12t,?,?,中每一个向量,?,(1,2,)t?ii?都可以经向量组,?,12s12t?就称为可以经向量组12s?线性表1向量组之间的等价具有的性质t,?与12s,?,等价,那么向量组12s,?,也与12t传递性如果向量组12t,?与12s,?,等价,12s,?,与12,?p?等价,那么向量组12t,?,与12,?p?等价定义2.5,?1向量组k使k1一向量组?定义2.7定义2.8的,并且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关.定义2.9若向量组12,s?的一部分向量1）12,iiir?,线性无关；1k?2s,? (1)kss?,0就称为线性无关.,称为线性相关的,如果有数域P中不全为0的数0s?.1)?不线性相关,即没有不全为0的数12s,k k1?12?2s?(?定义2.6?12s,?,?12s,k kk?使11221向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩1一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关sskkk?212,iiir?,满足陕西理工学院毕业论文第2页共9页2）每一个向量(1,2,)sjj?都可由12,iiir?,线性表示,则称此部分向量组12,iiir?,为原向量组的一个极大线性无关组.定理2.1011设12,?s?为n维向量,矩阵12,=,?sA?（?）,令(,)A ET?,其中E为s阶单位矩阵.如果()Ar?秩,矩阵T经初等行变换与矩阵1C0rnrsPP?等价,则由10PA?得到能线性表示其余sr?个向量的向量为向量组的一个极大线性无关组.如果0sr?,则12,?s?线性无关.定义2.111齐次线性方程组111a x1221211a x22221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa x?的一组解1,?t?,称为方程组的一个基础解系,如果1）方程组中任意一个解都能表成2）1,t?,线性无关定理2.121在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于nr?,这里r表示系数矩阵的秩.1,?t?,的线性组合；3极大线性无关组的一些性质性质3.1任意一个极大线性无关组都与向量组自身等价证明假设向量组12,?欲证这两个向量组等价,只需证明这两个向量组可以互相线性表出即可12,s?是12,?12,s?中的每一个向量都可以由向量组即100ii?下证12,sr?中的每一个向量都可以由显然，向量组12,s?,s?线性表出,下面考虑?假设向量s?,?s是向量组12,?,?sr?的一个极大线性无关组.,?,?sr?,)s?的一个部分,?12,?,?sr?线性表示,(1,2,r i?12,?,?s?线性表出中的每一个向量都可以被r中的部分向量组?中的任意一个向量12s?121,sr?,?中的向量ja是向量组1,r?,则向量组12,?,sj?线性相关即有不全为零的数1?必有l?12,sk k,?k l?使1?10s?sjkkl?+2,s?是线性无关的0则上面的式子可改写为1212()sjskkksjrlll?即()jsjr?可以被12,?s?线性表出又j?是向量组1,?sr?中的任意一个向量12,?,?sr?中的每一个向量都可以由向量组12,?s?线性表示陕西理工学院毕业论文第3页共9页综上可得,向量组命题得证12,?,?sr?与向量组12,?s?等价性质3.2向量组的极大线性无关组不一定唯一,但任意两个极大线性无关组都是等价的证明假设向量组12,?iiis?与向量组12,?,?jjjs?是向量组12,n?,的两个极大线性无关组由性质3.1可知,向量组12,?iiis?与向量组12,n?,是等价的.与此同时,向量组12,?,?jjjs?也与向量组12,n?,等价由向量组之间等价性质的传递性可知向量组12,?iiis?与向量组12,jjjsaaa是等价的命题得证性质3.3秩为r的n维向量中的任意r个线性无关的向量都是向量组的一个极大线性无关组证明假设向量组12,n?,的秩为r,不妨设12,?iiir?是向量组12,n?,中任意r个线性无关的向量.下面只需证明(1,2,)njj?可以由12,?iiir?线性表示即可.向量组12,iiirjaaa?,是线性相关的,且12,?iiir?是线性无关的j?可由12,?iiir?线性表示又1,2,jn?即j?是向量组12,n?,中任意一个向量命题得证性质3.4一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组证明设向量组()12,iiis?是向量组(II)组.1）若(II)中每个向量都可以由()线性表示,则()已为(II)的一个极大线性无关组;12,n?,?,?中每一个向量都可以由是向量组?12,?iiir?线性表出12,iiir12,n?,的一个极大线性无关组12,n?,的一个极大线性无关部分2）若(II)中有向量1j?不能由()线性表示,则(V):121,?,iiisj?,也是(II)中的一个线性无关组.若1sr?,则(V)已是(II)的一个极大线性无关组若1sr?,则(II)中必有2j?不能由(V)线性表示,则1212,?,?iiisjj?必线性无关继续以上过程,总可以得到一个包含()在内的线性无关组,使(II)中每个向量都可以由它线性表示,即它是(II)的一个包含()的线性无关部分组,亦即每个线性无关部分组均可扩充成向量组的一个极大线性无关组.性质3.5一个向量组线性无关的充分必要条件是它的极大线性无关组中所含向量个数与该向量陕西理工学院毕业论文第4页共9页组中的向量个数相等证明充分性:假设1?由已知条件,s则该向量组的极大线性无关组就是向量组本身即,这个向量组本身是线性无关的必要性假设向量组12,?,自身，显然,向量组中所含有的向量个数与极大线性无关组中所含向量个数是相等的综上可得,命题成立2?,s?,n可知,向量组的极大线性无关组中所含向量个数与向量组中所含向量个数相同是向量组12,n?,的一个极大线性无关组,则sn?,n?是线性无关的则向量组12,n?,的极大线性无关组就是其4极大线性无关组的几种求法4.1定义法所谓定义法，就是由已知条件,根据极大线性无关组的定义来求解向量组的极大线性无关组的方法.通过上面的两个定义可知,极大线性无关组主要强调了两个方面.一是,该部分中的向量本身是线性无关的,二是,它是所有的线性无关向量组中所含向量个数最多的线性无关组.下面我们通过例题的形式分别利用上面的两种定义来求解向量组的极大线性无关组.4.1.1利用定义2.8求向量组的极大线性无关组例1求向量组12(1,1,0,0),(1,2,1,1),?解根据定义1)考虑12,?,假设存在12,k k使得12,?满足则12,?是线性无关的又312?即123,?是线性相关的12,?是向量组12(1,1,0,0),(1,2,1,1),?2)考虑23,?,显然23,?是线性无关的又123,?是线性相关的23,?是向量组12(1,1,0,0),(1,2,1,1),?3）考虑13,?,显然13,?也是线性无关的同理易知,13,?也是向量组12(1,1,0,0),?关组综上可得,12,?和23,?和13,?都是该向量组的极大线性无关组4.1.2利用定义2.9求向量组的极大线性无关组例2求向量组123(1,0,0),(0,1,0),?解12,?是线性无关的,且312?由定义可知12,?是向量组123,?的一个极大线性无关组同理,考虑13,?13,?是线性无关的,且231?由定义可知13,?是向量组123,?的一个极大线性无关组考虑23,?显然,23,?是线性无关的,且132?由定义可知13,?是向量组123,?的一个极大线性无关组综上可得,12,?和13,?和23,?都是该向量组的极大线性无关组.通过定义来判断向量组中的极大线性无关组直观明了,不需要很大的作业量,但是在我们遇到的问题中,不是所有的题目都能够一目了然直接进行判断的,这就需要我们对向量组中的向量进行一定的变形,也就是下面我们要说的初等变换法.3(0,1,1,1)?的极大线性无关组1?12?20kk?求出12,k k的值,易知120kk?3(0,1,1,1)?的一个极大线性无关组3(0,1,1,1)?的一个极大线性无关组3(1,2,1,1),(0,1,1,1)?的一个极大线性无(1,1,0)的极大线性无关组陕西理工学院毕业论文第5页共9页4.2初等变换法初等变换法是解决向量组的极大线性无关组中最常见的一种方法,它包括初等行变换和初等列变换两种,下面我们分别举例说明用初等变换法求解向量组的极大线性无关组的步骤例3设向量组123412102,?4,?0,?4,2432?试求出向量组1234,?的一个极大线性无关组.针对这一道题目,我们分别使用初等行变换和初等列变换两种方法来进行求解它的极大线性无关组.解法一将向量组作为某矩阵的列向量组,用矩阵的初等行变换,化矩阵为阶梯形矩阵,然后求解.将其设为矩阵A的列向量,即令12341210(?,)24042432A?对矩阵A施以初等行变换,化A为阶梯形矩阵B即12100012=?,0000AB?行变换记此可知显然,由已知条件,我们知道向量组中除该向量组的极大线性无关组有:法二将向量组1=B?（,?中任意两个线性无关的向量都是其极大线性无关组.?和?,?,234,）则由()()r B2r A?知向量组1234,?的秩1234(,)2r?由1234,2,12?和?外.任意两个向量都不是线性相关的,?和和1314232434?和1234,?的每一个向量作为一个矩阵的行向量,进行初等列变换,可得:233123212221xx010044240200xx03101121110042042042020B?调换与的位置1222观察所得到的矩阵B,很容易得出与方法一相同的结果.即向量组中任意两个线性无关的向量都是该向量组的极大线性无关组综上可得,该向量组的极大线性无关组有:以上就是通过初等变换的方法求极大线性无关组的两种方式.这种解法的优点是,进行初等变换以后,向量之间的关系变的很清晰,极大无关组很容易找出.然而,在进行初等变换的过程中我们需要注意的是:当向量组作为矩阵的行向量时,要施以列变换,而当向量组作为矩阵的列向量时,要施以行变换.否则,将可能会导致我们得出错误的结果.下面,我们以这样一道例题来说明:例4求向量组?,?一个极大线性无关组解将向量组中的向量作为行向量,得到矩阵A,然后将矩阵A化为行阶梯矩阵.1314232434,?和?和?和?和?和1=(1,-1,0,0)2=(-1,2,1,-1),?3=(0,1,1,-1),?4=(-1,3,2,1),?5=(-2,6,4,1)的陕西理工学院毕业论文第6页共9页2441511100110011001211011xx2,2r011101110111132113210221264126410441Ar?rr?r r?324343545411001100000xx2r,21,00030003230003000000010000r rrr?r rrr?r?,?可得,向量组然而,实际上,因此,在使用初等变换法求向量组的极大线性无关组时,一定要分清楚什么时候进行行变换,什么时候进行列变换.4.3选录法选录法也就是逐个删除法,在向量组12,?的对应分量不成比例的向量作为到选出12,n?的一个极大线性无关组为止.同样，下面给出例题对此进行举例说明.例5求向量组1(2,1,3,1)?,2(3,1,2,0)?大线性无关组解取11?考虑2?,显然2?是线性无关的,故取22?考虑3?,由于312?,所以不能取为考虑4?,由于4212?,所以也不能取为综上可得,12,?就是该向量组的一个极大线性无关组.这种做法,思路很清晰也很简单,适合于向量组中所含向量个数较少的时候使用,但是当向量组中所包含的向量个数比较多的时候,如果再使用这样的方法就会变的费时费力了.以上的几种求解向量组的极大线性无关组的方法都有各自的优势与缺点,希望读者能在今后的求解极大线性无关组的问题中,针对具体的题目选择合适的解题方法,从而达到事半功倍的效果.4.4利用定理2.10求极大线性无关组例6求向量组1(1,1,2,4)?,2(0,3,1,2)?(2,1,5,6)?的秩和全部极大线性无关组.解令矩阵125A=,?（,）,(,)TA E?1124100001?12?3?,?是向量组?1234,?5的一个极大线性无关组.,?是线性相关的.312?,即123,?,in中,取一个非零向量作为?表出的向量1i?;取一个与1i?2i?;取一个不能由12i3i?;继续这一个步骤，直,3(4,2,6,2)?,4(4,3,1,1)?的一个极i?1?与i?3i?3i?,3(3,0,7,14)?,4(1,1,2,0)?,5,其中,E为5阶单位方阵,T作初等行变换,有12410000031xx00031xx003071400100031230100112000010000410010215600001031220001T?陕西理工学院毕业论文第7页共9页34351112410000031xx00CP0004100100P000031100000011011?秩?12345,3?131100P11011?有且只有一个2级子式0011?为零它所对应的向量由5C即除1,?外,任意三个向量都是原向量组的一个极大线性无关组则该向量组的极大线性无关组有:1?、123,?线性相关为全部极大线性无关组的组数219?23,24,134,?、234,?5极大线性无关组的应用5.1应用向量组的极大线性无关组求向量组的秩的问题关于向量组的秩这一概念,是这样定义的:向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩.秩的这一概念表面，秩是通过极大线性无关组中所含向量的个数来确定,那么,显然我们可以通过求解向量组的极大线性无关组来确定向量组的秩.例7求向量组1,3,1?（2,-1）,2,5,4?（4,-2解由于向量个数较少,我们采用选录法求其极大线性无关组考虑10?,取11?考虑2?,显然2?是线性无关的,取22?考虑3?,由于3123?,故3?不能取为综上可得,12,?是向量组的一个极大线性无关组则易知,该向量组的秩为2通过以上的讨论我们发现,使用这样的方法去求解向量组的秩过程比较简单,但是这样的方法也只能是在向量组中向量的个数较少时使用.在向量组中所含向量个数较多的情况下,一般采用变换消元的方法来进行求解其极大线性无关组,与此同时,向量组的秩也就会在化简出的最终结果中得到.5.2应用向量组的极大线性无关组证明向量组秩类问题例8设向量组12,s?;12,?,1r,12312max(,)r rrrr?证明由已知条件,显然向量组12,s?,st?,线性表示则,13rr?且23rr?即123max(,)r rr?下证312rrr?设向量组12,s?与向量组12,?,r?,假设312rrr?,则1212,s?,st?,线性表出这与121,r?(或122,r?,)是向量组性无关组矛盾.故,312rrr?）,3,4?（2,-1,-1）的秩i?1?与i?3i?t;1212,?,st?,的秩分别为2r,3r,证明:与向量组12,t?,均可以由向量组1212t?的极大线性无关组分别为121,?r?；122t中必有向量0i?(或0i?)不能用向量组121212,?s?(或12,t?,)的极大线陕西理工学院毕业论文第8页共9页综上可得,5.3应用极大无关组证明矩阵秩类问题例9证明+A B秩(证明设1(,A?则112(,AB?不妨设121,r?则有11ik?从而11iik?即A+B的列向量组可由?故12()r ABrrrA?命题得证5.4极大无关组在方程组中的应用12312max(,)r rrrr?成立AB(?)n?分别是A与B的列向量组的极大线性无关组ll?,(1,2,i?l?,(1,2,i?,rr?线性表示?,?与?k?,()秩（）+秩（）)n?,?,，i?kl?,()r B?2,12,?)nB?2n122,r11rr1122rr,)n,)n111122rrrr12112例10设其次方程组111ax1221211ax22221122000nnnnsssnna xa xa xaxaxaxax?的系数矩阵的秩为r,证明:方程组任意nr?个线性无关的解都是它的一个基础解系?,为方程组的一个基础解系,关的解向量则向量组11n r?,由性质3.3我们易知1?,线性无关组则向量组1n r?,与向量组综上可得,1?,证明设1n r1n r?,?,是方程组的任意nr?个线性无n r?和?,?,的秩仍为n?,r?n r?,1n r?,都是向量组11n r?n r?,?,?,?,的极大1n r?,?,等价n r也是方程组的一个基础解系.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室前数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,xx.9:117-127.2邱森.线性代数M.武汉大学出版社,xx.7:83-87.3陈维新.线形代数M.北京:科学出版社,2000:146-150.4周泰文、王家宝、贺伟奇.线性代数全程导学M.湖南科技技术出版社:106-1225上海交通大学数学系.线性代数习题与精解M.上海:上海交通大学出版社,xx:174-178.6王希云.线性代数M.北京:兵器工业出版社,xx.7:87-103.7申亚男