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数学奥赛中数论问题的解题方法 1 引言 在历年的国内外数学奥林匹克中 几乎每年都离不开数论问题 分析历年 奥林匹克数学竞赛试题易知 奥林匹克 数学中的数论问题主要有 1 整除性 问题 2 数性的判断 3 余数问题 4 整数的分解与分析 5 不定方程 问题 6 与高斯函数 x 1 有关的问题 本文对奥林匹克数学中的数论问题的常 用解题方法做进一步的分析总结 2 常用的部分解题方法 2 1 奇偶分析法 奇偶数的性质 1 两个奇数的和与差为偶数 而 积为奇数 2 两个偶数的和 差 积为偶数 奇数与偶数的和 差为奇数 而积为偶数 3 如果m 为整数 a 为奇数 则 m 口的奇偶性与m 相反 如果m 为整 数 b 为偶数 则m 6 的奇偶性与相同 例设N 是正整数 如果存在大 于l 的正整数k 使得N k k 1 k Z 的正整数倍 则称N 为一个 千禧数 试确定l 2 3 2 0 0 0 中 千禧数 的个数 并说明理由 解设 是 千禧数 则存在正 整数m 使得N 一丛生尘 砌 即 Z 2 k 2 m 七一1 显然七与 2 m 七一1 的奇偶性不同 且后 l 2 m k l l 所以2 N 有大于l 的奇 因子 从而 有大于l 的奇因子 反过来 若 有大于l 的奇因 子 则可设2 N A B 其中A B 的 奇偶性不同 且A l 且 一 A 4 1 竺一 A A 1 A 里二 222 2 其中 垄i 为正整数 Z 综上 只有当 有大于l 的奇因子 时 是 干禧数 而在l 2 3 2 0 0 0 中 只有l 2 2 2 2 1 0 不是 千 禧数 故有 干禧数 2 0 0 0 1 1 1 9 8 9 个 评析 奇偶分析法是从未知数 系 数的奇偶性入手讨论未知数的可能取值 情况 以达到缩小考察范围 得出相应 教育观察勰 5 1 0 8 0 0 广东省高级技工学校王坤 的结果 在解决与正整数有关的问题 如 数性有关的问题 能灵活运用奇偶分析 的方法 往往有 四两拔千斤 的效果 2 2 分类讨论 依据数学研究对象的本质属性的相 同点和差异点 将数学对象进行分类 然后对划分的每类分别进行研究和求解 的方法 叫分类讨论的方法 分类讨论必须遵循的原则 1 分类讨论的对象必须是确定 的 2 每次分类的标准必须是同一的 3 分类必须不重复 不遗漏 4 连续多次分类 按层次逐级进行 不得 越级 例解方程x 3 一I x 3 解将方程变形为B 工3 3 由不等式x l b J 工 可得 z 一1 z 3 3 x 由此又可以得到 2 一x 3 1 因为当x 1时 工 一工 x x 2 一1 1 0 所以此时方程无解 因方程的解必 须满足 1 又因为当M l 时 f x 3 x I x I l x 2 一 I I x 2 1 2 时 x 一x x x 一1 6 所以方程仍无解 因此 方程的解必满足l x 2 于是必有翻 l 将阴 l 代入原方程立 即得出原方程的解为x 可4 评析 在数论问题中往往出现多个 正整数或其他更特殊的情况 此时必须 根据实际情况对这些正整数或其相关式 子进行分类讨论 本例中就是灵活地对 x 的取傻范围进行分类讨论 最终蛆结 出J 的值 解题过程中还应注意往往有 时一次分类不够 还要进行第二次分类 两次分类可以相互独立 也可能第二次 是将第一次的一个子类再分类 2 3 反证法 通过证明论题的矛盾论题 即否定 命题 进而肯定命题的真实的证明方 法叫做反证法 反证法的一般步骤 1 反证 假设命题的结论不成立 2 归谬 从该假设出发 经过推论论证 得出与已知条件或公理或定理矛盾的结 论 3 结论 由矛盾判定假定不正确 从而肯定命题的结论正确 即 反证 推理 否定或肯定 三步 例设正整数d 异于2 5 1 3 求证 在集合 2 5 1 3 d 中可以找到两个 不同的元素a b 使a b I 不是完全平 方数 第2 7 届I M O 试题 证明 2x5 1 3 2 2 1 3 1 5 2 5 1 3 1 8 2 只须证2 d 1 5 d I 1 3 d l 不全 是完全平方数 假设2 d I 5 d I 1 3 d 1 均是完全平 方数 不妨设 2 d l 工2 I 5 d 一1 1 2 2 1 3 d 1 z 2 f3 解出可得 2 d q 2 一P 2 g t p X q p 2 d 是偶数 即g 一 是偶数 p g 同奇或同偶 从而q P g P 是偶数 于是2d 是4 的倍数 则 d 是偶数 这与推出d 是奇数相矛 盾 故原命题正确 评析 反证法是数学证明中的一种 重要方法 在解决数论问题中反证法也 具有其普遍应用性 特别是在判断数性 问题 如解平方数问题等 中应用更多 证明的关键是构造矛盾 通常借用奇 偶数等方式来构造矛盾 2 4 无穷递降法 无穷递降法是一种与数学归纳法相 对应的的数学方法 它的原理一般称为 无穷递降原理 其现代表述为 若要证 明关于自然数的命题N n 不成立 需要 证明 1 N n 不成立 f2 若N 依 成立 则有k 数1x n y N 满 足莲塞霎一 T y 2篓勇委量茎奏萎差至萋 主薹 量 量 被2 除下去都仍得偶数 除非为o 因 二趸 斗蟹二 苫二 二 证明若存在非零整数x 满足此璺会守翠矛盾 可见也不会有偶数并 y 点采多而又 享菽写性 夏某 箨 新 痘 麓瑟嚣疆一二一 二 心菇卷 x v z m 蒹姜竺銎量震豁雾蒙理囊黧鬻 啪华南 工2 2 2 2 叫少 z m 翟曩茎篆羹萋喜黧军萼是i 羹主耋茎理工赫舭撕 一 教育观察2 万方数据 数学奥赛中数论问题的解题方法数学奥赛中数论问题的解题方法 作者 王坤 作者单位 510800 广东省高级技工学校 刊名 东西南北 教育观察 英文刊名 East West South North 年 卷 期 2012 6 参考文献 3条 参考文献