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xx通信原理新讲稿第10章数字信号最佳接收 1第第10章章数字信号的最佳接收2数字信号的最佳接收?数字信号的统计特性?数字信号的最佳接收?确知信号最佳接收机?最佳接收的误码率?随相数字信号的最佳接收?起伏数字信号的最佳接收?实际接收机和最佳接收机的比较?数字信号的匹配滤波接收法310.1数字信号的统计特性?假设条件?信道噪声-均值为 0、谱密度为n0的带限高斯白噪声；的带限高斯白噪声；?号信号-二进制码元，P (0)+P (1)=1?基带截止频率小于f H，抽样速率不小于2f H。 T s内得到k2f HT s个抽样值。 410.1数字信号的统计特性?噪声抽样值一维概率密度为?k个抽样值的k维维联合概率密度函数为?噪声平均功率可以表示为?=222exp21)(nininn f()?=?=kiinknk kkn n f nf nf n n nf122212121exp21)()()(),(?=kiis HkiiTsnT fnkdt t nTs121202211)(12n510.1数字信号的统计特性?代入得到k维联合概率密度函数()?=?=kiinknk kn nnnf12s H2s H21T f212Tf2exp21),(?()?=?sTsnkndt t nT022s H)(1T fexp21H nfn02=()?=?sTkndt t n020)(n1exp21?=kiis HkiiTsnTfnkdt t nTs121202211)(1610.1数字信号的统计特性?接收信号为:r(t)=s(t)+n(t)，发送码元确定后，接收信号仍服从高斯分布，其，其方差仍为n2，但是均值变为s(t)。 ?所以，发送码元波形为s0(t)、s1(t)时，接收电压时，接收电压r(t)的k维联合概率密度函数为()?=?dt t s t rnfsTkn20000)()(1exp21)(r()?=?dt t s t rnfsTknxx1)()(1exp21)(r710.2数字信号的最佳接收?“最佳”的准则错误概率最小?产生错误的原因噪声。 ?判决规则设在二进制通信系统中发“1”的概率为的概率为P (1)，发“0”的概率为P (0)，则总误码率，则总误码率P e等于接收矢量决定的两个联合概率密度函数等于接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)把的曲线画在下图中（在图中把r当作1维矢量）01)0()1(e eeP P P P P+=810.2数字信号的最佳接收域两个区域A0和和A1，界边界r0，判决规则若接收矢量落在区域，判决规则若接收矢量落在区域A0内，判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域；若接收矢量落在区域A1内，判为发送码元是“1”。 A0A1rf0(r)f1(r)r0P(A0/1)P(A1/0)910.2数字信号的最佳接收总误码率可以写为上式表示总误码率可以写为上式表示P e是r0的函数。 将上式对r0求导并令导函数等于求导并令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件)0/()0()1/()1(10A P P APPPe+=?+=00)()0()()1(01rrd f P d fP r r r r0)()0()()1(00010=?=?r rrfP fPPe1010.2数字信号的最佳接收即当即当P (1)=P (0)，时，f0(r0)=f1(r0)在判决边界确定之后，判决准则为)()()0()1(0100rrffPP=0,)()()0()1(1,)()()0()1(1010判为判为rrrrffPPffPP1110.2数字信号的最佳接收在“0”“1”先验概率相等时，上式简化为最大似然准则。 按此准则判决可得理论最小误码率。 按此准则判决可得理论最小误码率。 若若f0(r)f1(r)，则判为“0”若若f0(r)?+s sTTdt t s t rPn dt t s t rPn00xx10)()()0(1ln)()()1(1ln001000ln (1)()()ln (0)()()22s sTT nnP rt s t dtPrt s t dt+s sTTdt t n t s t sPn dt t nPn00xx20)()()()0(1ln)()1(1ln?+?+s sTTdt t s trPn dt t s trPn00xx10)()()0(1ln)()()1(1ln1710.4最佳接收的误码率记则?+?s sTTdt t s t s t n dt t s t sPPn0010xx)()() (2)()()1()0(lnxx1000 (0)1()()()ln()()2 (1)2s sTT nPn t s t s tdt s t s t dtP? (21)1()0/1()0()1/0()1(222222?+?=+=?dx eP dx e PPPPP Pbxaxe2110.4最佳接收的误码率?先验概率对误码率的影响当先验概率先验概率对误码率的影响当先验概率P (0)=0及P (1)=1时，a=-及及b=率，因此计算出总误码率P e=0。 在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“。 在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。 不会发生错误。 若。 不会发生错误。 若P (0)=1及P (1)=0P e=?同理，总误码率也为零。 ?=sTdt tstsPP na0xx)()(21)1()0(ln22210.4最佳接收的误码率?先验概率相等P (0)=P (1)=1/2，a=b。 式中误码率仅和两种码元波形差。 式中误码率仅和两种码元波形差s0(t)s1(t)的能量有关，而与波形本身无关。 差别越大，的能量有关，而与波形本身无关。 差别越大，c值越小，误码率P e也越小。 dx ePcxe?=22221?=sTdt tsts c0210)()(212310.4最佳接收的误码率?先验概率相等时的误码率定义码元的相关系数式中先验概率相等时的误码率定义码元的相关系数式中s0(t)=s1(t)时，1，为最大值；s0(t)=-s1(t)时，-1，为最小值。 100100210xx0)()()()()()(E Edt tst sdt tsdttsdttstsss ssTTTT?=?=?=sTdt ts E0200)(?=sTdt ts E0211)(-1+12410.4最佳接收的误码率当码元的能量相等时，令E0=E1=E b，并且将上式代入误码率公式，得到，并且将上式代入误码率公式，得到bTEdt tstsS?=010)()()1()()(210210?=?=?bTE dttsts cSdx e dxePbExcxe?=)1(2222222121?=02)1(21nEerfcb2510.4最佳接收的误码率?上式给出理论最小误码率，实际通信系统中得到的误码率只可能比它差。 上式给出理论最小误码率，实际通信系统中得到的误码率只可能比它差。 ?=?=002)1 (212)1(121nEerfEerf PbbedB2610.4最佳接收的误码率?最佳接收性能特点和误码率仅和E b/n0以及相关系数有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 码元能量有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 码元能量E b与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于之比，实际上相当于信号噪声功率比P s/P n。 因为若系统带宽B等于1/T s，则有ns sss s sbPPB nPTnPnT PnE=0000)/1(?=?=002)1 (212)1(121nEerfEerf Pbbe2710.4最佳接收的误码率?相关系数对于误码率的影响。 两码元的波形相同，相关系数最大（=1）误码率最大。 这时的误码率）误码率最大。 这时的误码率P e=1/2。 因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。 当两码元的波形相反，相关系数最小（。 因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。 当两码元的波形相反，相关系数最小（=-1）误码率最小。 这时的最小误码率等于）误码率最小。 这时的最小误码率等于?=?=0021121nEerfEerf Pbbe2810.4最佳接收的误码率?2PSK信号的相关系数于等于-1?2FSK信号的相关系数于等于0。 ?=?=002212121nEerfEerf Pbbe?=?=0021121nEerfEerf Pbbe2910.4最佳接收的误码率?若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则误码率为信号，则误码率为?比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。 ?=sTdt tsc020)(21?=?=004214121nEerfEerf Pbbe3010.5随相数字信号的最佳接收?假设?2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；信号的能量相等、先验概率相等、互不相关；?通信系统中存在带限白色高斯噪声；?接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。 接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。 ?因此，可以将此信号表示为?随机相位的概率密度为)cos(),()cos(),(11110000?+=+=t A t st A ts3110.5随相数字信号的最佳接收?判决条件?若若f1(r) ?=其他处,020,2/1)(00?f?=其他处,020,2/1)(11?f?=?2000000)/()()(d f f fr r3210.5随相数字信号的最佳接收代入判决条件，得若接收代入判决条件，得若接收r使M12 ?=?xx111)/()()(df f fr r,20200Y XM+=,21211Y XM+=?=STtdt tr X000cos)(?=STtdt tr Y000sin)(?=STtdt tr X011cos)(?=STtdt tr Y011sin)(3310.5随相数字信号的最佳接收?最佳接收机的结构相关器平方cos0t相加相关器平方sin0t相关器平方cos1t相加相关器平方sin1t比较r(t)Y0X1Y1X03410.6起伏数字信号的最佳接收?假设?带限白色高斯噪声；不相关等能量、等先验概率的带限白色高斯噪声；不相关等能量、等先验概率的2FSK信号。 信号的表示式式中，A0和和A1是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布)cos(),()cos(),(111111000000?+=+=tAA tst AAts2,1,0,2exp)(222=?=i AAAV fisisii3510.6起伏数字信号的最佳接收而且?0和?1的概率密度服从均匀分布?信号功率与振幅的关系为?概率密度f0(r)和f1(r)分别可以表示为2,1,20,2/1)(=?4010.8数字信号的匹配滤波接收法?定义用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声比最大的线性滤波器称为定义用线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号噪声比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。 ?码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)的的双边功率谱密度为P n(f)=n0/2。 sT ttntstr+=0),()()()()()(tntst yoo+=?=df e f Sf H t sft jo2)()()(4110.8数字信号的匹配滤波接收法?输出噪声功率N o等于?在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为?=?=df f Hndfnf HNoxx) (22)(?=df f Hndf e f Sf HNtsrft joo2022200) (2)()()(04210.8数字信号的匹配滤波接收法?匹配滤波器的传输特性利用施瓦兹不等式求r0的最大值若其中k为任意常数，则上式的等号成立。 将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令?dx x f dx x fdxx f x f2221221)()()()()()(*21x kfxf=0221)()(),()(ft jef Sxff Hxf=4310.8数字信号的匹配滤波接收法则有式中而且当时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比2E/n0。 H(f)就是最佳接收滤波器传输特性。 称此滤波器为匹配滤波器。 0022022022)() (2)()(nEndf f Sdf fHndf fS df f Hr=?=dffS E2) (02)(*)(ft jef kSfH?=4410.8数字信号的匹配滤波接收法?匹配滤波器的冲激响应)()()()()()(*)() (00) (2)(2*2222000ttks dtts kds dfe kdf ede s kdfeef kS dfefHt ht t f jtt fj fjft jft jftj?=+?=?=?=?+?4510.8数字信号的匹配滤波接收法由上式可见，冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上平移了t0。 000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)4610.8数字信号的匹配滤波接收法?实际的匹配滤波器一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有即要求满足条件或满足条件0,0)(=tt h当0()0,0sttt?=当4710.8数字信号的匹配滤波接收法上式说明输入信号s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。 故通常选择之后必须为零。 故通常选择t0=T s。 故若匹配滤波器的输入为。 故若匹配滤波器的输入为s(t)，则输出为)()(t Tks ths?=)()()()()()()()(sssoT tkR dT tsskd T stskd htsts?=?=?=?=?4810.8数字信号的匹配滤波接收法?【例10.1】设接收信号码元s(t)的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】的表示式为试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】?=tT ttss其他,00,1)(t T ss(t)1()?=sfT jft jefjdt etsfS22121)() (02)(*)(ft jefkSfH?=()s sfTj fTje efjf H22121)(?=4910.8数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波器的冲激响应为输出波形匹配滤波器的冲激响应为输出波形s sT tt T sth?=0),()(tT sh(t)1tT sso(t)5010.8数字信号的匹配滤波接收法由其传输函数画出匹配滤波器的框图如下延迟T s理想积分器()s sfTj fTje efjf H22121)(?=5110.8数字信号的匹配滤波接收法【例10.2】设信号的表示式为试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。 解信号波形?=tT tt ftss其他,00,2cos)(0T s5210.8数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波器的冲激响应为匹配滤波