函数项级数一致收敛性的判别方法.doc

分类号 017 论文编号 201040432051 本 科 生 毕 业 论 文 函数项级数一致收敛性的判别方法姓 名： 朱珍伟 院 系： 数学科学学院 年级专业：2010级数学与应用数学 指导教师： 赵 秀（副教授） 2014年4 月诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。作者签名： 日 期： 关于学位论文使用授权的声明本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。 (保密论文在解密后应遵守此规定)作者签名： 导师签名： 日 期： 目 录摘要IAbstractII第一章 绪论11.1函数项级数一致收敛的发展演化11.1.1无穷级数的发展21.1.2函数项级数一致收敛性的发展31.2判别函数项级数一致收敛的意义31.2.1 判别函数项级数一致收敛性的理论意义31.2.2 判别函数项级数一致收敛性的实际意义3第二章 函数项级数一致收敛性的定义52.1 函数项级数及其收敛性52.2 函数项级数的一致收敛的概念52.2.1 函数项级数一致收敛的几何意义82.3 函数项级数余项82.4 Lipschitz（莱布尼茨）型函数项级数8第三章 函数项级数一致收敛性的基本判别法93.1 定义判别法9定理3.2 函数列一致收敛的柯西准则.10推论1 函数项级数一致收敛的柯西准则.10推论211定理3.3 维尔斯拉斯判别法(判别法)11定理3.4 阿贝尔判别法13定理3.5 狄利克雷判别法14定理3.6 狄尼（Dini）判别法15推论3 狄尼判别法的级数形式16定理3.7 莱布尼茨判别法17第四章 函数项级数一致收敛性判别法的推广19定理4.1 余项判别法19定理4.2 积分判别法20定理4.3 比式判别法21推论4 比式判别法的极限形式21定理4.4 根式判别法22推论5 根式判别法的极限形式23推论623定理4.5 对数判别法24定理4.6 导数判别法24定理4.7 逼近判别法26第五章 结论27参考文献28致谢29摘要函数项级数一致收敛性是数项级数中一个重要的性质，对函数项级数一致收敛性的发展进行了简单的说明，并回答了为什么要找出函数项级数一致收敛性判别法的原因，经过定义函数项级数一致收敛性及相关辅助性概念，找到了判别函数项级数一致收敛性的判别方法主要有定义判别法、柯西判别法、M判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、狄尼判别法、莱布尼茨判别法；将其推广后得到了其它一些判别法，比如：余项判别法、积分判别法、比式判别法、根式判别法、对数判别法、导数判别法、逼近判别法及一些推论，旨在完善这方面的理论知识，并帮助学习者更好地理解和学习这方面的知识.关键词： 函数项级数 一致收敛性 判别法 发展演化 Abstract Uniform convergence series expressed by function terms is an important property of several series, a series of uniform convergence of function development has carried on the simple description, and answered: why do you want to find a consistent series expressed by function terms convergence criterion, through the definition of uniform convergence series expressed by function terms and related auxiliary concept, found the discriminant function assessment method are mainly a series of uniform convergence definition criterion, cauchy criterion, the M - discriminant method, Abel discriminant method and dirichlet discriminant method, digney discriminant method, leibniz discrimination act; After the promotion got some criterion, such as: remainder term criterion, integral criterion, criterion than type, radical discriminant method, logarithmic discriminant method, derivative method, the approximate criterion and some inference, aims to improve the theoretical knowledge in this field, and help learners to better understand and learn this knowledge.Keywords: Series expressed by function terms Uniform convergence criterionThe development evolution30兴义民族师范学院本科毕业论文第一章 绪论1.1函数项级数一致收敛的发展演化从以往的学习中我们可以知道，有限个连续函数的和仍是连续函数，有限个可导与可积函数的和的导数与积分，分别等于它们的导数与积分的和.然而现在研究函数项级数，遇到的是无穷多个函数相加的情形，我们自然要问：当级数在上收敛于和函数时，即=，或时，（1）如果连续，是否也连续，（2）如果在的一个区间可积，是否也在可积，且等式，即是否成立？（3）如果可导，是否也可导？又等式即是否成立？答案是：都不一定.请看下面的例子.例1 定义在区间0,1上的级数它的每一项在0,1上都连续，其部分和，因此和函数为显然，和函数在不连续.这个例子告诉我们，虽然级数的每一项都是连续函数，但和函数不一定连续；虽然级数的每一项都可导，但和函数不一定可导.例2 考察函数序列，其中.对任何有， 故但是，这表明上述函数序列虽然有，可是为了解决这类积分（或求导）运算与无限求和运算交换次序的问题，需要引进一个概念一致收敛.而一个函数项级数是否一致收敛，该如何去判别？这个问题正是这篇文章的出发点和落脚点，下面从函数项级数的发展说起. 函数项级数的一致收敛性主要是由无穷级数发展而来.下面简单介绍一下无穷级数的发展和函数项级数一致收敛的发展演化.1.1.1无穷级数的发展无穷级数的建立，开始于18世纪的古希腊，研究无穷数列的领军人物主要有欧拉（Leonhard Ealer, 17071783）、牛顿（Isaal Newton,16421727）、奥雷姆（Nicole oresme,约13201282）、莱布尼茨（Gottfried Wichelm Leibniz , 16461716）、泰勒（Brook Taylov,16851731）伯努利（Bernouli,1687-175）等3。但在此时级数方面的工作大都是形式和表面的，他们仅仅依靠物理模型、几何直观以及较简单的代数函数，对各种函数进行运算，这是不够严谨的。到了19世纪大批优秀的数学家对其进行了认真、严密的探索和研究，首次进行无穷级数重要和严格化研究的是德国数学家高斯(Carl Friedrieb Gauss, 1777-1855)，他对于一些特殊的函数项级数进行了收敛和发散的证明.1.1.2函数项级数一致收敛性的发展在高斯等人对无穷级数研究的基础之上，柯西(Cauchy,1789-1857)第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础，并建立了严格完整的级数理论。阿贝尔(Niels Henrik Abel, 1802-1829)对柯西的级数理论非常感兴趣，并对理论进行了深刻的研究，对其进行了完善，后来由魏尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）和狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，18051859）提出的一致收敛判别法完成了整个级数理论的构建，并分别找到了函数项级数一致收敛性的判别方法，它们就是柯西判别法、阿贝尔判别法、维尔斯特拉斯判别法和狄利克雷判别法.又在后来经过人们的不断研究，找到了其它判断函数项级数一致收敛的更多方法，比如比式判别法，根式判别法及其推论，而对于函数项级数一致收敛性的判别方法研究将不会停止.1.2判别函数项级数一致收敛的意义从教材中了解到级数内容主要分为两大块，即数项级数与函数项级数。数项级数通常被认为是函数项级数的一个典型例子，而函数项级数，某种意义上，是对数项级数的延伸.所以它们在一致收敛的判别方法上，具有相同或相似之处，弄清楚函数项级数一致收敛的判别方法，也可以推广到级数收敛的判别方法.1.2.1 判别函数项级数一致收敛性的理论意义一致收敛性是函数项级数的一个重要性质, 有效地判别函数项级数的一致收敛对进一步研究函数项级数的性质起着重要的作用, 而函数项级数既可以被看作是对数项级数的推广, 同时数项级数也可以看作是函数项级数的一个特例, 它们在研究内容上有许多相似之处. 对于函数项级数, 我们不仅要讨论它在哪些点上收敛, 而且更重要的是要研究和函数所具有的解析性质. 比如能否由函数项级数的每项连续、可积、可微, 判断出和函数的连续性、可积性和可微性. 这些都要对函数项级数的收敛性提出更高的要求. 即函数项级数的一致收敛性. 尤其和函数不容易求或者根本就求不出来时, 更需要这样. 为此, 需要提出更多的方法来判断函数项级数的一致收敛性.1.2.2 判别函数项级数一致收敛性的实际意义对于函数项级数，弄清楚一致收敛的判别方法，能够在重温旧知识的基础上，找到新的判别方法，增加研究者的创新能力；也能帮助人们更好地理解级数，对于以后的教学者或学生来说，不同的函数项级数的一致收敛性可以用各自相对应的判别法则进行判别，有的可以找到最简单的判别方法，这样可以大大降低教学或学习的难度，又能够更好地帮助学习者在级数理解方面更加透彻、更加易懂.而且函数项级数一致收敛的性质可以运用于实际生活中，比如：运动员团队在进行比赛时，可以根据他们的平时成绩求和达到最大值决定该由某人在第几个位置出场，建立数学模型.第二章 函数项级数一致收敛性的定义2.1 函数项级数及其收敛性定义1 设是定义在数集上的一个函数列，表达式 （1）称为定义在上的函数项级数，简记为或.称 （2）为函数项级数（1）的部分和函数列17.若，数项级数 （3）收敛，即部分和当时极限存在，则称级数（1）在点收敛，称为级数（1）的收敛点.若级数（3）发散，则称级数（1）在点发散.若级数（1）在的某个子集上每点都收敛，则称级数（1）在上收敛.若为级数（1）全体收敛点的集合，这时称为级数（1）的收敛域. 级数（1）在上每一点与其所对应的数项级数（3）的和构成一个定义在上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作即 也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和数列（2）的收敛性.2.2 函数项级数的一致收敛的概念设函数项级数在区间（区间可以是开区间、闭区间、有界区间和无界区间，下同），其和函数是，即，有若，则有即，（取最小者），有 （4）若，且，则有即对上述同样的，（取最小者），有 （5）一般来说，与是不同的函数项级数，从而对相同的，使不等式（4）与（5）成立的自然数与也是不同的，这表明函数项级数在与的收敛速度不同4.若只有有限个，使收敛，虽然不相同，但是都存在最大的自然数它是对每个都适用的（公用的）自然数（即，,有）若，有，即，有区间有无数个点，对应无限个自然数，那么这无限多个自然数是否存在最大的自然数呢？换句话说，对区间的所有点是否存在一个公用的自然数（即，有）呢？），有些函数项级数存在公用的自然数，而有些函数项级数不存在公用的自然数，如果存在（或不存在）公用的自然数，则表明函数项级数在区间收敛于和函数的速度“是一致的”（或“不是一致的”），于是有下面函数项级数一致收敛的定义：定义2 设函数项级数在区间收敛于和函数，若,有则称函数项级数在区间一致收敛或一致收敛于和函数.通俗地说，函数级数在区间收敛是指函数项级数在区间每一点都收敛，它们的收敛速度可能不相同，甚至极不相同，因此函数级数在区间收敛是每点的局部概念；而函数项级数在区间一致收敛，不仅是指函数在区间每一点都收敛，而且函数在每一点的收敛速度还是一致的，因此函数项级数在区间的一致收敛是区间上的整体概念，它比函数级数在区间收敛有更强的要求.若函数项级数在区间I上一致收敛，则一定处处收敛，反之不真13.例3 级数在区间0,1处处收敛，但并不一致收敛.事实上， 于是 取使，不论n多么大，只要，就有 函数项级一致收敛的定义等价于2.2.1 函数项级数一致收敛的几何意义：函数项级数在区间一致收敛于和函数的几何意义是：不论给定的以曲线与为上、下边界的带型区域怎样窄，总存在“公用的”自然数，部分和函数的图像都位于这个带型区域之内，如图21：图212.3 函数项级数余项定义3 设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项142.4 Lipschitz（莱布尼茨）型函数项级数定义4 设有函数项级数，其中,是区间上的连续函数,且函数列在区间上单调减少收敛于0，则称这类级数为Lipschitz型函数项级数11第三章 函数项级数一致收敛性的基本判别法3.1 定义判别法 例4 证函数项级数在区间 (其中)一致收敛.证明： 有,因为,所以,所以对, 对要使不等式,成立, 从而要不等式,解得,取,于是, 存在, , 有,成立, 所以函数项级数在区间(其中)一致收敛.用定义判断函数列（或函数项级数）的一致收敛性需要先知道它的极限函数（或和函数），这在许多时候是难以做到的，因此有必要寻找一致收敛的判别法.定理3.2 函数列一致收敛的柯西准则.函数列在上一致收敛的充要条件是：对任给，存在，使得当时，对一切以及一切正整数都有 1. （6）证明 必要性. 设在上一致收敛于，根据定义，对任给的，存在，使得当时，对一切以及一切正整数都有，.由此得出，对所有的，有，.充分性. 若条件（6）成立，由数列收敛的柯西准则可知，存在定义在上的函数，使得，.现在对任给，已知存在，使（1）成立.在（1）中取定，且令，可得，.这说明在上一致收敛于.推论1 函数项级数一致收敛的柯西准则.函数项级数在上一致收敛的充分必要条件是：对任给，存在，使得当时，对一切以及一切正整数都有推论2 函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在上一致收敛于.例5 讨论函数项级数在区间的一致收敛性.解： 应用柯西一致收敛准则, 因为即, 要使不等式, 成立, 从不等式解得取于是 , 有,即函数级数在区间一致收敛.定理3.3 维尔斯拉斯判别法(判别法)函数项级数在上满足条件（1）（2）正项级数收敛；则函数项级数在上一致收敛5.证： 由的收敛性，根据数项级数的柯西收敛准则，对任给，存在，使得当时，对一切以及一切正整数都有由此可知对一切以及一切正整数，都有 根据函数项级数一致收敛的柯西准则，函数项级数在上一致收敛.从上面的证明还可以得出，此时不仅在上一致收敛，并且对级数项取绝对值所成的函数项级数也在上一致收敛.例6 判断函数项级数在上是否一致收敛.解： 因为 , 有,令, 则,所以是收敛的.由判别法函数项级数在上一致收敛.阿贝尔引理12： 如果单调，有界，即存在,使；则证： 利用阿贝尔变换，由于同号（单调），于是有.由于同号（单调），于是有定理3.4 阿贝尔判别法设（i）在上一致收敛；（ii）对于每一个，关于是单调的；（iii）在上一致有界，即对一切和正整数，存在正数，使得，则级数在上一致收敛1.证明： 由（i）可知，存在，是得当时，对一切 以及一切正整数都有又由（ii），（iii）及阿贝尔引理得到根据函数项级数一致收敛的柯西准则，在上一致收敛.例7 设收敛，则在0,1上是否一致收敛.解： 是数项级数，他的收敛性就意味着关于的一致收敛性. 而关于单调，且，对一切成立.由阿贝尔判别法可知级数在0,1上一致收敛.特别地，比如在0,1上是一致收敛的.定理3.5 狄利克雷判别法设（i）的部分和函数序列在上一致有界；（ii）对于每一个，关于是单调的；（iii）在上一致收敛于0；则级数在上一致收敛7.证明： （证法与定理3.3相仿）由（i）可知存在正数M，对一切，有.因此当为任何正整数时，.对任何一个，再由（ii）及阿贝尔引理，得到，再由（iii），任给，存在，当时，对一切，有，所以根据函数项级数一致收敛性的柯西准则，在上一致收敛.例8 若数列单调且收敛于零,则级数上一致收敛.证明 在上有.所以级数的部分和函数列在上一致有界于是令.则由狄利克雷判别法可得级数在上一致收敛. 定理3.6 狄尼（Dini）判别法设连续函数序列在有限个区间上逐点收敛于连续函数，且对任何，数列都是单调数列，则在上一致收敛于6.证明： 用反证法若假，则于上非一致收敛，于是存在，自然数列的子列和上的点列，使得： （1）由致密性定理知必有收敛子列，故不妨设本身收敛于.由于收敛于，故对存在，使得，由因为函数在点连续，而收敛于点，故有从而存在自然数，使得当时，就有 （2）因为对每个，数列单调，故当，由（2）得到这与（1）矛盾.此定理也可以改写成级数的形式推论3 狄尼判别法的级数形式 设函数项级数在有限区间上逐点收敛于和函数，级数的所有项及和函数都在上连续，且对每个，数列的所有项同号，则函数级数在上一致收敛于. 例9 判定函数级数在区间和上是否一致收敛.解：对任何，都有当时，由上式即得 ，由此可知，级数在上时非一致收敛；当时有，因为，所以正项级数收敛，从而由M判别法知级数在上一致收敛.对于数项级数中的交错级数的收敛性有莱布尼茨判别法, 考虑到数项级数实际上是函数项级数的一种特殊情况, 对此我们有类似的判别方法, 即莱布尼茨判别法.定理3.7 莱布尼茨判别法若，为L型函数项级数，则（i)此级数在上一致收敛；（ii）14证明: (i)因为是上的连续函数，函数列在区间上单调减少且收于连续函数所以在连续非负，而，由Dini定理知函数项级数在区间一致收敛于0，从而函数列在一致收敛于0又，所以,故一致有界，由Dirichlet判别法知交错函数项级数在区间上一致收敛(ii)由(i)得一致收敛，设，于是 例10 试证在区间一致收敛证明: 是任意闭区间上的连续函数列且,，由定理26知函数项级数在上一致收敛第四章 函数项级数一致收敛性判别法的推广定理4.1 余项判别法 函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是证明： 必要性 已知函数项级数在区间一致收敛于, 有,从而 ,即,充分性 已知,即有,所以有.即级数在区间上一致收敛于.例11 判断它的收敛性.解： ,因为,故,所以函数级数在区间一致收敛.定理4.2 积分判别法设为区域上的非负函数, 是定义在数集上的正项函数级,如果在上关于为单调减函数,若含参变量反常积分在数集上一致收敛,则在数集上一致收敛.证明： 由在数集上一致收敛,对,一个,当时,对一切自然数和一切,有.由,所以在数集上一致收敛.例12 设,证明在区间连续.证明： 首先对任意取定一点,都存在,使得,我们只要证明在即可.令,由,并且无穷级数收敛,所以含参积分在上一致收敛.又因为即对任意固定,关于在区间上是单调递减的,由定理4.2知,函数级数在区间上是一致收敛的.定理4.3 比式判别法设函数列定义在数集上的正函数列, 若对于, ，有, ，则函数项级数在上一致收敛.证明 易知而等比级数当公比时收敛，由M判别法可知函数项级数在上一致敛. 推论4 比式判别法的极限形式 设为定义在数集上的函数项级数, 记, 若, 且在上一致有界, 则函数项级数在上一致收敛.证明： 由则存在正整数, 使得当时, 有,由在上一致有界, 则对任意的正整数, 及任意的, 存在正整数, 使得, 令 , 则有, 而等比级数当时收敛, 由函数项级数一致收敛的M判别法知在上一致收敛.例 13 试证函数项级数在()上一致收敛.证明： 因为,而,所以由比式判别法的极限形式知函数项级数在()上一致收敛.定理4.4 根式判别法设为定义在数集上的函数列，若存在正整数，使得对成立，则函数项级数在上一致收敛8.证明: 由定理条件可得，对成立，而几何级数收敛，由M判别法知函数项级数在上一致收敛.注：当定理4.4条件成立时，级数在还绝对收敛.例14 试证函数项级数在上一致收敛, 其中()证明: 设=, 因为,所以由根式判别法可知函数项级数在上一致收敛.推论5 根式判别法的极限形式 设为定义在数集上的函数列, 若一致收敛于, 即, 且,对成立, 则函数项级数在上一致收敛.证明： 由一致收敛于 , 取, , 当时, 对一切有,所以,即,又因为,由M判别法知在上一致收敛. 推论6 有函数项级数, 若对, 有, 则函数项级数在上一致收敛.例15 判别函数项级数在上的一致收敛性.证明： 因为,所以由推论5知函数项级数在上一致收敛.定理4.5 对数判别法 设为定义在数集上的函数列, 若有存在, 对 则函数项级数在上一致收敛.证明 由定理条件可知：对使得对, 有,即,则当时, 对成立时, 有而级数当收敛, 而优级数判别法可知函数项级数在上一致收敛. 例16 试证在上一致收敛.证明 , 因为 所以由对数判别法知函数项级数在上一致收敛.定理4.6 导数判别法设函数列在区间上连续、可微，且存在一点，使得在点收敛. 在上一致收敛；则函数项级数在上一致收敛9.证明： 已知在点收敛，在上一致收敛，即，使得时对，有，对有，根据拉格朗日中值定理有于是故在上一致收敛.例17 设, , 证在上一致收敛.解： 对于每一个, 易见为上的增函数, 故连续且可微, 对于有,故收敛级数为的优级数, 所以由M判别法知在上一致收敛.故原级数在上一致收敛.注：此题还可以用M判别法去解，这里不再赘述.定理4.7 逼近判别法若对任意的自然数和,都有成立,又和都在数集上一致收敛于,则也在上一致收敛10.证明： 设，因为都有,所以有.又,在区间上一致收敛于,即,当时,对一切有及；所以,当时,对一切有.由函数项级数一致收敛定义知, 在上也一致收敛于.第五章 结论通过对函数项级数一致收敛性的历史发展演化，说明了在研究函数项级数发展的过程中，遇到了一些问题，比如函数项级数在积分、连续、可导方面是否也能够保持其性质，经过举例论证后发现，函数项级数在积分、连续、可导方面都不一定能够保持其原有的性质，如何才能保持呢？这就引出了函数项级数一致收敛的概念.现在出现新的问题是如何判别一个函数项级数是一致收敛的，通过阅读和查阅大量的书籍、文献与杂志等，对资料进行总结、引用并推广，得出了一套相对完整的理论.其一般判别方法主要有定义判别法、柯西判别法、M判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法、狄尼判别法、莱布尼茨判别法；并将其进行发展、细化和推广得到了一些推论，找到了其它的判别法，比如余项判别法、积分判别法、比式判别法、根式判别法、对数判别法、导数判别法、逼近判别法等.并对这些判别法都进行了论证，并举例说明其实用性和正确性，对于不同的函数项级数，有不同的方法，而大部分的判别法只针对某种或某些函数项级数，旨在教学者和学习者在理解最初定义的基础上，掌握基本判别方法的基础上，再理解和掌握函数项级数一致收敛性判别法的推广，找到捷径，更好地运用函数项级数一致收敛性这一重要性质，发挥良好的逻辑思维，体会数学美，为数学分析方面更好地服务.参考文献1刘山阳、于力、李广民.数学分析选讲M.科学出版社，2013（6）：147158.2复旦大学数学系编. 数学分析选讲M.上海科学技术出版社,1979（6）:629631. 3王辉.无穷级数的发展演化J.河北师范大学硕士研究生论文,2006（4）:2232.4刘玉琏. 数学分析（第二版） M . 高等教育出版社, 1994(10):122131.5吉林大学数学系编.数学分析（中册）M.人民教育出版社，1978(8):110116. 6李成章、黄玉民.数学分析（上册）M.南开大学数学教学丛书.科学出版社,1995(5):360367. 7云南大学数学系数学分析编写组.数学分析第四册（初稿）M.1973.8毛一波.函数项级数一致收