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xx线性系统讲稿3 第三章线性系统的运动分析31状态方程的解定义如下矩阵函数?=+=03322!)(!3!2kkAtkAt t A t AAt Ie?它具有如下性质A e Ae edtde e e e eAt AtAt Ie eIeAt At AtAt At At At t t AAt AttAt=+?+?=+?=)4)3!3)(!2)()()2)1122121)(3210?证A eAAtAt IAeAtAt I At At AAAtAt IdtdedtdAtAtAt=+=+=+=+=)!2)()!2)(!2)!2)(222322?5)若A可逆110)()(?=?=?A Ie IeAd eAt AttA证AttAt tAet A t AAt II d e AtA AtIt dAA Ide=+=+=+=?!3!2)(!3!2)!2)(3322032xx即P eP eAt t APP1) (1)6?=?At Ft Ft At tFAe e e e e=+)(7）仅当A与F为可交换时预备知识线性定常系统的运动 1、自由运动线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。 齐次状态方程的解由初始状态引起的运动称自由运动。 齐次状态方程的解),(B A=?0=u)0(|)(,0x t x Ax xt=?x 2、强迫运动线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。 )(|)(,00t x t xBu Axxt t=+=?非齐次状态方程的解),(B A=?u x满足初始状态的解是 一、直接求解 1、标量齐次微分方程ax x=?)0(|)(0x t xt=满足初始状态的解是满足初始状态的解是 2、齐次状态方程满足初始状态的解是满足初始状态的解是 2、齐次状态方程Axx=?00)(,)()(0t t t x e t xt tA=?)0(|)(0xtxt=0,)0()(=txe txAt)(|)(00txtxt t=)0()(xe t xat=其中?=+=022!1!1!21kk k kkAtt Akt AktA AtIe?定义为矩阵指数函数，和A一样也是nn阶方阵Ate线性定常齐次状态方程的求解方法直接求解，拉氏变化求解下面考虑自由系统的解00)(,X t X AX X=?定理1自由系统的解为00)(,X t X AX X=?0) (0)(X e t Xt tA?=证0) (0)(00X Ae X edtdt tA t tA?=满足微分方程将t=t0代入得00)(00X X et tt tA=?满足初始条件 (1)对于一般的状态方程00)(,X t X Bu AX X=+=? (2)若令)()()(0t X e t Zt tA?=?=+?=?000)()()()()()()(000X t X t ZBu eBu AX e AX e tZt tA t tA t tA? (3)解以上的方程，两边取积分d Bu e tZ tZttt A?=?00)()()()(0代入得方程 (2)的解为)()()(0tZe t Xt tA?=?+=+=ttt At tAttt At tAd Bue t X ed Bue tZe t X00000)()()()()()()() (0)(若取起始时间为0，则得?+=tt AAtd Bue X e t X0)()()0()( （4）定理2状态方程00)(,X t X Bu AX X=+=?的解为?+=ttt At tAd Bue tX e tX00)()()() (0)( （5）零输入响应零状态响应可见系统的运动由两部分组成。 一部分是由于初始状态引起的转移项（零输入响应）。 另一部分是由于控制输入作用下的受控项（零状态响应）。 后者的存在使我们有可能选取合适的u，使x(t)的轨线按期望的要求改变。 32线性定常系统的状态转移矩阵定义1对于给定的线性定常系统0,)(,00=+=tX tXBu AX X?称满足以下矩阵方程000,)0(),()(t tI t tAt t=?=?的nn维阵为系统 （1）的状态转移矩阵。 (1)(0t t?因为系统为n维，所以自由方程有且仅有n个线性无关解。 找出任意n个线性无关解，并且它们为列构成nn维矩阵函数(t)，则称(t)为方程的基本解阵。 AX X=?AX X=?(t)满足为非奇异实矩阵。 基本解阵与转移矩阵之间满足00,)(),()(t tH t tAt=?0010),()()(t t t t t t=?这是因为I t t t tt tAt t t tt t=?=?=?)()()()0()()()()()(0100010100?对于，可以证明为它的一个基本解阵。 这是由于成立AX X=?Ate t=)(?=AtAt AteAe edtd)(非奇异从而它的转移矩阵为) (1000)()(t tAAtAte e et t?=?利用转移矩阵可以将方程的解表示为0,)(,00=+=tX tXBuAX X?000,)()()()(0t td Bu tX t t t Xtt?+?=?若取，则有00=t0,)()()()(00?+=?td ButXt t Xt若令，由以上系统零输入响应可知0)(t u00)()(Xt t tX?=即就是将时刻t0的状态X0映射到时刻t的状态X(t)的一个线性变换，它在定义时间区间内决定了状态向量的自由运动。 )(0t t?33e At的计算e At是矩阵函数，它的计算方法有1)无穷级数法,例?=3210A?+?+?=?+?+?+?+?+?+?+?+?+?+?=?+?+?+?+?+=+?+?+?=?t t t tt t t tAte e e ee e e ettttttttttttttttttttttttt te2222222222222222222222)!2421 (2)!21()!2421 (2)!21 (2)!2421()!21()!2421()!21(2!2731!2620!230!2xx210!2132101001?2)有限级数法?=3210A求特征根2,121?=?=令01)(a ag+=t t t tt te ea e e aa a eaae21xx201,2,?=?=+?=+?=?+?+?=?+?=?t t t tt t t tAte e e ee e e ea ae2222102222321010013)拉氏变换法?=3210A对自由系统取拉氏变换得0)0(,X X AX X=?01)()(X A sI sX?=0)(X et XAt=而其时域解为对比可知11?=A sI L eAt例?+?+=?+?=?)2)(1()2)(1 (2)2)(1 (1)2)(1 (3321)(11s sss ss s s ssssA sI故?+?+?=?+?+=?t tttttttAte e e eeeees ssLs sLssLsssLe222211112222)2)(1()2)(1(2()2)(1(1()2)(1(3 (4)约旦形法T e T eAtt AT T1)(1?=?若取T为A的特征向量与广义特征向量构成的矩阵，则为约旦标准型，从而可以通过计算得到e At。 而e Jt容易计算。 J AT T=?11?=T TeeJt At?=131111322A求Ate由解得。 代入特征方程可得到特征向量0)det(=?A I3,2,1321=?=0)(=?X AI?=?=?=111,14111,111321XXXi)A具有完整的特征向量系时，求得A的特征向量构成变换矩阵T。 例，令?=?=?23152xx2515301114111111111T T?=?3211AT TJ?+?+?+?+?+?+?+?+=?=?ttttttttttttttttttttttt ttttAte eeeeee eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee323333233332333321228103282515151221032251515122210322251515301123152xx251530100000011411111111ii)一般情况T为特征向量与广义特征向量构成的变换矩阵J ATT=?1ik ikinniiiiikiiiJJJJJJJ?=?=?=10000000001000010000111?tiknikniknt Jt Jt JtJtJtJJtiikikikikiiiietnttnt ttntt tteeeeeee?=?=?=?100000000)!3 (100)!2(!210)!1(!3!2132213211?1?=T TeeJt At例26128100010321?=?=A22=+I Arank1=故只有一个约旦块?+=+020223X IAX IA解得?=7203X022=+X IA?=4322X02=+X IA?=4212X解得解得?=744232021T?=?144276414131T所以tt Atet ttttttttt ttt tt tTe tttTe22222222221221421288812442212210010!21?+?+?+?+=?=34模式分解定义1设，若有数i和向量f i使得n nCA=i i if A f则称为A的左特征向量。 若A有if完整的特征向量系，其特征向量为inT?1=?=?nffT?11令则即为A的左特征向量if因为?=?=?=?=iii ininTiTinfT eTeTT fAfTTA1111111?定理1若具有完整的特征向量系，则状态方程的解为n nCA0)0(,XX AX X=?=+=niitintnt tX f eX f e X f e Xfet Xin10002xx21)(?证0101101101011)(Xfe XffeexffeeX TTe X etXniitintntnttnJt Atinn?=?=?=?=? (2)称 (2)式为方程的解的模式分解。 (2)式中的每一项称为模式。 它对应于x(t)的自然频率为i的那一个分量。 它由三部分组成AXX=?0Xfeitii0)3)2)1X feTitii表示该分量方向的列向量表示该分量随时间变化的标量表示该分量初始强度的标量解X(t)可看成n维空间的一条轨迹，它由n个分量组成，每个分量均为一模式。 例若)3 (21)2 (11)(10t teetX?+?=?=?=?111221111TT11,1221?=?=f f这时即?=?320xx1XXff由得?=850X35状态方程和脉冲响应矩阵零初始状态时系统输出为00)()()(ttd ut Gt ytt?=? (1)定理1线性系统00)(XtXDu CXYBu AXX=?+=+=? (2)的脉冲响应矩阵为)()()(?+=?t DB Ce t GtA)()()(t DB Ce t GtA+=或证方程 (2)的解为)()() (00) (0)(t Du dBu Ce X Cet Yttt AttA+=?因为脉冲响应矩阵定义时X0=0（系统初始状态是松弛的），故而?+=+=?ttt Attt Ad ut DB Cet DudBuCetY00)()()()()()()( (3) (3)与 (1)比较可得)()()(?+=?t DB Cet GtA定理1两个代数等价系统具有相等的脉冲响应矩阵证),(:D CB A),(:D CB A和之间满足D DCP CPB BPAP A=?11以及1)()(?=P PeetAtA从而)()()()()() (1) (1)(?=?+=?+=?+=?t GtDB CetD PBP Pe CPt DB eC tGt AtAtA方程 (2)的解为)()() (00) (0)(t DudBuCe XCetYttt AttA+=?零输入响应零状态响应定理3两个代数等价的线性定常系统的输出的零状态响应和零输入响应相等证因和脉冲响应矩阵相同，故零状态响应相等。 而的零输入响应为0) (01) (10)(000XCePX PPeCPX eCt tAttAttA?=)()(t PXtX=36线性定常系统的解设系统方程为0)0(XXBuAXX=+=?1)时域解先求则Ate?+=ttAAtd Bue X etX0) (0)()(例u XX?+?=1001xx0112?其中) (1)()0(0ttu XX=求得?=?tt ttt ttttAteeeee eeeee000222?+?+?+=?03020203202xx0)()()(X e X eeX eXee XeeXeX ettttt ttttAt?+?=?=?1021210) (200) (2)(tt ttttt ttAee edeeed Bue?+?+?+?+=?1) (2121)()()(030202203202xxttttttttttt teXeXeeX eeeXeeXeeXet X2)频域解法对状态方程取拉氏变化得)()()(0s Bus AXX ssX+=?)()()()(101s BuA sIX A sI sX?+?=即而)()()()(1011s BuA sIXAsI LtX?+?=同上例?+?=?+?=?11)1)(1 (xx10)1)(