期中-流体力学-总结+习题.pdf

1 流体力学流体力学 总结总结 复习复习 第一章第一章第一章第一章 绪论绪论绪论绪论 一 流体力学一 流体力学与专业的关系与专业的关系 流体力学流体力学 是研究流体是研究流体 液体和气体液体和气体 的力学运动规律及其应用的学科 主要研究的力学运动规律及其应用的学科 主要研究 在各种力的作用下 流体本身的状态 以及流体和固体壁面 流体和流体间 流体与其在各种力的作用下 流体本身的状态 以及流体和固体壁面 流体和流体间 流体与其 他运动形态之间的相互作用的力学分支 他运动形态之间的相互作用的力学分支 研究对象研究对象 研究得最多的流体是研究得最多的流体是液体液体和和气体气体 基础知识基础知识 牛顿运动定律牛顿运动定律 质量守恒定律质量守恒定律 动量 矩 定律 动量 矩 定律等物理学和高等数学的等物理学和高等数学的 基础知识基础知识 后续课程后续课程 船舶静力学 船舶阻力 船舶推进 船舶操纵等都是以它为基础的 船舶静力学 船舶阻力 船舶推进 船舶操纵等都是以它为基础的 二 二 连续介质模型连续介质模型 连续介质连续介质 质点连续地充满所占空间的流体 质点连续地充满所占空间的流体 流体质点流体质点 或称流体微团或称流体微团 忽略尺寸效应但包含无数分子的流体最小单元 忽略尺寸效应但包含无数分子的流体最小单元 连续介质模型连续介质模型 流体由流体质点组成 流体质点连续的 无间隙的分布于整个流场 流体由流体质点组成 流体质点连续的 无间隙的分布于整个流场 中 中 三 流体性质三 流体性质 密度 密度 单位体积流体的质量 以单位体积流体的质量 以 表示 表示 单位 单位 kg mkg m 3 3 0 lim A V mdm VdV 重度 重度 单位体积流体的重量 以单位体积流体的重量 以 表示 表示 单位 单位 N mN m 3 3 0 lim A V GdG VdV 密度和重度之间的关系为 密度和重度之间的关系为 g 流体的粘性 流体在运动的状态下 产生内摩擦力以抵抗流体变形的性质 流体的粘性 流体在运动的状态下 产生内摩擦力以抵抗流体变形的性质 牛顿内摩擦定律 牛顿内摩擦定律 Fdu Ady 其中 其中 为粘性系数为粘性系数 单位 单位 N N s s m m 2 2 a a s s 运动粘性系数 运动粘性系数 单位 单位 m m 2 2 s s 2 粘性产生的原因 是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的 粘性产生的原因 是由流动流体的内聚力和分子的动量交换所引起的 牛顿流体牛顿流体 内摩擦力按粘性定律变化的流体内摩擦力按粘性定律变化的流体 非非牛顿流体牛顿流体 内摩擦力内摩擦力不不按粘性定律变化的流体按粘性定律变化的流体 四 作用于流体上的力四 作用于流体上的力 质量力质量力 体积力体积力 其大小与流体质量其大小与流体质量 或体积或体积 成正比的力成正比的力 称为质量力称为质量力 例如重例如重 力 电磁力以及惯性力等均属于质量力 力 电磁力以及惯性力等均属于质量力 000 lim lim lim y xz mmm F FF XYZ mmm 表面力 作用于 点处单位面积上的法向力和切向力表面力 作用于 点处单位面积上的法向力和切向力 00 lim lim n dAdA dFdF p dAdA 五 流体静压特性五 流体静压特性 特性一 静止流体的压力沿作用面的内法线方向特性一 静止流体的压力沿作用面的内法线方向 特性二 静止流体中任意一点的压力大小与作用面的方向无关 只是该点的坐标函特性二 静止流体中任意一点的压力大小与作用面的方向无关 只是该点的坐标函 数 数 六 压力的表示方法和单位六 压力的表示方法和单位 绝对压力绝对压力 p p p pabsabsabs abs 以绝对真空为基准计算的压力 以绝对真空为基准计算的压力 相对压力相对压力 p p p p 以大气压以大气压 p p p pa a a a为基准计算计的压力为基准计算计的压力 其值即为绝对压力超过当地大气压其值即为绝对压力超过当地大气压 的数值 的数值 p p p p p p p pabsabsabs abs p p p pa a a a 真空度真空度 p p p pv v v v p p p pv v v v p p p pa a a a p p p pabsabsabs abs p p p p 国际单位制 国际单位制 SISISISI N N N N mmmm 或或 PaPaPaPa 1 1 1 1 PaPaPaPa N N N N mmmm 液柱高 长度单位 如水银柱 水柱等 液柱高 长度单位 如水银柱 水柱等 大气压 包括标准大气压和工程大气压 大气压 包括标准大气压和工程大气压 标准大气压 标准大气压P P P Patmatmatm atm 1 013 1 013 1 013 1 013 105105105105 P P P Pa a a a 760 760 760 760 汞柱 汞柱 10 33 10 33 10 33 10 33 水柱 水柱 工程大气压 工程大气压P P P Pataataata ata kgf cmkgf cmkgf cmkgf cm2 2 2 2 0 981 0 981 0 981 0 981 105P105P105P105Pa a a a 0 968 0 968 0 968 0 968 atmatmatmatm 第一章第一章 复习题复习题 问题 按连续介质的概念 流体质点是指 D A 流体的分子 B 流体内的固体颗粒 C 几何的点 3 D 几何尺寸同流动空间相比是极小量 又含有大量分子的微元体 问题 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是 B A 切应力和压强 B 切应力和剪切变形速率 C 切应力和剪切变形 D 切应力和流速 例 直径 10cm 的圆盘 由轴带动在一平台上旋转 圆盘与平台间充有厚度 1 5mm 的油膜相隔 当 圆盘以n 50r min 旋转时 测得扭矩M 2 94 10 4N m 设油膜内速度沿垂直方向为线性分布 试 确定油的粘度 r d d d dr r r r 解 u r nr 30 dr微元上摩擦阻力为 15 rr rr 2r 30 1 A u A dT 22 nd d n dd 而圆盘微元所受粘性摩擦阻力矩为 dM dT r 2r3ndr 15 则克服总摩擦力矩为 R 0 42 3 R 0 2 60 nR drr 15 n dMM sPa 10885 nR M60 4 42 1 下面关于流体粘性的说法中 不正确的是 D A 粘性是流体的固有属性 B 粘性是运动状态下 流体有抵抗剪切变形速率能力的量度 C 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性 D 流体的粘度随温度的升高而增大 2 连续介质假设意味着B A 流体分子互相紧连 B 流体的物理量是连续函数 C 流体分子间有空隙 D 流体不可压缩 3 静止流体A剪切应力 A 不能承受 B 可以承受 C 能承受很小的 D 具有粘性时可承受 4 运动粘性系数的单位是B A s m2 B m2 s C N s m2 D N m s 5 动力粘性系数 与运动粘性系数 的关系为 A A B C p D p 6 流体的粘性与流体的D无关 A 分子内聚力 B 分子动量交换 C 温度 D 速度梯度 4 第二章第二章 流体静力学流体静力学 研究内容研究内容 研究静止流体的压力 密度 温度分布 以及流体对器壁或物体的作用 研究静止流体的压力 密度 温度分布 以及流体对器壁或物体的作用 力 力 主要内容主要内容 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 静力学基本方程静力学基本方程 静压力分布规律静压力分布规律 平板上的作用平板上的作用 力及压力中心 曲面上的作用力 阿基米德定理力及压力中心 曲面上的作用力 阿基米德定理 一 欧拉平衡微分方程一 欧拉平衡微分方程 欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程 ppp XYZ xyz 该式表明该式表明 在平衡的情况下在平衡的情况下 压力梯度必须和质量力取得平衡 压力梯度必须和质量力取得平衡 欧拉平衡微分方程的综合形式 欧拉平衡微分方程的综合形式 d ddd pX xY yZ z 对于不可压缩流体对于不可压缩流体 质量力有势质量力有势 称为质量力势 称为质量力势 函数函数 引进势函数之后 欧拉方程式变为 引进势函数之后 欧拉方程式变为 dpdU 等压面 压力相等之各点所组成的面 等压面 压力相等之各点所组成的面 等压面特性 等压面特性 在流体静止时 质量力垂直于等压面 等压面与等势面重合 在流体静止时 质量力垂直于等压面 等压面与等势面重合 二 流体静力学基本方程式二 流体静力学基本方程式 流体静力学基本方程式 流体静力学基本方程式 0 pph 也称静压力分布规律 也称静压力分布规律 流体的静压强具有两个重要特性 流体的静压强具有两个重要特性 特性一 流体静压强的作用方向总是沿其作用面的内法线方向 特性一 流体静压强的作用方向总是沿其作用面的内法线方向 特性二 在静止流体中任意一点上的压强与作用的方位无关 其值均相等 特性二 在静止流体中任意一点上的压强与作用的方位无关 其值均相等 三 平板上的作用力及压力中心三 平板上的作用力及压力中心 平板上的作用力 平板上的作用力 0c Pph 静水总压大小 静水总压大小 cc Pph 压力中心 压力中心 C DC C I 四 曲面上的作用力四 曲面上的作用力 5 1 1 1 1 总作用力的水平分力 总作用力的水平分力 x x x xc c c cx x x x A A A Ah h h hF F F F 2 2 2 2 总作用力的垂直分力 总作用力的垂直分力 ababababz z z z V V V VF F F F 3 3 3 3 作用在曲面上总作用力的大小和方向为 作用在曲面上总作用力的大小和方向为 2 2 2 22 2 2 2 z z z zx x x x F F F FF F F FF F F F z z z z x x x x F F F F F F F F tg tg tg tg 4 4 4 4 总作用力的作用点 总作用力的作用点 总作用力的水平分力的作用线通过平面总作用力的水平分力的作用线通过平面 x x x x A A A A的压力中心 而垂直分力的作用线通过的压力中心 而垂直分力的作用线通过 压力体的重心 故总作用力必通过两者的交点 压力体的重心 故总作用力必通过两者的交点 5 5 5 5 压力体及其确定原则压力体及其确定原则 压力体压力体 abababab V V V V是一个纯数学是一个纯数学概念概念 而与该体积内是否充满而与该体积内是否充满 液体无关 一般方法如下 液体无关 一般方法如下 a a a a 取自由液面或其延长线 取自由液面或其延长线 b b b b 取曲面本身 取曲面本身 c c c c 曲面两端向自由液面投影 得到两根投影线 曲面两端向自由液面投影 得到两根投影线 d d d d 以上四根线将围出一个或多个封闭体积 以上四根线将围出一个或多个封闭体积 这些体积在考虑了力的作用方向后的矢量和这些体积在考虑了力的作用方向后的矢量和 就是所求的压力体 就是所求的压力体 压力体的种类 实压力体和虚压力体 压力体的种类 实压力体和虚压力体 实压力体方向向下 虚压力体方向向上实压力体方向向下 虚压力体方向向上 五 阿基米德定理五 阿基米德定理 沉没于液体中的物体受到浮力 垂直向上的合压力 的大小等于该物体所排开液体沉没于液体中的物体受到浮力 垂直向上的合压力 的大小等于该物体所排开液体 的重量 浮力的作用点称为浮心 为物体的形心 的重量 浮力的作用点称为浮心 为物体的形心 浮力的本质 物体上下表面受到的静水压力差 浮力的本质 物体上下表面受到的静水压力差 六 本章难点 六 本章难点 1 1 1 1 在应用静力学基本方程解题时在应用静力学基本方程解题时 如何判断等压面是要点如何判断等压面是要点 要利用等压面和静力学要利用等压面和静力学 基本方程把问题联系起来 判断等压面要注意三个方面 一是流体是否连通 二是看是基本方程把问题联系起来 判断等压面要注意三个方面 一是流体是否连通 二是看是 否为同种流体 三是看是否在同一平面上 否为同种流体 三是看是否在同一平面上 2 2 2 2 对于相对静止容器中流体的平衡问题对于相对静止容器中流体的平衡问题 平衡微分方程的积分关键是如何确定系统平衡微分方程的积分关键是如何确定系统 6 中的质量力 然后就可代入进行积分了 解题中关键要能运用好等压面方程 主要是自中的质量力 然后就可代入进行积分了 解题中关键要能运用好等压面方程 主要是自 由液面方程 来解决工程实际问题 由液面方程 来解决工程实际问题 3 3 3 3 对于复杂曲面 流体的垂直作用力如何确定 一方面是要对复杂曲面进行分解 对于复杂曲面 流体的垂直作用力如何确定 一方面是要对复杂曲面进行分解 然后将所有垂直分力求和 另一方面对总作用力的作用点可依据通过对称物体的中心 然后将所有垂直分力求和 另一方面对总作用力的作用点可依据通过对称物体的中心 或依据水平分力与垂直分力共面时 由通过两者的交点来确定 或依据水平分力与垂直分力共面时 由通过两者的交点来确定 第二章第二章 复习题复习题 问题 问题 静止流体的点压强值与静止流体的点压强值与B B无关 无关 A A 位置位置 B B 方向方向 C C 流体种类流体种类 D D 重力加速度重力加速度 算一算 算一算 1 1 1 1 如图所示的密闭容器中如图所示的密闭容器中 液面压强液面压强p p p p0 0 0 0 9 8kPa9 8kPa9 8kPa9 8kPa A A A A 点压强为点压强为 49kPa49kPa49kPa49kPa 则则 B B B B 点压强点压强 为为 39 2kPa 在液面下的深度为在液面下的深度为 3m 问题 问题 露天水池水深露天水池水深 5 5 5 5m m m m处的相对压强为 处的相对压强为 49kPa49kPa A A A A 5kPa5kPa5kPa5kPa B B B B 49kPa49kPa49kPa49kPa C C C C 147kPa147kPa147kPa147kPa D D D D 205kPa205kPa205kPa205kPa 例例 1 1 1 1 求淡水自由表面下求淡水自由表面下 2m2m2m2m 深处的绝对压强和相对压强 深处的绝对压强和相对压强 解 解 绝对压强 绝对压强 p p p p p p p p0 0 0 0 ghghghgh p p p pa a a a ghghghgh 101325101325101325101325 N mN mN mN m2 2 2 2 9800980098009800 2 2 2 2 N mN mN mN m2 2 2 2 120925120925120925120925 N mN mN mN m2 2 2 2 1 1931 1931 1931 193 标准大气压标准大气压 相对压强 相对压强 p p p p p p p p p p p pa a a a ghghghgh 9800980098009800 2N m2N m2N m2N m2 2 2 2 19600196001960019600 N mN mN mN m2 2 2 2 0 1930 1930 1930 193 标准大气压标准大气压 例例 2 2 2 2 如图 如图 h h h hv v v v 2m 2m 2m 2m 时 求封闭容器时 求封闭容器A A A A中的真空中的真空度度 解 解 设封闭容器内的绝对压强为设封闭容器内的绝对压强为p p p p 真空 真空度度为为 p p p pv v v v 则则 p p p p p p p pa a a a ghghghghv v v v 根据真空根据真空度度定义 定义 p p p pv v v v p p p pa a a a p p p p p p p pa a a a p p p pa a a a ghghghghv v v v ghghghghv v v v 9800980098009800 2N m2N m2N m2N m2 2 2 2 19600196001960019600 N mN mN mN m2 2 2 2 问题 问题 某点的真空度为某点的真空度为 65000650006500065000 PaPaPaPa 当地大气压为 当地大气压为 0 1MPa0 1MPa0 1MPa0 1MPa 该点的绝对压强为 该点的绝对压强为 C A A A A 65000650006500065000P P P Pa a a a B B B B 55000550005500055000P P P Pa a a a C C C C 35000350003500035000P P P Pa a a a D D D D 165000165000165000165000P P P Pa a a a 问题 问题 绝对压强绝对压强p p p p与相对压强与相对压强p p p p 真空度 真空度p p p pv v v v 当地大气压 当地大气压p p p pa a a a之间的关系是 之间的关系是 C A A A A p p p p p p p p p p p pv v v v B B B B p p p p p p p p p p p pa a a aC C C C p p p pv v v v p p p pa a a a p p p pD D D D p p p p p p p pa a a a p p p p 7 问题问题 1 1 仅在重力作用下 仅在重力作用下 静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为 B B A A 随深度增加而增加 随深度增加而增加 C C 随深度增加而减少 随深度增加而减少 B B 常数 常数 D D 不确定 不确定 问题问题 2 2 试问图示中 试问图示中A A B B C C D D点的测压管高度 测压管水头 点的测压管高度 测压管水头 D D点闸门关闭 以点闸门关闭 以D D点所点所 在的水平面在的水平面为基准面 为基准面 A A 测压管高度测压管高度 0m0m 测压管水头 测压管水头 6m6m B B 测压管高度测压管高度 2m2m 测压管水头 测压管水头 6m6m C C 测压管高度测压管高度 3m3m 测压管水头 测压管水头 6m6m D D 测压管高度测压管高度 6m6m 测压管水头 测压管水头 6m6m 例例 试标出图示盛液容器内 试标出图示盛液容器内A A B B和和C C三点的位置水头 压强水头和测压三点的位置水头 压强水头和测压 管水头 以图示管水头 以图示 O O O O 为基准面 为基准面 解解 压强水头为相对压强的液柱高度压强水头为相对压强的液柱高度 即测压管高度即测压管高度 位置水头为液体位置水头为液体 质点至基准面的位置高度 质点至基准面的位置高度 显然显然 A A点压强水头点压强水头 p p p pA A g g 位置水头位置水头 z z z zA A和测压管水头和测压管水头 z z z zA A p p p pA A g g 如图如图 所示 所示 在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等 即即 z z z zA A p p p pA A g cg c 因此 以 因此 以 A A 点的测压管水头为依据点的测压管水头为依据 B B 点的位置水头点的位置水头 z z z zB B和压强水头和压强水头 p p p pB B g g 即可以确定 如图所示即可以确定 如图所示 至于至于 C C 点 因为位于测压管水头之上 其相对压强为负值 即点 因为位于测压管水头之上 其相对压强为负值 即p pC C p pa a C C p p0 0 p p2 2 p p3 3 C C p p1 1 p p2 2 p p3 3 D D p p2 2 p p1 1 p p3 3 问题问题 1 1 金属压力表的读数值是 金属压力表的读数值是 B B A A 绝对压强 绝对压强 C C 绝对压强加当地大气压 绝对压强加当地大气压 B B 相对压强 相对压强 D D 相对压强加当地大气压 相对压强加当地大气压 9 问题问题 2 2 一密闭容器内下部为水 上部为空气 液面下 一密闭容器内下部为水 上部为空气 液面下 4 2m4 2m 处测压管高度为处测压管高度为 2 2m2 2m 设当地大气压 设当地大气压为为 1 1 个工程大气压 则容器内绝对压强为几米水柱个工程大气压 则容器内绝对压强为几米水柱 8m8m A A 2m2m B B 8m8m C C 1m1m D D 2m 2m 问题问题 3 3 油的密度为油的密度为 800800 kg mkg m 3 3 静止的油的自由面与大气接触 油面下 静止的油的自由面与大气接触 油面下 0 5m0 5m 的深处的表压强为的深处的表压强为 D D kPakPa A A 0 800 80B B 0 500 50C C 0 400 40D D 3 923 92 问题问题 4 4 图中左边开口测压管和右边真空测压管的水柱高度之差约为图中左边开口测压管和右边真空测压管的水柱高度之差约为 1010 m m A A 1010B B 1 01 0C C 0 10 1D D 0 010 01 例例 1 1由真空表由真空表A A中测得真空值为中测得真空值为 17200N m17200N m 2 2 各高程如图 空气重量忽略不计 各高程如图 空气重量忽略不计 1 1 6860N m 6860N m 3 3 2 2 15680 15680 N mN m 3 3 试求测压管 试求测压管E E F F G G内液面的高程及内液面的高程及 U U 形测压管中水银上升的高差的形测压管中水银上升的高差的H H1 1大小 大小 解 解 容器内相对压强容器内相对压强 p p p pA A 17200 17200 N mN m 2 2 利用等压面原理利用等压面原理 1 1 E E管管p p p pA A A A 1 1h h h h1 1 p p p pE E E E 0 0 0 0 h h h h1 1 p p p pA A A A 1 1 2 512 512 512 51 mmmm 则 则 E E 15 0 h15 0 h1 1 12 4912 49 mmmm 2 2 F F管管p p p pA A A A 1 1 15151515 11 6 11 6 11 6 11 6 W Wh h h h2 2 h h h h2 2 p p p pA A A A 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 W W 0 620 620 620 62 mmmm F F F F 11 6 11 6 11 6 11 6 h h h h2 2 2 2 12 22 12 22 12 22 12 22 mmmm 3 3 G G管管p p p pA A A A 1 1 15151515 11 6 11 6 11 6 11 6 W W 11 6 11 6 11 6 11 6 8 0 8 0 8 0 8 0 2 2h h h h3 3 h h h h3 3 p p p pA A A A 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 3 63 63 63 6 W W 2 2 2 642 642 642 64 mmmm 4 4 U U形管形管H H1 1 p p p pA A A A 3 4 3 4 3 4 3 4 1 1 7 7 6 6 6 6 W W MMMM 0 6050 6050 6050 605 mmmm 例例 2 2 一密封水箱如图所示 若水面上的相对压强一密封水箱如图所示 若水面上的相对压强p p0 0 44 5 44 5 kN mkN m 2 2 求 求 1 1 h h值 值 2 2 求水下 求水下 0 3m0 3m 处处M M点的压强 要求分别用绝对压强 相对压点的压强 要求分别用绝对压强 相对压 强 真空度 水柱高及大气压表示 强 真空度 水柱高及大气压表示 3 3 M M点相对于基准面点相对于基准面 O O O O 的测压管水头 的测压管水头 解解 1 1 求 求h h值值 列等压面列等压面 1 1 1 1 p pN N p pR R p pa a 以相对压强计算 以相对压强计算 p p p p0 0 h 0h 0h 0h 0 44 544 544 544 5 9 89 89 89 8h h h h 0 0 0 0 h h h h 44 5 9 8 44 5 9 8 4 544 54 mmmm 2 2 求 求p pM M 用相对压强表示 用相对压强表示 p p p pM M p p p p0 0 h h h hMMMM 44 5 9 844 5 9 844 5 9 844 5 9 8 0 3 0 3 0 3 0 3 41 5641 5641 5641 56kN mkN mkN mkN m2 2 2 2 p p p pM M 41 56 98 41 56 98 0 424 0 424 工程大气压工程大气压 h h h hM M p p p pMMMM W W 41 56 9 841 56 9 841 56 9 841 56 9 8 4 244 24 mHmHmHmH2 2 2 2O O O O 用绝对压强表示 用绝对压强表示 p p p pM M p p p pM M p p p pa a 41 56 98 56 4441 56 98 56 4441 56 98 56 4441 56 98 56 44kN mkN mkN mkN m2 2 2 2 10 p p p pM M 56 44 98 0 576 56 44 98 0 576 56 44 98 0 576 56 44 98 0 576 工程大气压工程大气压 h h h hM M p p p pMMMM W W 56565656 44 44 44 44 9 8 9 8 9 8 9 8 5 765 765 765 76mHmHmHmH2 2 2 2O O O O 用真空度表示 用真空度表示 p p p pv v 41 5641 5641 5641 56kN mkN mkN mkN m2 2 2 2 0 424 0 424 工程大气压工程大气压 h h h hv v v v p p p pv v v v W W 41 41 56 9 856 9 856 9 856 9 8 4 244 244 244 24mHmHmHmH2 2 2 2O O O O 3 3 M M 点的测压管水头点的测压管水头 z z z zM M p p p pM M W W 0 3 4 24 4 54 0 3 4 24 4 54 mmmm 思思考考题题 1 1 在传统实验中 为什么常用水银作在传统实验中 为什么常用水银作 U U 型测压管的工作流体 型测压管的工作流体 1 1 压缩性小 压缩性小 2 2 汽化压强低 汽化压强低 3 3 密度大 密度大 2 2 如图所示水深相差如图所示水深相差h h的的A A B B两点均位于箱内静水中 连接两点的两点均位于箱内静水中 连接两点的 U U 形汞压形汞压 差计的液面高差差计的液面高差h hmmmm 试问下述三个值 试问下述三个值h hmmmm哪个正确 哪个正确 g pp m BA 1 gg pp m BA 2 3 3 0 0 3 3 3 3 如图所示两种液体盛在同一容器中 且如图所示两种液体盛在同一容器中 且 1 1 得到速度势函数得到速度势函数 由速度势函数与速度的关系式求出速度 由速度势函数与速度的关系式求出速度 2 2 2 2 流函数流函数 流函数存在的条件流函数存在的条件 只要是连续的平面流动就存在流函数只要是连续的平面流动就存在流函数 不一定要求不一定要求 无旋 流函数与速度之间关系无旋 流函数与速度之间关系 x y V V y x 流函数的性质 流函数的性质 流函数和流线的关系 流函数和流线的关系 constconstconstconst 的曲线和流线重合 的曲线和流线重合 流函数和流量的关系流函数和流量的关系 通过任意两条流线之间通过任意两条流线之间 流管流管 的流量等于此两流线的流的流量等于此两流线的流 函数之差值 函数之差值 流函数和速度势的关系 流函数和速度势的关系 xy VV xyyx 等势线和流线互 等势线和流线互 相垂直相垂直 无旋流动 流函数也满足拉普拉斯方程式 无旋流动 流函数也满足拉普拉斯方程式 第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 主要内容主要内容 1 1 1 1 先建立欧拉运动微分方程先建立欧拉运动微分方程 流体动力学的基本方程流体动力学的基本方程 2 2 2 2 在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分在一种特定的条件下积分可得到拉格朗日积分 3 3 3 3 另一特定的条件下积分可得到伯努利积分 另一特定的条件下积分可得到伯努利积分 4 4 4 4 两个积分的实际应用两个积分的实际应用 5 5 5 5 导出动量及动量矩定理 及其应用 导出动量及动量矩定理 及其应用 一 理想流体运动微分方程式一 理想流体运动微分方程式 欧拉运动方程欧拉运动方程 17 z z z z u u u u u u u u y y y y u u u u u u u u x x x x u u u u u u u u t t t t u u u u z z z z p p p p Z Z Z Z z z z z u u u u u u u u y y y y u u u u u u u u x x x x u u u u u u u u t t t t u u u u y y y y p p p p Y Y Y Y z z z z u u u u u u u u y y y y u u u u u u u u x x x x u u u u u u u u t t t t u u u u x x x x p p p p X X X X z z z z z z z z z z z z y y y y z z z z x x x x z z z z y y y y z z z z y y y y y y y y y y y y x x x x y y y y x x x x z z z z x x x x y y y y x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 右侧右侧 前三项表示质点由于位置移动而形成的速度分量的变化率前三项表示质点由于位置移动而形成的速度分量的变化率 位位变加速度变加速度 后一项表示质点经后一项表示质点经 dtdtdtdt 时间的运动后而形成的速度分量的变化率时间的运动后而形成的速度分量的变化率 时时变加速度变加速度 二 拉格朗日积分式二 拉格朗日积分式 2 2 pV zC g 三 伯努利积分式三 伯努利积分式 2 2 l pv zC g 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同 但不同之点有二 拉氏积分和伯氏积分虽在形式上相同 但不同之点有二 应用条件不同 拉格朗日积分只能用于无旋流运动 伯努利积分既可用于无旋应用条件不同 拉格朗日积分只能用于无旋流运动 伯努利积分既可用于无旋 运动 又可用于有旋运动 运动 又可用于有旋运动 2 2 2 2 常数 性质不同 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 故称为普遍常数常数 性质不同 拉格朗日积分中的常数在整个流场中不变 故称为普遍常数 伯努利积分常数 只在同一根流线上不变 不同流线取值不同 称为流线常数 拉氏伯努利积分常数 只在同一根流线上不变 不同流线取值不同 称为流线常数 拉氏 积分在整个空间成立 而伯氏积分只在同一条流线上成立 积分在整个空间成立 而伯氏积分只在同一条流线上成立 应用伯努利方程时的注意事项应用伯努利方程时的注意事项 1 1 沿流动方向在缓变流处取过水断面列方程 沿流动方向在缓变流处取过水断面列方程 2 2 基准面原则上可任取 但应尽量使各断面的位置水头为正 基准面原则上可任取 但应尽量使各断面的位置水头为正 3 3 在同一问题上必须采用相同的压强标准 一般均采用相对压强 而当某断 在同一问题上必须采用相同的压强标准 一般均采用相对压强 而当某断 面有可能出现真空时 尽量采用绝对压强 面有可能出现真空时 尽量采用绝对压强 4 4 由于由于 p z 常数常数 所以计算点在断面上可任取所以计算点在断面上可任取 但对于管道流动常取断面中但对于管道流动常取断面中 心点 对于明渠流动计算点常取在自由液面上 心点 对于明渠流动计算点常取在自由液面上 5 5 应选取已知量尽量多的断面应选取已知量尽量多的断面 如上游水池断面如上游水池断面v v v v1 1 0 0 p p 0 0 下游管道出口断下游管道出口断 面面p p2 2 0 0 处 其中一个断面应包括所求的未知量 处 其中一个断面应包括所求的未知量 18 6 6 当一个问题中有 当一个问题中有 2 2 3 3 个未知量时 需和连续方程 动量方程联立求解 个未知量时 需和连续方程 动量方程联立求解 四 伯努利方程的能量意义 四 伯努利方程的能量意义 各项的能量意义各项的能量意义与与几何意义几何意义 能量意义能量意义几何意义几何意义 z z z z 位能位能 单位重量流体流经给单位重量流体流经给 定点时的位能定点时的位能 位置水头位置水头 位头 位头 流体质点流经流体质点流经 给定点时所具有的位置高度给定点时所具有的位置高度 p p p p 压力能压力能 单位重量流体流经单位重量流体流经 给定点时的压力能给定点时的压力能 压力水头压力水头 压头 压头 流体质点流经流体质点流经 给定点时的压强高度给定点时的压强高度 V V V V 2 2 2 2g g g g 动能动能 单位重量流体流经给单位重量流体流经给 定点时的动能定点时的动能 速度水头速度水头 速度头 速度头 流体质点流流体质点流 经给定点时经给定点时 因具有速度因具有速度 u u 可向上可向上 自由喷射而能够到达的高度自由喷射而能够到达的高度 五 动量方程五 动量方程 动量定理动量定理 质量系的动量质量系的动量 v m 对时间对时间 t t t t 的变化率的变化率 等于作用于该质点系的所有等于作用于该质点系的所有 外力之矢量和 即 外力之矢量和 即 F dt m d v 如果以 如果以M 表示动量 则 表示动量 则 F dt Md 或或dt FMd 将各量投影到直角坐标轴上 得 将各量投影到直角坐标轴上 得 Q F Q F Q F 1z2zz 1y2yy 1x2xx vv vv vv 适用范围 适用范围 1 1 粘性流体粘性流体 非粘性流体的不可压缩定常流动非粘性流体的不可压缩定常流动 2 2 选择的两个过水断面应是缓变流过水断面 而过程可以不是缓变流 选择的两个过水断面应是缓变流过水断面 而过程可以不是缓变流 3 3 质量力只有重力质量力只有重力 4 4 沿程流量不发生变化 沿程流量不发生变化 动量方程的解题步骤动量方程的解题步骤 1 1 选分离体选分离体根据问题的要求根据问题的要求 将所研究的两个缓变流断面之间的水体取为分离将所研究的两个缓变流断面之间的水体取为分离 体 体 2 2 选坐标系选坐标系选定坐标轴的方向 确定各作用力及流速的投影的大小和方选定坐标轴的方向 确定各作用力及流速的投影的大小和方 向 向 3 3 作计算简图作计算简图分析分离体受力情况 并在分离体上标出全部作用力的方分析分离体受力情况 并在分离体上标出全部作用力的方 向 向 19 4 4 列动量方程解题列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方 程求解 程求解 注意事项 注意事项 1 1 应在两缓变流断面处取分离体 但中间也可为急变流 应在两缓变流断面处取分离体 但中间也可为急变流 2 2 动量方程是矢量式 应适当选取投影轴 注意力和速度的正负号 动量方程是矢量式 应适当选取投影轴 注意力和速度的正负号 3 3 外力包括作用在分离体上的所有的质量力和表面力 固体边界对流体的作 外力包括作用在分离体上的所有的质量力和表面力 固体边界对流体的作 用力方向可事先假设 若最后得到该力的计算值为正 则说明假设方向正确 若为负 用力方向可事先假设 若最后得到该力的计算值为正 则说明假设方向正确 若为负 则说明与假设方向相反 则说明与假设方向相反 4 4 应是输出动量减去输入动量 应是输出动量减去输入动量 5 5 动量方程只能求解一个未知数动量方程只能求解一个未知数 若未知数多于一个时若未知数多于一个时 应联立连续性方程和伯应联立连续性方程和伯 努利方程求解 努利方程求解 6 6 计算压力时 压强采用 计算压力时 压强采用相对压强相对压强计算 计算 第四章第四章 复习题复习题 1 1 欧拉法 拉格朗日方法各以什么作为其研究对象 对于工程来说 哪种方法是可行的 欧拉法 拉格朗日方法各以什么作为其研究对象 对于工程来说 哪种方法是可行的 欧拉法以流场为研究对象 拉格朗日方法以流体质点为研究对象 在工程中 欧拉法是可行的 欧拉法以流场为研究对象 拉格朗日方法以流体质点为研究对象 在工程中 欧拉法是可行的 2 2 欧拉法研究欧拉法研究 C C 的变化情况 的变化情况 A A 每个质点的速度每个质点的速度 B B 每个质点的轨迹每个质点的轨迹 C C 每个空间点的流速每个空间点的流速 D D 每个空间点的质点轨迹每个空间点的质点轨迹 1 1 1 1 什么是流线 迹线 它们有何区别 什么是流线 迹线 它们有何区别 流线是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线 曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合流线是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线 曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线 2 2 实际水流中存在流线吗 引入流线概念的意义何在 实际水流中存在流线吗 引入流线概念的意义何在 不存在 引入流线概念是为了便于分析流体的流动 确定流体流动趋势 不存在 引入流线概念是为了便于分析流体的流动 确定流体流动趋势 3 3 在什么流动中 流线与迹线重合 在什么流动中 流线与迹线重合 定常流动定常流动 4 4 定常流动是 定常流动是 B B A A 流动随时间按一定规律变化 流动随时间按一定规律变化 B B 流场中任意空间点的运动要素不随时间变化 流场中任意空间点的运动要素不随时间变化 C C 各过流断面的速度分布相同 各过流断面的速度分布相同 20 D D 各过流断面的压强相同 各过流断面的压强相同 5 5 非定常流动是 非定常流动是B B A A 0 t u B B 0 t u C C 0 s u D D 0 s u 6 6 流场中液体质点通过空间点时 所有的运动要素不随时间变化的叫流场中液体质点通过空间点时 所有的运动要素不随时间变化的叫定常流动 只要定常流动 只要有一个运动要有一个运动要 素随时间变化则称为非素随时间变化则称为非定常定常流流动动 对对 7 7 7 7 定常流动定常流动时 流线的形状不随时间变化 流线不一定与迹线相重合 时 流线的形状不随时间变化 流线不一定与迹线相重合 错错 问题 问题 1 1 1 1 过水断面一定是平面 过水断面一定是平面 错错 2 2 流线是光滑的曲线 不能是折线 流线之间可以相交 流线是光滑的曲线 不能是折线 流线之间可以相交 错错 3 3 流线的形状与边界形状有关 流线的形状与边界形状有关 对对 问题问题 1 1 一变直径管段一变直径管段 A A 断面直径是断面直径是 B B 断面直径的断面直径的 2 2 倍倍 则则 B B 断面的流速是断面的流速是 A A 断面断面 流速的流速的 4 4 倍 倍 对对 2 2 变直径管的直径 变直径管的直径d d1 1 320mm 320mm d d2 2 160mm 160mm 流速 流速 1 1 1 5m s 1 5m s 2 2为 为 A 3m sA 3m s B 4m sB 4m s C 6m sC 6m s D 9m sD 9m s C C 问题问题 水平放置的渐扩管如图所示水平放置的渐扩管如图所示 如忽略水头损失如忽略水头损失 断面形心点的压断面形心点的压 强有以下关系 强有以下关系 C C A A p p1 1 p p2 2 B B p p1 1 p p2 2 C C p p1 1 p p2 2 D D 不定 不定 判断 判断 在位置高度相同 管径相同的同一管道的同一流线上的两点 其压能 动能都相等 在位置高度相同 管径相同的同一管道的同一流线上的两点 其压能 动能都相等 你的回答 你的回答 错错 判断判断 运动水流的测压管水头线可以沿程上升运动水流的测压管水头线可以沿程上升 也可以沿程下降也可以沿程下降 你的回答 你的回答 对对 例例 3 3 2 2 在在 D D 150mm150mm 的水管中的水管中 1 1 2 2 两点相距很近两点相距很近 测速毕托管测速毕托管 对水流没有干扰对水流没有干扰 管中流速均速管中流速均速 v v v v 为管轴处流速为管轴处流速 u u u u 的的 0 840 84 倍倍 问此时问此时 水管中的流量为若干 水管中的流量为若干 解解 通过管轴线设置水平基准面 通过管轴线设置水平基准面 1 1 2 2 两点相距很近 可认为水流从两点相距很近 可认为水流从 1 1 点到点到 2 2 点没有能量损失 点没有能量损失 21 列出列出 1 1 点到点到 2 2 点的无粘性流体伯努利方程 点的无粘性流体伯努利方程 g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 u u u u2 2 0 0 2 2 2 11 1 z g2 z pup 得 得 1 1 2 21 p z p z2gu 假设在过水断面假设在过水断面 1 1 1 1 1 1 1 1 及及 2 2 2 2 2 2 2 2 上压强按静压强规律分布 即上压强按静压强规律分布 即 h p z p z W WM1 1 2 2 秒 米 22 2 9800133280 9800 02 0 8 92 h 2gu WM w 1 水流均速水流均速v v v v 0 840 84u u u u 0 840 84 2 222 22 1 871 87 米 米 秒 秒 流量流量Q Q v v v vA A 1 871 87 3 143 14 0 0750 075 2 2 0 0330 033 米 米 3 3 秒 秒 3333 升升 秒秒 1 1 实际流体中总水头线是沿程下降的 而测压管水头线在一定条件下会沿程上升 实际流体中总水头线是沿程下降的 而测压管水头线在一定条件下会沿程上升 对对 2 2 2 2 伯努利 伯努利方程中 压强标准可任意选取 可采用相对压强也可采用绝对压强 对同一问题亦可采用方程中 压强标准可任意选取 可采用相对压强也可采用绝对压强 对同一问题亦可采用 不同标准 不同标准 错错 3 3 3 3 静水压强可以用测压管来测量 而动水压强则不能用测压管来测量 静水压强可以用测压管来测量 而