指数式和对数式比较大小六法.pdf

2011 08 A 关键词 数学教学 指数式 对数式 大小 比较 方法 中图分类号 G633 62 文献标识码 A 文章编号 1004 0463 2011 08 A 0079 02 纵观历年数学高考试题 几乎每套题都有指数 式和对数式大小比较的客观题目 本文结合近年来 的数学高考试题 总结归纳指数式和对数式比较大 小的六种解题方法 单调函数法 同底的指数式和对数式比较大小 就是利用指 数函数和对数函数的单调性来比较 例1 2009年辽宁卷理12 若0 x y 1 则 A 3y 3xB logx3 logy3 C log4x log4yD 1 4 x 1 4 y 解析 对于A 因为函数y 3x是单调递增函 数 所以当0 x y3x 所以A不成立 对 于B 因为函数y log3x是单调递增函数 所以当0 x y 1时 有log3x log3y 1 log3y 即 logx3 logy3 所以B不成立 对于D 因为函数y 1 4 x是单调递减函数 所以当0 x y 1 4 y 所以D不成立 对于C 因为函数y log4x为 增函数 所以当0 x y 1时 有log4x log4y 故选C 点评 本题全面考查了指数函数和对数函数的 单调性质 中间桥梁法 底不同的指数式和对数式比较大小 如果不能 直接利用指数函数和对数函数的单调性来比较 可 利用特殊数值 如0或1 作为中间桥梁 进而可比 较出大小 例2 2009年天津卷文5 设a log1 3 2 b log1 2 1 3 c 1 2 0 3 则 A a b cB a c bC b c aD b a c 解析 因为a log 1 3 20且c 1 2 0 3log22 1 因此a c b 选B 点评 本题考查指数函数和对数函数的单调 性 我们利用常数来比较它们的大小 特值代入法 对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大 小的问题 可在这个区间上取满足条件的特殊值 代 入后通过计算简化或避免复杂的变形与讨论 使问 题简捷获解 例3 2008年全国 卷理4文5 若x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 则 A a b cB c a bC b a cD b c a 解析 在区间 e 1 1 上取x e 1 2 通过计算知 a lne 1 2 1 2 b 2ln 1 2 1 c ln3e 1 2 1 2 3 1 8 故b a c 选C 点评 本题考查对数式的大小问题 我们利用 特殊值计算得到大小 估值计算法 估值计算是指通过估值 合理猜想等手段 准 确 迅速地选出答案 例4 2007年全国 理4文4 下列四个数中 最大的是 A ln2 2B ln ln2 C ln2姨D ln2 解析 因为ln2 lg2 lge 0 3010 0 4343 0 7 所以 ln2 2 0 49 ln ln2 ln0 7b c 故选A 点评 本题用比较法求解 log32 姨 log22姨 c log23姨 log22 log33 b a b c 但由图象法解决比较直观 明了 容易比 较出大小 特征构造法 对于含有几何背景的指数式和对数式的大小问 题 可根据题目特点 构造函数或利用其他几何特征 进行解题 例6 2005年全国II卷理6文6 若a lnx x b ln3 3 c ln5 5 则 A a b cB c b aC c a bD b a 0得x e 令y e 故函数y lnx x 在 0 e 上 是增函数 在 e 上是减函数 而a ln2 2 ln4 4 因 ln5 5 ln4 4 ln3 3 所以c a b 选C 点 评 运 算 得a ln215 30 姨 b ln310 30 姨 c ln 56 30 姨 215 32768 310 5904