小学数学“等积变形”思想方法的形成.doc

小学数学“等积变形”思想方法的形成江苏省南京师范大学附属小学滕昌英数学是思维的科学,学习数学不仅为了学习数学知识.同时也为了培养数学能力,建立起自身特有的研究问题和解决问题的思想方法,从而科学地进行思维.小学数学教学虽属启蒙阶段,但在教学过程中却无处不见数学思想方法的存在和应用,例如比较,分析,综合,抽象等.也不时会有新的数学思想方法的形成.下面,笔者谈谈“等积变形”这一数学思想方法的形成过程.“等积变形”中的”积”在小学数学中一般是指面积和体积.”等积变形”从字面理解为:面积,体积不变(相等),而形状发生改变,也可以理解为:不论形状发生怎样的改变,它的面积,体积总不变.夸-壬r生到强化,同时对于那些这次作业完成不是最理想的学生也是一种鞭策.“教者有心,学者得益”.实践证明,开放式,个性化,多元化的实践性作业的设计与探究,能较好地适应不同层次,不同需求的学生,有效地激发学生学习数学的积极性,提高应用数学的能力和解决简单实际问题的能力.156一,初始阶段读懂教材.发现教材中的思想方法小学数学教材的编写有两条线索,一是处于表面的知识.二是藏于书后的思想方法.只有先学会数学知识,才能领会知识深处的思想方法.“等积变形”用得最多的是求几何图形的面积和体积.一,等面积变形“等面积变形”有两层含义:面积不变而形状改变;形状虽然改变但面积不变.”等面积变形”在小学数学各平面图形的学习中均有所反映.1.长方形的等积变形学习了长方形的面积计算后,不难得出:当几个长方形的长,宽分别相等时,它们的面积相等.那么,当几个长方形的面积相等时,它们的长,宽也一定分别相等吗?它们的周长一定相等吗?这个问题总是让很多学生迷惑不解.教师们会通过下面的表格来揭示这个问题.序号宽长面积周长1l厘米24厘米22厘米l2厘米33厘米8厘米44厘米6厘米学生们填表后,经过观察,比较,得出当几个长方形的面积相等时,它们的长,宽不一定分别相等,它们的周长不一定相等.进一步感受到:面积相等的长方形的形状可以是多种多样的,形状可能不同.2.平行四边形的等积变形小学数学教材中教学平行四边形面积时,是将平行四边157形通过剪切,平移,拼接成一个长方形.所拼成的长方形的面积和原平行四边形的面积是相等的.根据长方形面积计算公式得出平行四边形的面积计算公式.这里再一次向学生说明:面积相等,形状不一定相同.3.三角形的等积变形三角形面积计算公式是这样推导出的:将两个完全相同的三角形经过旋转,平移.拼成一个平行四边形,每个三角形的面积就是所拼成的平行四边形面积的一半,从而得出三角形的面积计算公式.这节内容中总会出现这样的判断题:两个面积相等的三角形可以拼成一个平行四边形.这个命题当然是错误的.但不少小学生却难以理解.分析这个问题我们可以借助这样的图:让学生动手画一画,看看能画出多少个与平行线问三角形面积相等的三角形.学生一旦真正掌握这节知识,便能画出无数个符合要求的三角形,这些三角形与图中三角形同底等高,面积当然相等,而形状却各不相同.因此,不是任意两个等面积三角形都能拼成一个平行四边形的.这里又一次向学生证明:面积相等,形状不一定相同.4.圆形的等积变形圆面积的推导一般编排在小学六年级的教材中,实际教学中.教师们或示范,或指导学生自己动手,有时还通过电脑演示.把一个圆剪,拼成近似的长方形,抓住”形状变了,面积158不变”的实质,从长方形面积公式推导出圆面积计算公式.这里,学生们不禁要惊叹:又是一次”等积变形”!小学数学中一次又一次出现”等积变形”,这是这类知识的自身特点,规律,用此知识也帮助我们解决了不少问题.那么”等积变形”是否还会出现,是否还能帮助我们解决其他问题呢?二,等体积变形“等积变形”中的”积”还有”体积”,”容积”的意思,体积,容积相等,形状可以不相同;形状虽然改变,体积仍然相等.1.长方体,正方体,圆柱体,圆锥体问的”等体积变形”在小学数学几何形体的体积这一节内容中,常出现这样的典型应用题:圆柱体(或其他形体)钢件熔铸成圆锥体(或其他形体)钢件;已知两个形体的体积相等,又知道一个形体的底面积(或底面半径,直径,周长)和高与另一个形体的底面积(或底面半径,直径,周长)或高,求另一形体的高或底面积(或底面半径,直径,周长).这两个形体虽然形状发生了变化,但体积大小没变,又是”等积变形”.解答这类问题,就要利用形变而体积不变这样的等量关系,用方程或算术方法解.2.长方体,正方体,圆柱体容器间的”等容积变形”在一个长4米,宽3米,深2米的水池里装满水,将这个水池里的水全部抽到一个深2米的圆柱体水池里时,水深1.5米.这个圆柱体水池的直径是多少?这道题中,液体的形状随着容器形状的改变而改变,此时.虽然水池的形状不同,但两个水池所容纳水的体积是相等的.根据其中”等容积”(所容纳水的体积)的关系,这道题也能迎刃而解.159面积,体积,容积中”等积变形”现象的频繁出现,自然会引起有心人的注意,在教师的适度强化下,绝大多数学生应该能记住”等积变形”这个含义明显而作用颇大的词语.二,推广阶段类比教材.初步形成数学思想方法现象终究是现象,仍然存在于表面,只有被重复运用多次,并且都达到了预期的目的,才能被内化成学生自己的东西,形成数学方法.如果”等积变形”仅仅描述几何形体的数量关系,那么它就没有什么特别之处了,也就不能形成数学思想方法不过我们总能在不经意处发现它的存在.一,等积(和)变形4+5=2+()18xl=()x613+98=()+52()x63=21x150359+()=641+1801.25x8=0.125x()上述两组填空题在小学数学中经常出现,其实在学生进入小学不久就已经出现过,这样的题中也蕴涵着”等积变形”思想.上述题中,要使等号两边的积(和)相等,而因(JJn)数不同,可谓”等积(和)变形”.为保证”积(和)”等,各因(加)数要做到大小搭配,即特大数乘(加)特小数,中等大小的数乘(加)中等大小的数,据此引导学生正确判断所填数的范围,加快解题速度.学生经过若干次的练习,自会体验到上述题中蕴涵的”等积变形”思想,做题时便会自觉运用.在题目”1=1.258=0.125x()=12.5x()”中,同样要求”等积变形”,这类将一个积写成不同因数相乘的形式的技巧.在小学数学的简便运算中经常要用到,学会这样变形是简便运算的重要手段,变形时也要做到大小均衡搭配.160这类”等积变形”是不是还在其他地方出现过?二,单位换算中的等量变形长度,面积,体积,容积,质量,时间等都是量,表示量的大小需要用到数和单位名称,即名数.因为只有相同单位的数才能直接计算.因此数学中经常要进行单位换算.单位换算中也存在着”等积变形”.如:1.5吨:()千克3580000毫升=()升2日=f)时2800米=()千米等号两边的数量是相等的,但是单位名称(量)不同,各单位所含有的数当然也不会一样,我们是不是也可以称之为”等积变形”数量相等而数,量各不同?当然,在进行单位换算时,首先要搞清题目中是将高级单位换算成低级单位,还是将低级单位换算成高级单位:再判断用已知数乘以进率还是除以进率,从而计算出结果.而有了“等积变形”的思想,为了保证等号两边数量的相等,必须要让数和单位名称(量)均衡搭配,即:大数(目)配小单位(名称),小数(目)配大单位(名称),明确这一精神,就能很自然地判断出括号里应该填比已知数大还是小的数,再根据正确的单位间进率就能填出结果.三,引申阶段超越教材.形成”等积变形”思想方法“等积变形”是对数学中的一些空间数量关系的描述,我们在其他知识领域也能不断地发现它的踪迹.一,物理学中的”能量守恒定律”物理学中的”能量守恒定律”指出:”自然界的一切物质都具有能量.能量既不能创造也不能消灭,而只能从一种形式转换成另一种形式,从一个物体传递到另一个物体,在能量转换161和传递过程,Pfi量的总量恒定不变”“能量守恒定律”是物理学中最基本的规律,促成了许多新技术的产生.它是”等积变形”在物理学巾的具体表现二,哲学中的”万变不离其宗”,”有得必有失”中国有句古话”万变不离其宗”,出自清朝谭献的明诗:“求夫自有体要,万变而不离其宗”,意思是内容,形式发生了变化,而实质却没有变化.以这句话反映一定的社会现象,教导一定的处世方法.”横看成岭侧成峰”,纵有千变万化,而”万变不离其宗”,随机应变是需要的,但也可以”以不变应万变”.中国还有一句俗话”有得必有失”,是指一个人在得到某些东西的同时必然会失去其他的东西.从总体上说.一个人所拥有的社会物质财富和精神财富的总量是一定的.不要因为得到而沾沾自喜,也不要因为失去而郁郁寡欢.”有得必有失”应算做哲学范畴的概念,但是否也可以用”等积变形”来形容?学生由观察发现”等积变形”这一数学现象,留心此种方法的推广应用.并自觉地应用其解决一些实际问题,主动地用