数项级数经典例题大全.docx

第十二章 数项级数1 讨论几何级数 的敛散性.解 当时, . 级数收敛;当时, 级数发散 ;当时, , , 级数发散 ;当时, , , 级数发散 .综上, 几何级数 当且仅当 时收敛, 且和为 ( 注意从0开始 ).2 讨论级数 的敛散性. 解 用链锁消去法求.3 讨论级数的敛散性.解 设 , , , . , . 因此, 该级数收敛. 4、 讨论级数的敛散性.解 , . 级数发散.5、 证明级数 收敛 .证 显然满足收敛的必要条件.令 , 则当 时,有注: 应用Cauchy准则时，应设法把式 |不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定. 6、 判断级数的敛散性. (验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、 证明调和级数发散. 证法一 (用Cauchy准则的否定进行验证) 证法二 (证明发散.利用不等式. 即得，. )注: 此例为但级数发散的例子.8、 考查级数的敛散性 .解 有 9、 判断级数 的敛散性.解 . 10、 讨论级数的敛散性. 解 因为.因此, 当时, ; 时, ; 时, 级数成为, 发散.11、 判断级数的敛散性 . 注: 对正项级数，若仅有，其敛散性不能确定. 例如对级数 和 , 均有 ，但前者发散, 后者收敛.12、 研究级数 的敛散性 . 解 .13、 判断级数和的敛散性 . 解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、 讨论 级数的敛散性.解 考虑函数0时在区间 上非负递减. 积分当时收敛, 时发散级数当时收敛,当时发散,当时, , 级数发散.综上,级数当且仅当时收敛.15、 判别级数的敛散性.解 当时, 由Leibniz判别法收敛;当时, 通项, 发散.16、 设.证明级数 和 对收敛.证 ，时，.可见时, 级数的部分和有界. 由Dirichlet判别法推得级数收敛 . 同理可得级数数收敛 .17、若收敛，证明也收敛。证明：由于收敛，因而，收敛于0，故，存在N，使得nN时， ，因而，nN时，故，由比较判别法得： 收敛。18、证明：若收敛，则收敛。证明：由于收敛，则由Cauchy收敛准则，对，存在N， 当nN时，对任意的正整数p，成立，因而， ，再次用数列收敛的Cauchy收敛准则得：收敛。19、若收敛，则发散。分析 证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。证明：由于收敛，故，因而， ，故，发散。20、判断下列具体级数的敛散性 1、； 2、；3、 ； 4、；5、 ； 6、。分析 对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为、，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n幂次或n！形式的级数常用Cauchy判别法或DAlembert判别法，更复杂的题目则需选用更精细的判别法。解、1）、， 不收敛于0，此时，级数发散；时， ，由比较判别法得收敛。 2、分析结构，发现对比级数为的形式，只需比较通项收敛于0的速度。由于对任意的p0,故 ，由比较判别法可知：发散。3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。记，则 ，故，该级数发散。4）、由通项结构为n幂次形式，采用Cauchy判别法。记，则 ，故，由Cauchy判别法知该级数收敛。5）、由通项结构可知用DAlembert判别法。记，则 ，故，该级数发散。6）、用Cauchy判别法。记，则 ，故，该级数收敛。21、判断下列具体级数的敛散性。 1）、 2）、 3）、分析 通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式 递增趋于。2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式，其中单减趋于0。在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。解：1）、从类型看，适用于第一种方法。此级数与广义积分具相同的敛散性，由于 收敛，因而由比较方法，收敛，故，该级数也收敛。2）、典型的第3种方法处理的题型。由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于时，因而， ，故此级数应收敛。上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选择，下面的方法属于直接比较法。对充分大的n，当时，故 ，且级数收敛，因而，原级数收敛。当然，用比较方法的极限形式更直接，如 由于 ，因而，原级数收敛。 注、我们选择作为对比级数，是由于结构特征分析为选择判断标准提供了依据，而数列极限的连续化处理使得我们能够利用高级的极限计算方法如LHospital法则。3）、与2）类似，当n充分大时，故收敛。或者计算方法 或者 ，都可以得到级数的收敛性。22、判断敛散性 1）、 2）、分析 典型的积分判别法处理的题型结构。解：1）、由于，因此，由积分判别法，该级数发散。2）、分析结构特点，由积分判别法 发散，故原级数发散。事实上，由于 ，故，和具有相同的敛散性，由于，因而，由积分判别法，原级数发散。 24、判断敛散性 1）、 ； 2）、；3）、。分析 这类题目较难，因为所用到的是分析学中最难的“阶”的比较或函数展开理论。注意，展开过程中选择适当的展开项。解：1）、先作“阶”的分析。由于 故级数应该收敛。验证这个事实：由于 ，且收敛，故原级数收敛。2）、类似，由于，故，该级数收敛。3）、利用函数展开则 故， ，因而，该级数收敛。25、 设，且，证明收敛。分析 这是一个正项级数，从所给条件看，需借助Taylor展开研究函数的性质，利用展开式得 我们试着从上式中分析的性质，显然 ，估计，则 ，为估计，需削去，注意到要估计的量的形式为，因此，可取xn1，由此得到一个估计式， ，注意到右端是相邻两项差的形式，由此可以得到一个和式估计， 左端正是级数的部分和，注意到函数给定的性质，至此问题已经解决。 证明：任取，在此点展开，则 ，其中在x和之间，利用条件，则 于是， ，取，xn1，则 ，因而， ，由于，故，正项级数满足， ，因而，收敛。26、给定方程，其中n为正整数，证明： 1）、方程存在唯一的正实根； 2）、对任意的p1，收敛。分析 采用标准的方法可以证明方程存在唯一的根，剩下的工作就是对根作估计，从方程中很容易得到所要求的估计。证明：1）、记，则 ，且，因而，方程存在唯一的根。 显然，根满足方程，于是， ，因而， ，由此得， 故，收敛。27、 设，讨论的敛散性。分析 研究级数的敛散性，其本质还是考察其通项是否收敛于0以及收敛于0的速度，因此，必须利用掌握的结论对通项进行结构分析，挖掘其结构特征，即用最简单直观的形式反映出通项收敛于0的特性，从而确定相关的对比级数。对本例，其结构和重要的极限公式结构类似，从而利用这个已知的结论寻找结构特点。事实上，由于有推广的结论为，其中，注意到，因而 ，至此，我们了级数的结构特征。证明过程就是利用各种技术手段验证上面的结构特征。证明：记，为考察数列的极限，将离散变量用连续变量x代替，引入相应函数 计算函数极限的有效工具就是LHospital法则，由于函数结构较为复杂，涉及到幂指函数，直接计算极限仍很困难，我们利用求导方法，考察如下的极限： ，故， ，因而， ，因此，与具有相同的敛散性，即当p1时收敛，当时发散。 注、也可以用Taylor展开式进行阶的比较：由于， ， ，因而，。28、 设正项级数发散，证明： 。分析 从所给的条件中，我们得到的信息只有，从要证明的结论形式中可以发现，此条件下的结论极限形式用Stolz定理处理。证明：记，则，因而，由Stolz定理， 。29、 如下构造数列：，证明： 1）收敛，并求其极限；2）、收敛。分析 从题型上看，问题1是用单调收敛定理来解决，问题2的解决相对简单，只需对通项进行简单的性质分析即可。证明：1）、记，则 因而，单调递增。容易验证，因此，利用上述的单调性，可以归纳证明单调递增，显然， ，因而，利用单调有界收敛定理，收敛，设其收敛于a，则 舍去负根，得。2）、由于 对级数，则其部分和 ，因此，收敛，故，收敛。30、 证明：，当时收敛，时发散。分析 我们知道发散到正无穷，因此，解决本题的关键是对此项趋于无穷的速度估计，如果我们掌握以前学习过的结论： 其中，为Euler常数，则立即可得原级数与级数同时敛散，注意到 因而，推断出：即时收敛；即时发散。有了上述的分析，具体的证明就很简单了。证明：由于 ，因而，存在，使得 ，记，则 ，因而，与同时敛散，故，时原级数收敛；时原级数发散。31、 设收敛，证明 。分析 从题型上看，似乎利用Stolz定理，但是，由于没有结论，因而，Stolz定理不可直接用。我们在从条件入手，分析进一步的信息。由条件，我们可以获得两条定量信息：、，由此条件出发，得到与结论相似的结论有：，从第二个结论稍加修改，就可以很容易证明结论。证明：记级数的部分和为且收敛于，则由Stolz定理， ，由于 于是， ，因而， 。注、也可以直接从 出发证明结论：事实上，利用形式统一法， 代入即得结论。32、 设且满足，定义，证明：绝对收敛。分析 解题的关键仍是利用微分性质对通项进分析分析。证明: 利用微分中值定理，则 其中在与之间。因而，由此递推可得 ，由比较判别法得，绝对收敛。33、 设在单调递减，收敛，证明： 。分析 从要证明的结论形式看，处理的方法应该是形式统一法，需要将右端的广义积分分割为无限和的形式，证明的关键也正是选择一个合适的分割。证明：对任意的h0, 则 ，类似的思想方法得， ，利用的收敛性和极限的夹逼定理既得结论。 下面通过级数间的相互关系讨论敛散性。34、 1）、设收敛，证明收敛； 2）、讨论级数绝对收敛性。证明：1）、分析 题目中实际给出两个条件，一个是抽象级数，另一个是具体级数，因此，证明的思路是如何利用两个已知的级数控制待研究的级数，从通项形式中可以发现，应该是从中分离出形式，常用的工具就是Cauchy不等式。由于 ，且利用积分判别法可以证明：收敛，因而，由比较判别法，则收敛。 2）、这是一个具体的级数，按常规的程序分析。首先证明原级数的收敛性。由于 ，且单调递减趋于0，因而，由Dirichlet判别法，收敛。其次，考虑绝对级数的收敛性。由于 ，类似前述证明：收敛，而发散（积分判别法），因而，发散，故，原级数条件收敛。注、上述方法是处理这类题目的典型处理方法，特别要掌握三角函数的部分和公式： ， ，因此，成立 ，。注、从上述证明中可知，收敛，而发散。我们知道，当p1时收敛，当时发散，p1是临界指标，并且我们知道，级数是否收敛和通项收敛于0的速度有关，因此，上述几个结论表明，的通项收敛于的速度不能保证级数的收敛性，分母上贡献一个因子lnn后，仍不足以保证级数的收敛性，但是，一旦这个因子的幂次大于1，级数就收敛了，因而，p1也是的临界指标。35、 证明：若与都收敛，则也收敛。分析 这是抽象级数敛散性的判别，通过已知级数和待研究级数的形式可以看出，借助部分和可以将它们联系起来，因而用定义法判别其收敛性。证明：设、的部分和分别为、，且设，则 故， ，因而，收敛。下面两个例子与例18结构相同，处理方法与例18类似。36、 证明：若收敛，且，则收敛。证明：设、的部分和分别为，则，故 ，因此，收敛。37、 设收敛且，证明：。证明：记的部分和为，则 取极限即可得到结论。 注、从证明过程中发现，除去定量关系，上述结论的逆也成立，即在条件下，若收敛，则也收敛。注、同样，在、都收敛的条件下，也收敛。下面我们研究级数更进一步的性质。例21 设正项级数发散，为其部分和，证明：发散。分析 仍是抽象级数，考虑用定义方法或Cauchy收敛准则。证明：考察其Cauchy片段 因为，故对任意n，存在p0，使得，因此，故，发散。更一般的结论是：38、 设正项级数发散，则级数当p1时收敛，当p时发散。其中仍是级数的部分和。证明：利用第16题的结论知，当时，由比较判别法，此时级数发散。下证 当p1时，收敛。事实上，由于 ， 另一方面，因而 ；另外，由于级数的部分和，因而其收敛，由比较判别法，当p1时收敛。注、当p=2时，利用下式有更简单的证明方法： 而用定义可以证明级数收敛。注、用余和代替部分和还有下述结论。39、 设是收敛的正项级数，为余和，则级数当p1时，对充分大的n，则，故，发散。当pN时， ，故， ，由比较判别法，则收敛。 42、 若绝对收敛，收敛，证明：收敛。分析 从结论形式看，要处理的级数的结构特点是：通项为乘积形式的抽象级数，我们知道处理这类级数有两个判别法，但是，结论的基础是Abel变换，因此，当不能直接由定理得到结论时，就要考虑用其思想方法了。证明：由给出的收敛条件，利用Cauchy收敛准则，则对任意，存在，当时，对任意正整数成立 ， ，利用插项法从第二个不等式得到， ；记，由于其收敛，故有界，且由于绝对收敛，不妨设，。利用Abel变换级数，时，则 又，利用插项方法， ，因而， ，于是，由Cauchy收敛准则，收敛。43、判别级数的收敛性。解：当，故因，故发散，因此原级数发散。44、判别级数的收敛性。解：因为故。由收敛，收敛。45、判别级数的收敛性。解：因为且当n充分大时 由收敛，故收敛。46、判别级数的收敛性。解：当时，由于又由于发散（易证时及时均发散），故发散。当时，取使得，则由于当n充分大时由收敛，故收敛。47级数，的敛散性有何联系？ 答：1）若与都收敛，则收敛，且；2）若与中有一个收敛有一个发散，则发散；3）若与都发散，则可能收敛可能发散例如，都发散，但收敛， 都发散，但发散48.设级数，都是发散级数，则发散吗？答：不一定，可能收敛，可能发散 例如，都发散，但收敛都发散，也发散49若加括号后的级数收敛，加括号前的级数收敛吗？答：从级数加括号后的收敛，不能推断它在未加括号前也收敛，例如收敛，而级数是发散的但级数加括号后发散，则原级数一定发散. 50级数收敛，与有什么关系？答：收敛，但发散51若级数对每个固定的满足条件，则级数一定收敛吗？答：不一定，这里说法与柯西准则有本质的不同，这里是对固定的，可找到与任给正数有关的（这里一般与还有关），使得当，有，而收敛的柯西准则有例如，级数，对每个固定的，都有 ，但级数发散.521)若和都收敛，且，则收敛吗？ 2)若和都发散，且，则发散吗？答：1) 若和都收敛，且，则收敛.由得，而收敛，由比较原则得，因此收敛.（注意比较原则适用于正项级数，不能直接由收敛得收敛）2）不一定，例如，收敛，假如还有条件，则发散，这由比较原则得到.53设为正项级数，且，则级数收敛吗？答：不一定，例如满足，但发散，因此一定要强调54如何判断正项级数的敛散性？答：1）先判断的通项的极限是否为0，若，则发散，若，则需继续判断；2）根据通项特点选取合适的方法判断正项级数的敛散性：若通项很容易找等价无穷小量就用比较原则的极限形式；若通项含有阶乘连乘次幂等因子时用比式判别法的极限形式；若通项含有次幂因子时用根式判别法的极限形式；若通项非负单调用积分判别法.若上述方法失效用比较原则（例如含等容易放缩成已知收敛的级数）或级数收敛的定义（易求部分和）.551)交错级数一定收敛吗？ 2) 若. 交错级数 是否必收敛 ?答：1)不一定，交错级数只有满足了莱布尼兹判别法的条件才收敛.例如，为交错级数，但通项极限不为0，因此发散.2) 不一定，考查交错级数 .这是交错级数 , 有. 但该级数发散 .56收敛与收敛，发散与发散有什么关系？答：收敛 收敛，发散发散，但若用正项级数的比式判别法或根式判别法判断发散，则一定发散.因为当用比式判别法判断发散时，条件，于是发散；当用根式判别法判断发散时，条件于是发散.571）绝对收敛，绝对收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？2）条件收敛，绝对收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？3）条件收敛，条件收敛，则是绝对收敛还是条件收敛？答：1）是绝对收敛，因为绝对收敛（收敛），绝对收敛（收敛），且收敛，因此收敛，即绝对收敛.2）是条件收敛，反证法，设绝对收敛，因为绝对收敛，则绝对收敛，矛盾.3）收敛，但可能绝对收敛可能条件收敛.例条件收敛，条件收敛；条件收敛，条件收敛，但是绝对收敛的.58判断一般项级数敛散性的步骤：答：1)先判断通项的极限是否为0，若通项的极限不为0，则发散，若通项极限为0，则需继续判断；2）判断的收敛性（用正项级数判别法判断）若收敛，则绝对收敛，若发散，如果是用比式判别法或根式判别法判断发散，则发散，若不是用比式判别法且不是用根式判别法判断发散，则需要继续判断；3）若是交错级数，用莱布尼兹判别法，如用莱布尼兹判别法判断交错级数收敛，则条件收敛，若的通项可分解成两个数列的乘积，用阿贝尔判别法或狄利克雷判别法，若判断收敛，则条件收敛.59对于一般项级数，如果，能否推出与具有相同的敛散性.答：不能，例如与，前者收敛，后者发散，但却有.注意：正项级数与一般级数的性质有很大的差异，对正项级数成立的结论对一般级数不一定成立.读者在学习时，一定要分清那些是关于正项级数的结论，那些是关于一般项级数的结论，注意不要把仅对正项级数成立的结论随意套用到一般级数上来.60.因为或则和同时敛散，对吗？答：不对，比较判别法的极限形式只能用于正项级数，对变号级数不能使用. 第一个级数是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，因此收敛.第二个级数虽然是交错级数，并且它的通项与第一个级数的通项是等价无穷小量，但并不满足通项绝对值单调的条件，因此不能用莱布尼兹判别法.为了研究第二个级数的敛散性，把两个级数通项之差构成第三个级数：，其中，由此可见第二个级数发散.61.设为收敛的正项级数, 能否存在一个正数, 使得: ?答：不一定. 如收敛, 而.62若为正项级数，判断下列语句是否正确，并说明理由.1)若，则级数收敛吗？2)若存在非零常数，使得，级数收敛性如何？3)设级数收敛，能否推出收敛，反之又如何？答：1）不一定：例如级数若为，则满足所给条件，但是发散. 2）正确：由于可写成，由比较法可知级数与具有同敛散性，即发散.3）正确：由级数收敛可知.故存在，当时有，从而之后恒有，故由级数收敛，知也收敛. 但反之不一定，例如，取，则发散，但是收敛.注：要掌握常见级数，例如、等级数的敛散性.63. 设级数收敛，能否推出收敛？答： 不能，例如取，收敛，但发散.64.讨论下列级数的敛散性： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）解：（1）（拿到级数先判断级数的通项是否为0）因为，则发散（2）(通项易找等价无穷小量用比较原则的极限形式)因为，而收敛（等比级数的公比）（3）（含有阶乘用比式判别法）因为，则发散（4）（含有次幂用根式判别法） 因为，则收敛(5) 因为则，因为，则收敛（6）因为（），则，因为收敛，则收敛（7）（充分大）则，因为收敛，则收敛（8）因为（），则，因为收敛，则收敛 65判断下列级数的敛散性若收敛，指出绝对收敛或条件收敛 1) ； 2）；3）证 1）先对通项加绝对值，判断（当充分大，有，且级数与前