数学分析思想在中学数学解题中的应用.doc

摘要本文从数学分析与中学数学的联系入手，通过对一些具体的实例分析，论述了极限、积分学、微分学在解决中学数学中有关于不等式与恒等式的证明、函数极值、方程根的讨论、函数的性态、几何问题等方面问题中应用. 关键词：数学分析 中学数学 极限 微分 积分AbstractThis article from mathematical analysis and the contact of elementary mathematics, through some specific examples，discusses the limits, calculus, differential calculus in the application of the Elementary Math Inequality and Identity on the evidence of extreme value function, Equation for discussion Function of state and other aspects of geometric problems. Key words: mathematical analysis elementary mathematics limit differential integral 目录前言1第一章 极限思想在中学数学解题中的应用 2第二章 一元微分学在中学数学解题中的应用 3第三章 积分法原理和方法在中学数学解题中的应用11致谢辞 14参考文献 15数学分析思想在中学数学解题中的应用前言数学分析是高师数学系中一门很重要的基础课程，它充分体现了数学的特性，具有高度的抽象性、体系的严谨性及应用的广泛性. 它既是高师数学后继课程的基础，又对中学数学具有切实的指导意义. 数学分析中包含了许多中学数学内容。另外，数学分析用极限的方法，可以居高临下地洞察各种各样的函数，了解它们之间的内在联系，掌握处理问题的统一方法. 把数学分析的思想、方法、知识应用于解决中学数学问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其是在不等式与恒等式的证明、求函数极值与切线及单调区间、方程根的讨论、研究函数的性态与作图以及解决实际问题等方便，不仅可以简化解法，而且能使问题的研究更为深入、全面. 0第一章 极限思想在中学数学解题中的应用 数学分析之所以能解决中学数学所不能解决的问题，其根本原因就是数学分析在中学数学的基础上，引进了一个新的思想方法，即极限法. 极限方法是数学分析的基础，也是数学分析解决问题贯彻始终的基本方法. 而极限又体现了这样一个哲理：稳定不变的事物是过程、运动的结果. 中学数学中遇到的问题一般都与定值、定形等有关, 即“静”的问题, 按照上述观点, 便可将其看作某种“动”的结果，从而以“动”求“静”，实现问题的解决. 在高中数学中，极限思想深入渗透到函数、数列等章节中，并且又衔接高等数学，起着承上启下的作用. 例1 如图1-1，求五棱锥各侧面顶角之和 的取值范围. 解：此题初看起来不好计算, 也没给多少己知条件，无从下手之感，试想，如果让点动起来:点与、五点之间有五根橡皮筋相连，将点从平面上提起来，即成为一个五梭锥，且提得越高, 越小，不难得出取值范围为图1-1例2 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数. 解：设的公比为，则 对上式两端取极限：当时，；当时，. 此时，即整理得，即，得. 故常数或. 第二章 一元微分学在中学数学解题中的应用2.1不等式与恒等式的证明不等式与恒等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，往往需要较高的技巧. 利用数学分析的知识和方法，例如微分中值定理、函数的增减性、极值判定法等来证明，可以简化证明过程，降低技巧性. 下面举例讨论利用函数的导数与单调性证明不等式与恒等式.例1 证明不等式：和. 证明 设，则，所以递增. 又，故，即. 设，则. 由上面已证得的结果：知，所以递增，且因即知，即. 例2 试证当时，有. 证明 当时，等式显然成立. 当时，对等式左边求导数，得到. 所以，当时，. 故. 下面举例讨论利用函数的极值方法证明不等式的方法。例3 若且是正整数，则. 证明 定义，则. 令，得驻点. 易知，当时，；当时，从而由极值的判别法知：在取极小值，所以，即. 下面举例利用函数的中值定理证明不等式。例4 设，证明：. 证明 定义，则由拉格朗日中值定理，得存在，使得，即. 又因为，所以，故. 2.2求函数的极值、切线与单调区间问题由导数的几何意义，可以很容易地求得曲线的切线，也可方便地求处函数的单调区间和极值. 这类问题也是近年来高考考查的重点. 例5 已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点做作曲线的切线，求此切线方程. 解 （1），依题意，即. 解得. 所以，. 令，得. 当时，故在上是增函数，在上是增函数；当，故在上是减函数. 由极值的判别法知：是极大值；是极小值. （2）曲线方程为. 点不在曲线上. 设切点为，则点的坐标满足. 由于，故切线的方程为.注意到点在切线上，有. 化简得，解得. 因此，切点为,切线方程为. 2.3方程根的讨论 下面例举利用闭区间连续函数的性质及单调性求解某些方程的根.例6 试证：当时，方程有唯一解，. 证明 设，则当时，因为，所以由连续函数介值定理知，在上有解，即存在，使，此外，所以在上单调递减，故方程在上只有一个根. 由结论可知，当时，的图像与直线有且只有一个交点. 关于函数的图像与直线是否有交点的问题，可以通过对方程根的讨论得到完满的解答. 例7 讨论在区间内，方程的根的情况. 解 令，由于是偶函数，且，因此方程在上没有根. 故只考虑区间. 因为，由介值定理知，存在，使得. 下面证明具有单调性. 因为当时，因此在单调递增，故在区间上，方程只有一个根. 由于偶函数的对称性得：方程在区间内有且仅有两个实根. 2.4函数的变化性态及作图函数的图像以其直观性有着别的工具所不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图像. 中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像. 这种图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态. 利用导数作为工具，可以有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图像. 一般来说，描绘函数的图像可以按一下步骤进行；（1） 求出函数的定义域，确定图像范围. （2） 判别函数是否具有奇偶性或周期性，缩小描绘图像的范围. （3） 求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能存在极限，也可能趋于无穷（此时有垂直渐近线）. 如果函数定义域是无限区间，则要讨论当无限增加时，的变化趋势，若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线. （4） 计算函数的一、二阶导数，并求解和，讨论的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表. （5） 计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标. （6） 在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘. 例8 做函数的图形. 解 定义域为. 曲线与轴的交点为. 又函数在上连续，则由闭区间连续函数的零点定理知，函数在区间内有零点，即函数图形在区间内曲线与轴有交点. 又，令，得驻点. 令得. 列表讨论如下：012000增函数极大值减函数拐点减函数极小值增函数凹凸性凹凸作图如2-1所示图2-12.5实际应用问题 利用数学分析的知识求解中学阶段习题中的某些实际问题，方法便捷，易于掌握.例9 如图2-2平地上有一条水沟，沟沿是两条长为100的平行线段，沟宽为2，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为，对称轴与地面垂直，沟深，沟中水深. （1）求水面宽；（2）现在要把这条沟改挖成界面为等腰梯形的沟，沟的底面与地面平行，两腰分别于抛物线相切（图2-3），改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？ 图2-2图2-3解 （1）如果2-4建立直角坐标系. 图2-4 设抛物线方程为，则由抛物线过点，可得. 于是抛物线方程为. 当时，. 由此可以得到，水面宽为. （2） 设切点为是抛物线弧上的一点，过点作抛物线的切线，得如图2-4所示的梯形.由于，故切线的方程为，即. 于是. 设梯形的面积为，则由于，故当且仅当，即，时，等号成立. 于是当时，取最小值，此时所挖的土最少. 当时，可求得点的坐标为，因此，要使所挖掉的土最少，改挖后的沟底的宽必须为. 第三章 积分法原理和方法在中学数学解题中的应用积分学在中学数学中的应用，最明显体现在几何问题的应用中. 在初等几何中，一些公式没有证明（如圆的面积公式），一些公式虽然给出了证明，但比较麻烦，如果应用积分的思想和方法，他们可以迎刃而解. 3.1 定积分在中学数学解题中的应用例1 求半径为的圆的周长. 解 圆周可看作由无数圆弧连结而成，每一段圆弧可用其对应的圆心角表示为：，所以圆周长：例2 求半径为的圆的面积. 解 方法一：可将圆面看作时由无数个以为圆心的同心圆的圆周连续叠加而成，所以，圆的面积可用定积分求出：. 方法二：在圆中取一个圆心角为的小扇形，把这个小扇形看作一个小三角形，弧所在的边用弧长代替边长，把半径当作这个小三角形的高，则这个小三角形的面积为：. 由定积分的意义得到圆的面积为：. 例3 求半径是的球的体积. 解 将球体看作是由无数个球心相同，半径不等的球表面连续叠加而成，由于以为半径的球表面积为：，所以求的体积可以用定积分求出：3.2 二重积分在中学数学解题中的应用例4 求半径为的球的表面积. 解 在直角坐标系中，球心在原点，半径为的球面方程为：，球面关于三个坐标面都对称，球面的面积是球面在第一象限部分面积的8倍，球面在第一卦限部分的方程是：，定义域：是圆的四分之一. 由曲线面积计算公式：，其中，；所以. 通过上面几个例子，我们不但得到了圆的周长，面积，球的表面积，球的体积公式，而且看到了它们之间的关系：,，即导数与原函数的关系，这样，既有利于对它们内在联系的认识，又便于记忆. 事实上我们还可以利用第一类曲线积分求解半径为的圆的周长，利用二重积分求解半径为的圆的面积，利用三重积分求解半径是的球的体积，利用第一类曲面积分求解求半径为的球的表面积，这里根据各类积分的意义只需要被积函数是常数1即可. 12致谢辞时光茬冉，学业即将完成之时，心中感受良多，本课题在选题及研究过程中得到鲁老师的细心指导. 鲁老师多次询问研究进程，并为我指点迷津，给予鼓励. 鲁老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时四载，却给以终生受益无穷之道. 对鲁老师的感激之情是无法用言语表达的，感谢鲁老师对我的教育培养、细心指导我的学习和论文研究，在此，我要向鲁老师深深鞠上一躬. 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，在完成论文的过程中，还有很多可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢