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大学物理练习册解答 第一章第一章 质点的运动规律质点的运动规律 1 电子受到磁力后 在半径为R的圆形轨道上 以速率v从O点开始作顺时针方向的匀速 率圆周运动 当它经过 R330cosR2OPOP 0 圆周时 求 y P O x 30 60 1 电子的位移 2 电子经过的路程等于多少 3 在这段时间内的平均速度 4 在该点的瞬时速度 解 1 R330cosR2OPOP 0 方向与x轴成60 2 R 3 4 R2 3 2 S 图 1 1 3 v3 R4 v R2 3 2 t Q 4 v33 v3 R4 R3 t OP v 方向与 x 轴成 60 4 速度 v 方向与 x 轴成 30 2 已知质点的位矢随时间的函数形式为 jtsinitcosRr rr r 式中 R 为常量求 1 质点的轨迹 2 速度和加速度 并证明其加速度总指向一点 解 1 tcosRx tsinRy 运动轨迹 222 Ryx 2 j tcosRi tsinR dt rd v rr r r rj tsinRi tcosR dt vd a 222 r rr r r 由上式可知加速度总是指向圆心 1 大学物理练习册解答 3 某质点的运动方程为jbtibt2r 2r r r b为常数 求 1 轨道方程 2 质点的速度和加速度的矢量表示式 3 质点的切向加速度和法向加速度的大小 解 1 由得轨迹方程 2 btybt2x b4 x y 2 2 jbt2ib2jbtibt2 dt d dt rd v 2 vvvv r v jb2jbt2ib2 dt d dt vd a vvv r v 3 222 y 2 x bt2 b2vvv 2 22 t t1 bt2 bt2 b2 dt d a 2 2 2 22 t 2 n t1 b2 t1 bt2 b2 aaa 4 路灯距地面高度为 H 行人身高为h 若人以 匀速度v0背离路灯行走 问人头影的移动速度为 多大 H v0 h x L 解 设人的位移为x 人影的位移为L 由几何关系 H L h xL 得 x hH H L 0 v hH H dt dx hH H dt dL v 2 大学物理练习册解答 5 质点沿半径为0 1m的圆周运动 其角位移用下式表示 2 4t 3 式中 为弧度 rad t 的单位为s 求 1 t 2s时 质点所在位置的切向加速度和法向加速度的大小 2 当 为何值时 其加速度和半径成45 0角 解 1 t24 dt d t12 dt d t42 23 Q 2 2t 222 n sm4 230 t12 RRa 2 2tt sm8 4Rt24Ra 2 当与半径成角时 a与也成 45a r 0 45 r n a 0 所以 tn aa rr 即 Rt24Rt144 4 rad 3 2 2 6 1 42t42 3 6 1 t 3 6 手球运动员以初速度v0 与水平方向成 的角度抛出一球 当球运动到M点处 它的速 度与水平方向成 角 若忽略空气阻力 求 1 球在M点处速度的大小 2 球在M点处的切向加速度和法向加速度的大小 3 抛物线在该点处的曲率半径 解 1 cosvcosv0 0 v cos cos v 2 singat r n cosgan r 3 2 n v a 3 22 0 n 2 cosg cosv a v v0 g v M 图 1 6 3 大学物理练习册解答 7 设河面宽1Km 河水由北向南流动 流速为2m s 有一船相对于河水以1 5m s的速率 从西岸驶向东岸 问 1 如果船头与正北方向成角 船到达对岸要花多少时间 0 15 2 如果船到达对岸的时间为最短 船头与河岸应成多大的角度 到达对岸时船在下游 何处 3 如果船相对于岸走过的路程为最短 船头与河岸应成多大的角度 解 1 s 2576 15sin5 1 1000 sin v t 0 l 2 因为 sin v t l 当 l 一定时 2 时间最短 km 33 1 v v vtS l 北 v船水 l L v船地 3 2 2 2222 sin v cos vv SLlll 所以 L最小 需 sin v cos vv f为最小 由 0 d df 得 0cosv v 75 0 v v cos 0 41 41 8 火车静止时 车窗上雨痕向前倾斜 0角 火车以某一速度匀速前进时 火车车窗上 雨痕向后倾斜 1 角 火车加快以另一速度匀速前进时 车窗上雨痕向后倾斜 2 角 求 火车加快前后的速度之比 解 雨车雨地雨地车雨车地 VVVVV rvrrr 0 VV 雨地 r 10 V 雨车 r 矢量合成图得 1100 cosVcosV0 雨车 1 vV r r 车地 图 1 8 1000011001 tgcosVsinVsinVsinVV 雨车 同理 200002 tgcosVsinVV 所以 20000 10000 2 1 tgcosVsinV tgcosVsinV V V 4 大学物理练习册解答 9 一升降机以加速度1 22m s 2 上升 当上升速度为2 44m s 时 有一螺帽自升降机的 顶板上落下 升降机顶板与升降机的底面相距2 74m 问 1 螺帽相对于升降机作什么运动 其加速度为多少 螺帽相对于地面作什么运动 其 加速度为多少 2 螺帽从升降机顶板落到升降机底面需多少时间 3 螺帽相对于升降机外固定柱子下降多少距离 解 1 螺帽相对升降机作向下的匀加速直线运动 升地地地升地升 aaaaa mmm rrrrr 2 m sm02 11aga 升 螺帽对地作竖直上抛运动 gam rv 地 2 取升降机参照系 向下正 2 t ag 2 1 h s71 0 22 18 9 74 22 ag h2 t 3 m74 0 71 0 8 9 2 1 71 044 2gt 2 1 tvs 22 0 螺地 10 光滑的水平面上放着三个相互接触的物体 它们的质量分别为 m1 1kg m2 2kg m3 4kg 若用 F 98N 的水平力作用在 m1上 求 1 m1 m2 m3之间的相互作用力 2 若此力F水平向左作用在m3上 情况又如何 解 1 由受力图列牛顿运动方程 3 amF 2 amFF 1 amFF 133 1232 112 2 321 1 sm14 421 98 mmm F a 方向向右 F2 F F3 F2 F3 m1 m2 m3 F2 F3 F2 F F3 m1 m2 m3 F m1 m2 m3 N 8414198amFF 112 N 56144amF 133 2 6 amF 5 amFF 4 amFF 212 2223 233 2 321 2 sm14 421 98 mmm F a 方向向左 N4214498amFF 233 N 14141am F 212 5 大学物理练习册解答 11 将质量为10Kg的小球挂在倾角的光滑 斜面上 如图所示 0 30 1 当斜面以加速度g 3 1 a 沿图示的方向运动时 求绳中的张力及小球对斜面的正压力 2 当斜面的加速度至少为多大时 小球对斜面的 正压力为零 解 1 masinNcosT N T mg mgcosNsinT 当g 3 1 a 时 N 68 4 N T 77 3 N 2 若N 0 则有 macosT mgsinT s m 17g3gctg a 12 桌上有一质量为M的板 板上放一质量为m的物体 如图所示 设物体与板 板与桌 面之间的动摩擦系数为 k 静摩擦系数为 s 1 今以水平力F拉板 使两者一起以 加速度a运动 试计算板与桌面间的相互作用力 2 要将板从物体下面抽出 至少需 用多大的力 解 1 板和桌面间的相互作用力N和f2 m F M g Mm MgNN mgN 1 1 Q g mM Nf kk2 2 设抽出板所需的力为 F 且抽出时 mM aa m1 maf m M21 MaffF M 即 Mm fFm f 2 1 m1 解 m1对地加速度为 地AA11 aaa rrr 01 aaa m2对地加速度为 地AA22 aaa rrr 02 aaa 1 aa mamgmTm 011111 2 aa mamTgmm 022222 由 1 2 得 图 1 14 21 02112 mm a mm g mm a 12 21 0 12 2 01 mm g mm a mm m2 aaa 同理 g mm mm a mm m2 aaa 21 21 0 21 1 02 7 大学物理练习册解答 15 质量为m的快艇正以速率v0行驶 当发动机关闭后 受到的摩擦阻力的大小与速度 大小的平方成正比 而方向与速度方向相反 即f kv 2 k为常数 当发动机关闭后 求 1 快艇速率与时间的变化规律 2 快艇路程与时间变化规律 3 定性地描绘x v a对t的函数曲线 解 1 由牛顿第二定律得 dt dv mkv2 t 0 v 0 v 2 dt m k v dv tv m k 1 v v 0 0 2 tv m k 1 v dt dx v 0 0 t 0 0 0 x 0 dt tv m k 1 v dx tv m k 1ln k m x 0 16 在光滑水平桌面上平放一固定的圆环 其半径为R 物体与环内侧的摩擦系数为 当 t0 0 物体的速率为v0 求 v0 R x v t t a t 1 t时刻物体的速率 2 在时间t内物体经过的路程 解 1 R v mF 2 n R mv F dt dv mF 2 nt R v dt dv 2 t 0 v 0 v 2 dt R v dv R tv 1 v tvR Rv v 0 0 0 0 2 R tv 1 v dt ds v 0 0 t 0 0 0 s 0 dt R tv 1 v ds R tv 1ln R s 0 8 大学物理练习册解答 a a 17 用两根长为a的绳子连住一质量为m的小球 两绳的 另一端分别固定在相距为a的棒的两点上 今使小球在水 平面内作匀速圆周运动 如图所示 当转速为 时 下面 一根绳子刚刚伸直 求转速为2 时 上下绳子的拉力各 为多大 解 由几何条件知 且当角速度为 时 T 0 30 2 0 sina g mgsinT cosa mcosT 2 1 2 1 T1 a T2 mg 2 mgsinTsinT 1 cosa 2 mcosTcosT 21 2 21 mg5T1 mg3mg2TT 12 18 图示为一力学装置 滑块B的质量为mB 悬块A 的质量为mA 两者用无伸长的细绳相连 所有接触 面皆为光滑 试求 滑块B和悬块A的加速度各为多 少 B A 解 对 1 amNA AxA R 2 amTgm AyAA 对 3 amNT2 B BxB 4 a2a2a AxBxAy 由 1 4 联解得 j mm5 gm4 i mm5 gm2 a BA A BA A A rr r 图 1 18 i mm5 gm2 a BA A B r v 9 大学物理习题册解答 第二章第二章 守恒定律守恒定律 1 质量为m的小球系于绳的一端 绳长为l 上端A 固定 如图示 今有水平变力F 作用在该小球上时 使小球极其缓慢地移动 即在所有位置上均处于近似力平衡状态 直到绳子与竖直方向成 角 1 试用变力作功方法计算F力的功 2 重力作功多大 解 根据力的平衡可得 cosTmg sinTF tanmgF 1 cosdtanmgcosFdssdFAF l r r 0 cos1 mgdsinmgl l 2 0P cos1 mgd sin mg 2 cos mgdssdgmA ll rr 2 地球质量M 半径R 一质量m的质点处于距地心 r 3R处 求质点地球系统在此相对 位置时的引力势能 A T F mg 图 2 1 图 2 2 1 取无穷远处为零势能参考位置 2 取地球表面为零势能参考位置 解 1 取 0Ep 则 R3R3R3 2 P R3 GMm r 1 GMmdr r Mm GsdFE r r 保 2 取 0REp 则 R R3 R R3 R R3 2 p R3 GMm2 r 1 GMmdr r Mm GsdFE r r 保 10 大学物理习题册解答 3 如图所示 一绳索跨过无摩擦的滑轮 系在质量为1Kg的物体上 起初物体静止在无 摩擦的水平面上 若用5N的恒力作用在绳索另一端 使物体向右作加速运动 当系在物 体上的绳索从与水平面成30 0角变为370角时 力对物体所作的功为多大 已知滑轮与 水平面之间的距离d 1m 解 dxcosFxdFA r r 1m 300 370 F x1 x2 O J69 1dx xd Fx 2 x 1 x 22 4 一质量为m的小球系在线的一端 线的另一端固定在墙上的钉子上 线长为 0 先将 小球拉至水平位置A处 然后放手 试求小球摆至B点处的速度 加速度以及绳子张力大 小 O l0 A T B mg 图 2 4 解 2 B0 mv 2 1 sinmg l sing2v 0 l sing2 sing2 v a 0 2 0 0 2 n l l l cosgamacosmg tt sinmg3sinmg2sinmgT v msinmgT 0 2 l 11 大学物理习题册解答 5 一根均匀链条的质量为m 总长为 一部分放在光滑的桌面上 另一部分从桌面 边缘下垂 下垂的长度为a 开始时链条静止 求链条刚好全部离开桌面时的速率 解 根据机械能守恒 设桌面为重力势能的零点 l a a 2 mv 2 1 2 mg 2 a ga m l l 22 a g v l l 6 弹簧的弹性系数为k 一端固定 另一端与质量为m的物体相连 物体与桌面的摩擦 系数为 若以不变的力F拉物体由平衡位置O自静止开始运动 求 1 物体到达最远处离平衡位置的距离 2 物体在什么位置速度最大 最大速度为多少 解 1 物体 弹簧为系统 根据功能原理得 2 max kx 2 1 x mgF k F m O x 图 2 6 k mgF 2 xmax 2 速度最大处为平衡位置 此时弹簧伸长为 0 x 0kxmgF 0 kx F fr k mgF x0 由功能原理得 0mv 2 1 kx 2 1 x mgF 22 00 km mgF v 12 大学物理习题册解答 7 A B两木块 质量分别为mA mB 并排放在光滑的水平面上 今有一子弹水平地穿 过木块A B 所用时间分别为 t1和 t2 若木块对子弹的阻力为恒力F 求子弹穿过后 两木块的速度 解 未击穿 A 时 一起运动 根据动量定理 BA mm 0v mm tF ABA1 BA 1 A mm tF v 子弹击穿 A 进入 B 后 A 保持原速 B 受力变速 m mA mB B ABBB2 vmvmtF BA 1 B 2 B mm tF m tF v 8 一质量m 10kg 的木箱 在水平拉力F的作用下由静止开始运动 若拉力F随时间变化 关系如图所示 已知木箱与地面间的摩擦系数 0 2 试从动量原理求t 4s t 7s t 6 s时的木箱的速度各为多大 解 由图可知 7t4t1070 4t030 F 4 0 4 0mvdt mgF I sm4v4 0mv710102 0 47 30 2 1 430III 7fF t s 0 4 7 F N 30 sm5 2v7 6 4 46 vv mdt10102 0t1070I sm4v6 9 雨天 大量雨滴以速率 v 落在表面积为 S 的屋顶上 已知雨滴下落方向与屋顶平面 13 大学物理习题册解答 的法线成 角 雨滴在单位体积内的雨滴数为 n 每一雨滴的质量为 m 设雨滴落到屋 顶后速率变为零 求雨滴对屋顶产生的平均正压力 解 设 M 为时间内落到屋顶的总质量 t 根据动量定理屋顶对其的冲量为 n tScosmnv cosmv Scostnv cosMv0tf 22 n Scosnmvf 22 n 屋顶受到的压力大小与 n f相同 方向相反 图 2 9 平均压力 22n cosnmv s f P 10 A B两条船 质量都为m 静止在平静的湖面上 A船上有一质量为m 2的人 以水 平速度u相对A船从A船跳到B船上 如果忽略水对船的阻力 求人跳到B船后 A船和B船 的速度 解 设为 A 船对地的速度 为 B 船对地速度 在人跳出 A 船的过程中 水平方 向无外力作用 人 A 船系统动量守恒定理 即 A v B v A 船 vu 2 m mv0 AA 得 u 3 1 vA 方向与人跳出速度方向相反 同理人跳入 B 船过程 人 B 船系统水平方向动量守恒 B 船 B v m 2 m 3 u u 2 m v 2 m 人地 得 9 u2 vB 方向与人跳入速度方向相同 11 滑块A和B的质量分别为mA mB 用弹性系数为k的弹簧相连 并置于光滑的水平面上 14 大学物理习题册解答 最初弹簧处于自由长度 质量为m0 的子弹以速度v0沿水平方向射入滑块A内 试求弹簧 的最大 压缩量 解 1 子弹击中木块 A 到他们取得共同速度为止 此时弹簧还未被压缩 1 v 子弹 A 系统动量守恒 即 1 v mm vm 1A000 2 子弹与木块 A 取得同速度到弹簧 1 v 达到最大压缩为止 这时 A B 具有共同速度 2 v 子弹 弹簧 A 和 B 系统动量守恒和机械能守恒 2 v mmm v mm 20BA10A 3 kx 2 1 v mmm 2 1 v mm 2 1 22 20BA 2 10A 由 1 2 3 解得 mmm mm k vmm x 0BA0A 2 0 2 0B 12 有两个质量分别为m1 m2的行星 开始相距为无限远处 可看作静止 由于万有引 力作用 它们彼此接近 当它们接近相距为d时 它们接近的相对速度为多大 解 m1 m2为系统 仅有保守力内力 所以系统动量守恒 机械能守恒 B A v0 m0 图 2 12 1 0vmvm 1122 2 0 d mm Gvm 2 1 vm 2 1 212 22 2 11 由 1 2 解得 d mm G2 mv 21 21 d mm G2 mv 21 12 两粒子的相对速度vr 地地地地121221 vvvvv rrrrr d mm G2 vv v vv 21 1212r 13 质量为 速率为的粒子A与另一个质量为其一半而静止的粒Kg102 7 23 s m106 7 15 大学物理习题册解答 子B发生二维完全弹性碰撞 碰撞后粒子A的速率为 求 s m105 7 1 粒子B的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角 2 粒子A的偏转角 解 cos mVcosV 2 m mV ABA 1 sin mVsinV 2 m 0 AB 2 2 A 2 B 2 A mV 2 1 V 2 m 2 1 mV 2 1 3 由 1 2 3 式得 s m1069 4V 7 B P 原长 弹 2022 0 654 0 14 质量为m1 0 2kg的框子 用一弹簧悬挂起来 弹簧伸长0 1m 今有质量为m2 0 2kg 的油灰由距离框底0 3m高处的位置自由落到框上 如图 求 油灰冲撞框子而使框向 下移动的最大距离 解 1 m2自由落体 2 m1 m2完全非弹性碰撞 3 m1 m2 弹簧 地球系统机械能 守恒 设E 0 0DEP 重 mN20 x gm kkxgm 1 1 11 1 gh2v 2 V mm vm 212 3 xxx k 2 1 kx 2 1 xx g mm V mm 2 1 2 m21 2 1m221 2 21 又 4 k gm x 1 1 5 k g mm xx 21 21 由 1 5 联立解得 m2 0 mm k ghm2 k gm x 21 2 2 2 22 2 m m3 02 0 20 102 0 x k gm xxx m 2 m2 m2 0 3m m1 VB B VA x V A 16 大学物理习题册解答 15 质量为0 05kg物体 置于一无摩擦的水平桌上 有一绳结于此物并使绳穿过桌面中 心的小孔 该物原以3rad s的角速度在距孔0 2m的圆周上转动 今将绳从小孔往下拉 使该物体之转动半径减为0 1m 该物体可视为质点 求 1 拉下后物体的角速度 2 拉力作的功 解 1 力由转轴向下拉 力矩为零 故系统 角动量守恒 2211 JJ 2 2 21 2 1 mRmR srad123 1 0 2 0 R R 2 2 1 2 2 2 1 2 2 J107 2J 2 1 J 2 1 EEA 22 11 2 2212 16 火箭以第二宇宙速度v2 2Rg沿地面表面切向飞出 在飞离地球过程中 火箭发动 机停止工作 不计空气阻力 则火箭在距地心4R的A处速度的大小和方向 解 火箭在万有引力的作用下运动 对地心的角动量守恒 图 2 15 v2 R A v 4R 0 2m sinRv4mRmv2 1 火箭 地球系统机械能守恒 R4 mM Gmv 2 1 R mM Gmv 2 1 22 2 2 2 R mM Gmg 3 由 1 2 3 联立解得 2 gR v 0 30 17 大学物理练习册题解 第三章第三章 刚体的转动刚体的转动 2m 4m A 3m m 1 五个质点的质量和分布情况如图所示 五个质点是用长 为 的四根细杆 质量可忽略 连接着 求这整个系统 绕通过A而垂直于质点系所在平面的轴的转动惯量 解 2 rmJ iiA 2m 2222 l2 m2 l2 m4 l 2 m3ml2 2 ml26 2 一飞轮直径为0 3m 质量为5Kg 边缘绕有绳子 现用恒力拉绳子的一端 使其由静 止均匀的加速 经0 5s转速达10r s 假定飞轮可看作实心圆柱体 求 1 飞轮的角加速度及在这段时间内转过的圈数 2 拉力和拉力所做的功 3 从拉动后 t 10s 时 飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度 解 1 s 1026 1 5 0 102 t 22 t 5 2t 2 1 转 2 N 2 2 N3 47 R J FJFR J 111JMA 3 s rad 1026 1t 3 s m 1089 1Rv 2 s m 1038 2Ra 252 n s m 9 18Ra 2 t 18 大学物理练习册题解 3 一固定在机轴上的皮带轮 半径R 0 5m 由电机带动皮带轮转动 皮带轮对轴的转 动惯量J 40kg m 2 皮带轮的紧边拉力T 1 1600N 松边拉力T2 700N 轮轴中的摩擦阻力 矩为M1 50N m 问当机轴空载 即不带动其他的转动部件 时 起动后需要多少时间 皮带轮才能达到转速n 600r min 解 由转动定律 JM 2f21 srad10 40 505 07001600 J MRTRT J M 根据匀加速转动 0 t 00 s 28 6 10 14 32102n t 4 一匀质圆盘 半径为R 质量为m 放在粗糙的水平桌面上 绕过其中心的竖直轴转 动 如果圆盘与桌面的摩擦系数为 求 1 圆盘所受摩擦力矩的大小 2 若盘开始角速度为 0 经多长时间圆盘会停下 解 1 取半径为 r 宽为 dr 的小圆环元 其质量为rdr2 R m dm 2 它所受的摩擦力矩为 drr R mg2 gdmrdM 2 2 f 整个圆盘所受的摩擦力矩为 R 0 2 2 ff mgR 3 2 drr R mg2 dMM 2 根据转动定律 dt d JJMf dt d mR 2 1 mgR 3 2 2 0 0 t 0 d g R 4 3 dt 0 g R 4 3 t 19 大学物理练习册题解 5 如图所示 飞轮的质量为60kg 直径为0 5m 飞轮的质量全 部分布在轮外周上 转速为1000r min 假定闸瓦与飞轮之间的 摩擦系数 0 4 现要求在5秒内使其制动 求制动力F 解 飞轮质量分布在圆周上的转动惯量为 1 mRJ 2 匀减速转动 t 0 2 t 0 0 杆对力矩之和为零 杆静止 1 o 3 0Nl ll F 121 飞轮对 O 的力矩 4 JRFr 5 NFr 由 1 2 3 4 5 得 N 314 t mR l l R t mR l l R J l l F 0 21 1 02 21 1 21 1 6 如图所示 两个鼓轮的半径分别为R1和R2 质量分别为m0和m0 两者都可视为均匀 圆柱体 而且同轴固结在一起 鼓轮可以绕一水平固定轴自由转动 今在两鼓轮上各绕 以细绳 绳端分别挂上质量是m1和m2的两个物体 设R1 0 1m R2 0 2m m0 4kg m0 10kg m1 m2 2kg 求 闸瓦 0 5m 0 75m d R2 R1 m0 m 0 m1 m2 1 当m2下落时 鼓轮的角加速度 2 两侧绳的张力 解 1 设a1 a2和 分别是m1 m2和圆柱体的加 速度和角加速度 1 amgmT 1111 2 amTgm 2222 3 JRTRT 1122 4 Ra 11 5 Ra 22 6 Rm 2 1 Rm 2 1 J 2 20 2 10 由上式解得 g RmRmJ mRmR 2 11 2 22 1122 2222 10 0220 0210 04 2 1 20 010 2 1 8 9 21 022 0 2 s rad 13 6 2 N8 208 9213 010 02gmRmT 1111 N1 1713 620 028 92RmgmT 2222 20 大学物理练习册题解 7 一飞轮的转动惯量为J 开始制动时的角速度为 0 设阻力矩与角速度的平方成正比 比例系数为k 求使角速度减少为起始时的三分之一时所经过的时间 解 由题意和转动定律得 dt d Jk 2 dt J kd 2 t 0 3 0 0 2 dt J kd 得 k J2 t 0 8 如图所示 已知质量为m 长为 的均匀细棒 可绕通过点O 垂直于棒的水平轴转 动 若将棒由水平位置静止释放 求 1 开始释放时棒的角加速度 2 棒从水平位置转到垂直位置时棒的角速度 3 棒从水平位置转到 30 0 棒的角速度与棒中心 点的切向和法向加速度 解 1 由转动定律 m 3 1 2 mg 2 l l mg l g 2 3 2 由动能定理 2 2 0 J 2 1 mg 2 1 dcos 2 mgMdA l l 图 3 8 30 l g3 J A2 3 棒 地球系统机械能守恒 l l 2 g3 J 2 1 30sin 2 mg 20 g 4 3 2 g3 2 l Ra 2 n l 20 m 3 1 30cos 2 mgl l g 4 33 l g 8 33 g 4 33 2 Rat l l 21 大学物理练习册题解 km 9 如图所示 物体质量为m 放在光滑的斜面上 斜面与水平面的倾角为 弹簧弹性系数为k 滑 轮的转动惯量为 J 半径为R 先把物体托住 使 弹簧维持原长 然后由静止释放 求 物体沿斜面 滑下距离 l 时的速度 图 3 9 解 物体 弹簧 滑轮和地球系统机械能守恒 1 kl 2 1 J 2 1 mv 2 1 sinmgl 222 2 Rv 由 1 2 得 2 2 R J m klsinmgl2 v 10 一颗子弹质量为m 速度为v 击中能绕通过中心 的水平轴转动的轮子 看作圆盘 边缘 并留在盘内 轮子质量为m0 半径为R 求 击中后轮的角速度 角 动量和转动动能 解 子弹 轮子对转轴角动量守恒 mRRm 2 1 mvR 22 0 O v 得 R m2m mv2 mRRm 2 1 mvR 0 22 0 角动量 mvR R m2m mv2 mRRm 2 1 L 0 22 0 转动动能 m2m vm mRRm 2 1 mvR mRRm 2 1 2 1 J 2 1 E 0 22 2 22 0 22 0 2 K 22 大学物理练习册题解 11 如图所示 一长为 l 质量为m0的匀质细杆可绕 水平轴O在竖直平面内转动 开始时细杆竖直悬挂 现 有一质量为m的子弹以某一水平速度射入杆的中点处 已知子弹穿出杆后的速度v 杆受子弹打击后恰能上升 到水平位置 求 子弹入射的初速度v0 v0 m v 解 设子弹初速度为v0 杆被射击后角速度为 射击时子弹 杆系统角动量守恒 1 m 3 1 2 l mv 2 mv 2 00 l l 射击后杆上升过程杆 地球系统机械能守恒 2 m 3 1 2 1 2 gm 22 00 l l 得 l g3 l g3 m3 m2 vv 0 0 12 一质量为20Kg的小孩 站在一半径为3m 转动惯量为450Kgm 2的静止水平转台的边缘 上 此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动 转台与轴间的摩擦不计 如果此小孩相对 转台以 1m s的速率沿转台边缘行走 问转台的角速度为多大 解 设此时转台的角速度为 人相对地面的角速度为 0 则有 R v 0 由角动量守恒得 0 R v JJ 0100 2 mRJ 1 s 1 1052 9 R v mRJ mR 2 2 0 2 0 23 大学物理练习册题解 0 A B O C 13 如图所示 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动 转 动惯量为J0 环的半径为R 初始角速度为 0 质量为 m的小球静止于环内A点 由于微小干扰 小球向下滑 到B点时 环的角速度与小球相对于环的速度各为多 大 设环内壁光滑 解 小球 圆环对 AC 轴角动量守恒 B 2 000 mRJ J 2 0 00 B mRJ J 1 小球 圆环和地球系统机械能守恒 取环中心水平面为零势能 2 mv 2 1 J 2 1 mgRJ 2 1 2 m 2 B0 2 00地 由于 环地环地 vvv mm rrr 3 Rvvvv 2 B 2 m 22 m 2 m 环环地环地 r 代入 2 式 Rv m 2 1 J 2 1 mgRJ 2 1 2 B 22 m 2 B0 2 00 环 得 2 0 22 00 m mRJ RJ gR2v 环 O A 14 一质量为m 长为 的均匀直棒 能绕通过点O的水 平轴在竖直平面内自由转动 此棒原来静止 现于A端作 用与棒垂直的冲量I 使此棒获得角速度 然后从竖直位 置摆到最大角度 求此冲量的量值 解 设直棒受冲击后得角速度为 由角动量原理 JIFdtdtF t 0 t 0 l ll 棒上摆过程中棒 地球系统机械能守恒 22 m 3 1 2 1 cos1 2 mg l l 得 cos1 g3 3 m I l 24 大学物理习题册题解 第四章第四章 振振 动动 1 如图为一谐振动的振动曲线 求 1 t 1s 和 t 0 5s 时刻的位相差 2 若质点质量 m 1 则此质点作谐振动的能量为多少 解 1 由振动曲线可知 x cm A A 2 0 A 1 t s 3 0t 0 2 1t 1 6 5 01 5 12 T T t 2 T tt 22 5 015 01 12 5 2 22222 m A 72 25 A T 2 1 2 1 A m 2 1 mv 2 1 E 2 质量为 10 10 3 的小球与轻弹簧组成的系统 按 3 2 t8 cos1 0 x 规律作 谐振动 式中t以秒计 x以米计 求 1 振动的周期 T 振幅 A 和初位相 2 t 1s 时刻的位相 速度 3 最大的回复力 4 振动的能量 解 1 与简谐振动标准运动方程 tcos Ax 比较得 m1 0A 3 2 s8 s25 0 2 T 2 当时 位相 1t 3 2 8 3 2 18t 速度 3 2 t8sin 81 0 tsin Av sm175 2 3 2 8sin 8 0v1 3 N63 0 8 1 01010A1010maF 2323 maxmax 4 J102 3 8 1 0 1010 2 1 mA 2 1 E 222322 25 大学物理习题册题解 3 一质点按余弦规律作简谐振动 其速度 时间关系曲线如图所示 周期 T 2s 试求振 动表达式 v m s vm 0 t s vm 2 vm 解 T 2 mm VV A 根据 sinV 2 V m m 且0V 得 6 6 tcos V x m m 4 一弹簧振子沿X轴作谐振动 已知振动物体最大位移xm 0 4m 最大恢复力Fm 0 8N 最大速度Vm 0 8 m s 已知t 0 x0 0 2m V0 0 求 1 振动能量 2 振动表达式 解 1 kAFmax Q A F k max J16 04 08 0 2 1 AF 2 1 kA 2 1 E max 2 2 0v 2 A x0t 00 为常数 1 画出该速度分布曲线 2 由v0求常数C 3 求粒子的平均速率 解 1 2 由归一化条件得 0 1dv v f 0 v 0 0 0 v C 1 v1dv0Cdv 0 v 1 C 3 0 v 0 0 0 v 0 2 v Cvdvdv v vfv 41 大学物理习题册题解 9 设容器体积为V0内盛有质量为m1和m2的两不同的单原子气体 此混合气体处于平衡状 态时内能相等均为E 求这两种分子平均速率 v1和 v2的比值以及混合气体的压力 解 RT 2 3 M m E Q m3 E2 6 1 M RT 60 1v 1 2 2 1 m m v v 又 E 3 2 RT M m PV V3 E4 V3 E2 2PPP 21 10 求上升到什么高度处 大气压强减到地面的 75 设空气的温度为 0 空气的摩 尔质量为 0 0289kg mol 解 根据玻耳兹曼分布的气压公式 RT gz mol M 0 kT mgz 0 ePePP m2300 75 0 ln 8 90289 0 27331 8 p p ln gM RT z 0mol 42 大学物理习题册题解 11 设容器内盛有质量为 m 摩尔质量为 M 的多原子气体 分子直径为 d 气体的内能为 E 压力为 p 求 1 分子平均碰撞频率 2 分子最概然速率 3 分子的平均平动动能 解 1 RT 2 6 M m EnkTP M RT8 v Q E m3 M PNd4 nvd2z 0 2 2 2 m3 E2 M RT2 vp 3 mN2 ME kT 2 3 A k 其中NA为阿伏伽德罗常数 12 一真空管的真空度为 1 33 10 3Pa 试求在 270C时单位体积的分子数及分子平均自 由程 设分子的有效直径d 3 0 10 10m 解 317 23 3 m1022 3 3001038 1 1033 1 kT P n个 m84 7 nd2 1 2 43 第七章第七章 热力学基础热力学基础 1 一定量气体吸热 800J 对外作功 500J 由状态 A 沿路径 1 变化到状态 B 问气体 的内能改变了多少 如气体沿路径 2 从状态 B 回到状态 A 时 外界对气体作功 300J 问气体放出热量多少 P 1 B 2 A 解 1 J300500800AQE 11 2 J600300300AEQ 22 V 2 1mol氢 在压强为 1 大气压 温度为 20 0C时 体积为V 0 今使其经以下两个过程达到 同一状态 试分别计算以下两种过程中吸收的热量 气体对外作功和内能的增量 并在 p V图上画出上述过程 P atm 2 353K 3 1 1 293K 2 V0 2V0 V 1 先保持体积不变 加热使其温度升高到 80 0C 然 后令其作等温膨胀 体积变为原体积的 2 倍 2 先使其等温膨胀到原体积的 2 倍 然后保持体积不 变 加热到 80 0C 解 由题意知 T1 273 20 293K T2 273 80 353K 1 J12466031 8 2 5 TT CEEE 12v12 J20332ln35331 8 V V2 lnRTAA 0 o 223 J327920331246AEQ 2 J16872ln29331 8 V V2 lnRTAA 0 0 112 J12466031 8 2 5 EEE 23 J293312461687EAQ 44 3 容器内贮有刚性多原子分子理想气体 经准静态绝热膨胀过程后 压强减为初压强 的一半 求始末状态气体内能之比 解 由绝热方程可得 1 22 1 11 PTPT 1 1 2 2 1 P P T T 所以 19 1 2 1 P P T T RT 2 i RT 2 i E E 3 4 1 3 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 4 如图所示 1mol的氦气由状态A p1 V1 沿p V图中直线变化到状态B p2 V2 设AB延 长线通过原点 求 1 这过程内能的变化 吸收的热量和对外作的功 2 气体的热容量 3 多方指数 解 1 VPVP 2 3 TT R 2 3 TC M m E 112212v P B P2 V2 A P1 V1 O V VV PP 2 1 A 1221 V P k V P V P 2 2 1 1 VPVP 2 1 A 1122 VPVP 2 VPVP 2 1 VPVP 2 3 AEQ 112211221122 2 PdVdTCdAdEdQ V 由理想气体方程得 RdTVdPPdV 又 P kV dP kdV RdTPdV2kVdVPdVVdPPdV 即 dT 2 R PdV RdT2RdT 2 1 RdT 2 3 PdVdTCdQ V 热容量 R2 dT dQ C 3 过程方程 kVP 即 kPV 1 多方指数 n 1 45 5 为测定气体的比热容比 v P C C 有时可用下面方法 将开始的温度 体积和压力分 别为T0 V0和P0的一定量气体 在一定时间内通以电流的铂丝加热 而且每次加热供应气 体的热量相同 第一次维持V0不变 此时气体达到温度T1和压力P1 第二次维持压力P0不 变 而温度变到T2 体积变到V1 试证明 001 0 01 P VV V PP 证 T TC M m Q 01VV TT C M m Q 02pp 根据题意 pV QQ 及RT M m PV 001 001 0022 0011 02 01 V p P VV V PP mR VMP mR VMP mR VMP mR VMP TT TT C C 6 某理想气体在P V图上等温线与绝热线相交于A 点 如图所示 已知A点的压强P1 2 10 5Pa 体 积V1 0 5 10 3m3 而且A点处等温线的斜率与绝热 线斜率之比为 0 714 现使气体从A点绝热膨胀至B 点 其体积V2 1 10 3m3 求 A B V1 V2 V P P1 O 1 B 点处的压强 2 在此过程中气体对外作的功 解 1 等温线的斜率 V P dV dP CT 绝热线的斜率 V P dV dP CQ 根据题意知 714 0 1 dV dP dV dP CQ CT 4 1 714 0 1 由绝热方程可得 2211 VPVP Pa1058 7102 101 105 0 P V V P 454 1 3 3 1 2 1 2 2 J5 60 14 1 1011058 7105 0102 1 VPVP A 3435 2211 46 7 试证明 1mol刚性分子理想气体 作等压膨胀时 若对外作功为A 则气体分子平均 动能的增量为 1N A A 式中 为比热容比 NA为阿伏伽德罗常数 证明 设膨胀前后的体积为V1 V2 温度为T1 T2 压强P P 105Pa 3 b 1 a c 0 1 2 V l 根据等压膨胀作功可得 TT R VV PA 1212 气体分子的比热容比 i 2i 2 i 2 2i C C V p 1 2 i 气体分子的平均动能的增量 1 N A A N 1 2 1 2 R A k 2 i TT k 2 i AA 12K 8 如图 体积为 30 升的园柱形容器内 有一能上下自由滑动的活塞 活塞的质量和厚 度可忽略 容器内盛有 1 摩尔 温度为 127 0C的单原子分子理想气体 若容器外大气压 强为 1 标准大气压 气温为 27 0C 求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少 解 设开始时气体体积 33 1 m1030V K400273127T1 0 5 1 1 1 PPa10108 1 V RT P 活塞 所以气体降温过程分两个阶段 等容降温 直至气体的压强 P2 P0 此时温度为T2放热Q1 第二阶段等压降温 直至温度 T3 T0 300K 放热Q2 由 K7 365T P P T T P T P 1 1 2 2 2 2 1 1 J428 TT R 2 3 TT CQ 1212V1 J1365 TT R 2 5 TT CQ 2323p2 总计放热 J1079 1QQQ 3 21 9 一定质量的单原子理想气体 从初始状态 a 出 47 发 经过图中的循环过程又回到状 a 其中过程 ab 是直线 试求 1 在整个循环过程中 系统对外界所作的净功 2 循环的效率 解 1 acbc 2 1 A J100 101102 2 1 35 2 AEQQ ab 吸 VV PP 2 1 TT C M m abababV J105 9 VV PP 2 1 VPVP 2 3 2 ababaabb 5 10 950 100 Q A 吸 10 图中所示为一定质量理想气体的一个循环过程的T V图 其中CA为绝热过程 状态 A T1 V1 和状态B T2 V2 为已知 试问 T AB C O V P A T1 V1 dT 0 B T2 V2 dQ 0 C V 1 各分过程是吸热还是放热 2 状态 C 的 V T 值是多少 m 已知 3 这个循环是不是卡诺循环 4 这循环的效率为多少 解 1 把 T V 改画为 P V 图 如右图所示 AB等温膨胀 吸热 等容降温 放热 BC CA绝热过程不吸放热 2 2c VV 1 1 2 1 C 1 CC 1 AA T V V TVTVT 3 不是卡诺循环 4 1 2 1 c1V V V lnRT M m TT C M m 1 Q Q 1 吸 放 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1V V V ln V V 1 1 1 1 V V lnRT V V 1 TC 1 11 1mol理想气体在T1 400K的高温热源与T2 300K的低温热源间作卡诺循环 可逆的 48 在 400K的等温线上起始体积为V1 0 001m 3 终止体积为V 2 0 005m 3 试求此气体在每一循 环中 1 从高温热源吸收的热量Q1 2 气体所作的净功 A 3 气体传给低温热源的热量Q2 解 1 气体在高温热源等温膨胀吸热 故 J1035 5 001 0 005 0 ln40031 8 V V lnRTQ 3 1 2 1 2 根据卡诺循环的效率公式可得 吸 净 Q A T T 1 1 2 J1034 11035 5 400 300 1 Q T T 1A 33 1 2 吸净 3 由能量守恒可得 放净吸 QAQ J1001 41034 11035 5AQQ 333 净吸放 或者 J1001 4 1035 5 400 300 Q T T Q T T 1 Q Q 1 35 2 1 2 1 吸放 吸 放 12 一台家用冰箱放在气温为 300K 的房间内 做一盘 13 的冰块需从冷冻室取走 的热量 设冰箱为理想卡诺制冷机 J1009 2 5 1 求做一盘冰块所需要的功 2 若此冰箱能以的速率取出热量 求所要求的电功率是多少瓦 s J1009 2 2 3 做冰块需时多少 解 1 卡诺循环制冷系数 5 6 260300 260 TT T 21 2 A Q2 J1022 3 5 6 1009 2Q A 4 5 2 2 电功率 W2 32 5 6 1009 2q dt dA P 2 3 做冰块所需要的时间 s 10 1009 2 1009 2 q Q t 3 2 5 2 49