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论文审稿 (欧可文) 矩阵乘积的特征值的性质数学与应用数学专业学生欧可文指导老师周惊雷摘要:矩阵乘积的特征问题是数值计算的一个重要组成部分,也是当前迅速发展的计算机科学和数值代数中一个活跃的研究课题。 随着计算科学的发展和并行计算机的出现,矩阵特征问题已成为大规模和超大规模计算机的主要任务之一。 本文讨论了矩阵乘积的特征值与奇异值密切相关的几个方面，以及当矩阵Hermite矩阵时它们乘积的特征值与奇异值的关系，并得到了一些有意义的结果，这些结果都是在原有的基础之上的进一步推广,最后利用原有结果，证明了两个非负定矩阵与两个矩阵乘积特征值之间的不等式，得出了一系列新的结论。 关键词Hermite矩阵，非负定矩阵，特征值，奇异值Abstract Thecharacteristics of matrix productnumerical calculationplays an important partof numericalcalculation.In addition,it isalso anactive researchsubject ofputer scienceand numericalalgebra.With thedevelopment ofputer scienceand theadvent ofparallel puting,matrix eigenproblemhave beeone ofthe chieftasks ofthe large-scale puters.scientific puting,In thispaper,some furtherproblems relatedlinear modelare discussedand getsome meaningfulresults inthe matrixtheory.Those resultsare generalizedbased onthe originalresults andalso discussthe problemofmatrixeigenvalue andsingular valuein matrixalgorithm.Key words:Hermite matrix，Positive semidefinitematrix,Eigenvalue,Singular value.0引言对于矩阵乘积的特征值研究无论是在理论上还是在应用上都有极其重要的意义，且己有大量的研究文献。 其中，主要包括两方面的工作:一方面是利用容易刻划的有界集来估计一个矩阵的特征值，;另一方面是以变分原理为基础得到的关于对称矩阵特征值的精确表达式，矩阵最小奇异值的下界估计是矩阵分析中的重要课题之一。 迭代求解线性方程组是计算数学的一个中心问题。 在迭代求解线性方程组时，往往需要估计系数矩阵的谱条件数，这就需要用到最小奇异值。 最小奇异值的下界估计在其他许多领域中也是一个极重要的课题，因而有很重要的理论和实际应用价值。 本文就原来得出的矩阵乘积的特征值与奇异值的四个结论为基础，进一步推导得出几个不等式，也对当两个矩阵为Hermite矩阵时，两个矩阵乘积的特征值和奇异值有什么关系得出几个结论，最后结合例子来证明它的优越性。 1矩阵乘积的特征值与奇异值的一些基本性质设n n?HC?，其中n n?表示复数域上n阶方阵所构成的集合。 我们把矩阵H的特征C值（如为实数）排列为1().(HnH?）把一般矩阵n n?AC?的奇异值排列为1()A.()An?对于两个非负定矩阵G与H乘积的特征值，在文献1有如下不等式:111()()G(),1,.,kkttn tttGHH kn? (1)我们把要用到的一些已知结果写成引理的形式.引理1.11设是n n?HC?厄米特矩阵，即*HH?，11.kiin?，则maxmin*11().,dim,*tkikttktHi U Ul trU HU?其中1(,.,u),1,.,n k?kttUuCuW tk?引理1.22设GH，?n n?是非负定矩阵，C11.kiin?，则11()()(G?),1,.,ttkkiitttGHH kn?引理1.33设*HHn n?C?,k k?kHC?是H的主子矩阵，则11()(),()(),1,.,ikik i?kn i?HHHH ik?引理1.43设*HHn n?C?，n k?VC?，则11*()(*)tV V?kn t?ttrV HVH?引理1.54设11.0,.0nnxxyy?，且满足11,1,.,kkiiiixy kn?则有11,1,.,kkiiiixy kn?2矩阵乘积的特征值与奇异值性质的推广.定理2.1设,n n?G HC?是非负定矩阵，11.kiin?，则111()()G()ttkkiin tttGHH?。 证明.当GH，为非负定时，GH的特征值为非负实数，且()(),1,.,iiGHHG in?设1,.,ene是G的对应于1(),.,G?()Gn?的规格化正交特征向量，即()G eiiiGe?，*ijije e?，,1,.,i jn?令?1,.,e,1,.,riwetk?,其中方括号表示里面向量张成的子空间.显然dim,1,.,ttWi tk?且1.kWW?。 对于这组tW，应用引理1.1和引理1.4(令12VG U?），便得12121212min*11()()ttkkiikttGHG HGU Ul trU G HG U?1*1()?(*),minU Ulkkn t?ttHU GU? （2）其中1(,.,u)n k?kUuC?且,1,.,ttuW tk?。 现在对于某个固定的t，因为?1,.,ttuuW?，故可扩充为规格化正交的11,.,.,tttiuu vv?，使得111,.,.,.,ttttitiuu vvWee?于是存在tti i?TC?，使得111(,.,u,.,)(,.,e)ttttiiu vveT?显然T是酉矩阵.应用引理1.3便得11(*)(,.,u)*(,.,G u)ttttU GUuu?1111(,.,u,.,)*(,.,G u,.,)tttittittiu vvuvv?11(*(,.,T)*(,.,G e)tttiiieee T?1(*T diag(),.,G?()G Tttii?()tiG?代人 (2)即得111()()G()ttkkiin tttGHH?证毕。 显然不等式 (1)是定理2.1当tit?时的特殊情形.下面再从另一个方面来推广不等式 (1)，为此先证明如下的结论.定理2.2设GH，?n n?是非负定的，C11.kiin?，则111()()G(),1,.,ttkktin ittGHHkn?证明.只需证明G,H为正定的情形，然后用连续性过渡即可.这时1H?与1122H GH都是正定的.于是应用引理1.2就得121212121111()G()()tttkkkiiitttH GHHH GH?12121111()?()()?()ttkkititttHH GHHGH?注意到111(?()()ttin i?HH?，即得111()()G()ttkktin ittGHH?证毕。 现在我们很容易得到不等式 (1)的另一种推广.定理2.3设GH，?n n?是非负定的，C11.kiin?，则111()()G(),1,.,ttkktin ittGHHkn?证明.由定理2.2显然有111.11()()G().1,.,maxi?ttkkktin iinttGHHkn?应用引理1.5即得证毕。 111.11()()G().1,.,maxi?ttkkktin iinttGHHkn?3Hermi te矩阵乘积的特征值与奇异值的一些性质设G是n阶复矩阵，()iGR?，则1()G?.()Gn?表示G的特征值的递降排序；1()G?.()Gn?表示G的奇异值的递降排序。 设G与H是Hermite矩阵，则GH?表示GH?是非负定Hermite阵。 特别地，G0?表示G是非负定阵，*G表示G的共轭转置，G?表示主对角线由G的某些特征值组成的对角阵，m n?表示m nC?复矩阵集，而m nrC?表示秩为r的m n?矩阵集。 设?1,2,.,nN=若N?，则?12,.,ki ii?，11.kiin?，G(,?)表示G的行序在?，列序在?的子矩阵，若?，则简记为()G?，若()G?非异，并记N?,则G关于?G?的Schur余记为?1/?()?(?)()?(,?)GGGGG?设G为Hermite正定阵，由文献5有11()?(/?)GG? (3)11()()?0GG? (4)引理3.12设G,H是非负定Hermite阵，11.kiin?，则11()()(G?)ttkkiitttGHH?引理3.2设G,H为n阶非负定Hermite阵，1,0in?，则11()()()G()iiGHGHGHH?证明首先111222i(GH?G)(H)iG G?G?111222i(?H)GG G?111222i(?H)GGG?11221()()GiG HG?1()()GiGH?其次，?121212122()()()()iiGHGHG HIHIHIHI?111122222i(H?I)G(HI)(HI)(HI)?1122i(H?I)G(HI)H?1212i1(H)HIG HI?1iG H?IH?G?11iGH?H?证毕。 4Hermi te矩阵乘积的特征值与奇异值的几个关系定理4.1设G为n阶Hermite正定阵,U为n l?列酉阵,即*U U=l I，?1,2,.,l?N,1tl?,则*U1G?U?(*U GU)1?0? (5)证明由 (4)式有?111()?ttlGGGGGI?111()?tGGG?1令*P(U*U)P=000lI?,其中P为n阶酉阵,则t?(*U1G?U)(*U GU)=t?1G?(U*U)G(U*U)=t?*P1G?P*P(U*U)P*P GP*P(U*U)P=t?*1*000000llIIP GPP GP?设?1,2,.,l?N,记*P GP=?,?,DDDD?D,则由文献5知*P1G?P?(*P1GP)?1D?=11(/?)*(/)?DD?其中,*表示相应的块阵,所以t?(*U1G?U)(*U GU)=t?110()?(,?)0(/?)*00(,)()00*(/)?llIDDIDDDD?=t?1(/?)()?0*0DD?=t?1/?DD?=t?11DD?（由 (3)式)故l?(*U1G?U)-(*U GU)1?=l?(*U GU)1_2(*U GU)12(*U1G?U)(*U GU)12-lI(*U GU)1_2=l?(*U GU)12(*U1G?U)(*U GU)12-l?(*U GU)1?l?(*U GU)12(*U1G?U)(*U GU)121?l?(*U GU)1?l?(*U1G?U)(*U GU)1?l?(*U GU)1?1?证毕。 这里说明,不等式 (5)推广了文献5中的不等式 (8),即本文不等式 (4),事实上,只要令U?1,.,ielie代入不等式 (5)即得不等式 (4),这里(1,2,.,)kie kl?为第ki个分量为1,其余分量全为零的列向量。 推论4.1.1假设如定理4.1,则t?(*U GU)1?t?(*U1G U)?证明t?(*U1G U)?=t?(*U1GU)?(?*U1)(G U?*U1GU)?t?(*U1GU)?+1?*U1(G U?*U1GU)?t?(*U1GU)?证毕。 定理4.2设G?n n?,H为Hermite阵,CiU为H的属于特征值()ijH?的规格化正交特征向量,1jin;i=1,2,.,k;1kn?，令?12kUU,U,U?,则t?*U()GH U?t?*U?,HG U1tn?证明令H?diag?1(j),.,()kjHH?,则(HU?11(),.,()kjjkH UH U?)U?H?从而*U(GH)U?*(U GU)H?，又有*U H?H?*U，故*U(HG)U?H?(*U GU)，所以当1tk?时,t?*U(GH)U?t?*()U GHH?=t?H?(*U GU)=t?*U(HG)U证毕。 显然,若B非负定,则由文献6知H12UU?12H?,*U H12=12H?*U从而由定理4.2立得推论4.1.2。 推论4.1.2设H为非负定Hermite阵,其余假设如定理4.2,则t?*(GH)UU=t?11*22()U HGH U?因当H为正定Hermite阵时H1?仍为正定Hermite阵,且H的特征向量仍为H1?的特征向量,故又有推论4.1.3。 推论4.1.3设G?n nnC?,H正定,其余假设如定理4.2,则t?*11U?G HU?=t?*11U?H GU?定理4.3设GH、为非负定Hermite阵,11.kiiln?,则(I)11111()()G()tttkkl i?l i?n i?ttGHH?(II)111()()G()ttkkn i?n l t?ittGHH?证明()先就GH、为正定情形证明。 设iU为G1?的属于特征值n-i+1?1G?的规格化正交特征向量,?11,.,.,llnUUUUUU?,则*U U=lI,*U U=0,且(U,U)为n阶酉阵,于是有?*111?11?,.,()nn lU GUdiagGG?diag?G?G1,.,l?1*1111*(),.,()nn l?lU G UUGUGU?111(?(),.,()nn l?diagGG?1*U GU?*11*11nU HG UU H IG U?*11*(,U U)U?U HG UU?*1*1()U HUUUU G U?*1*1*1*1()()()()UHU UGUU HUUGU?*1*1()()UHUUGU?注意对任意n阶非负定阵C及1il?,有i?*(U CU)=i?*(CUU)?i?Cl?*(UU)=i?C于是由引理3.1得*11*1*111()()()ttkkiittU HG?UUHUUGU?*1*11()(?)tkittU HUUGU?1*11()?()tkittHU GU?11*11()?()tkil t?tHU GU?1111()?()Gtkil t?tH? (6)由定理4.2及推论4.1.14.1.3得12121*1*1111()()ttkkl i?l i?ttU GHU?UG HG U?=11212*1()tkitU GHG U?1212*11()tkitU GHGU?1212*1111()()tkitUGHGU?*111()tkitU HG?U? (7)结合 （6）， （7）两式得*11111()G()()ttkkl t?l i?ittU GHU?H?1?111()?()ttkl i?n itGHH? (8)故11111()()G()ttkkl i?l t?n i?ttGHH?再就一般情形证明。 显然对?0?,G?,H?都是正定阵,由引理3.2及已证GH、为正定之情形,有21111()()G()tkl i?tGHH?11()()tkl i?tGI HI?111()?()tkl t?n i?tGIHI?11111()G()()G()ttkl t?n i?l t?n i?tHH?对上式两边令0?即得所证不等式()。 ()当GH、为正定阵时,由()的结论,111111111()()?()ttkkl i?l t?n i?ttG HGH?由此即得11()()G()ttkkn l i?n lt?ittGHH?当GH、为非负定阵时,对?0?,由?11112222HIG HIHIGIHI?，有i?(GH)=i?1122GHG?i?1122GHI G?iG H?I?=i?1122HIG HI?i?1122HIGIHI?=i?GIHI?故有?11()()()ttkkn li?n li?ttGHGI HI?1()?()tkn lt?itGIHI?1()G()()G()ttkn lt?in lt?itHH?对上式右端令0?即得所证不等式()。 证毕。 这里说明, (1)当ln?时,不等式()就是引理3.2中的不等式,故定理4.3推广了著名的Lidski不等式； （2）当GHHG?时，令H?1H?，GGH?，则由 （