2008年全国高中数学联赛加试题另解.pdf

2 0 0 8 年第1 2 期 1 5 2 0 0 8 年全国高中数学联赛加试题另解 第一题如图l 给定凸四边形A B C D 么B 么D 1 8 0 0 P 是平 面上的动点 令 以P 4 P A B C 肋 伪 P C A B 1 求证 当 尸 达到 最小值时 P A 曰 C 四点 共圆 2 设E 是 A B C 外 君7 l f I 弋F 图l 一 接圆o D 的 l 曰上一点 满足 么脚 丢么砌 又肌 此是OD 的切线 A c 扼 求 厂 P 的最小值 1 证明 如图1 作 脚7 C 船 则么B 昭7 么侧 竺一业型一 丝 C P B P B C P C 于是 曰7 船 A P c 因此 筹 器一 故解7 亏警 船7 警 注意到A B 7 彻 船7 所以 警 船 警 鄙p A B C p C A B P 8 A C 当且仅当点A 在线段船7 上时 上式等 筹 孪 器 污 号絮嚣篇盎 三訾麓 警 图3 数论中留给人们的下一个难题便是3 髫 1 问 题 当然也有人认为是哥德巴赫猜想或欧拉 正交拉丁方数或黎曼猜想 孪生素数猜想 M e r s e n n e 素数猜想 这从某个角度理 解 该问题的困难程度可想而知 参考文献 1 吴振奎 费马猜想 大定理 获证 J 中等数学 1 卿 4 2 西蒙 辛格 费马大定理 M 薛密译 上海译文出 版社 1 9 9 8 3 G L M u u 什么是下一个F 钿l a t 问题 J 余敏安译 数学译林 1 9 9 6 3 4 吴振套 吴曼 数学的创造 M 上海教育出版社 2 版 幻0 5 5 R K 盖伊 数论中未解决的问题 M 张明尧译 北 京 科学出版社 2 0 0 3 万方数据 1 6中等数学 朋 A C P D c A 肋 A C 所以 当且仅当P 为 A 曰C 的外接圆与 肋的交点时 厂 P 取最小值 以P 幽 A c 肋 2 解 如图1 延长A B 至点F i 使 B F B E m 1 设A E 3 菇 A B 2 x 职 y 曰C 3 1 1 由么嬲8 么删 易证 1 么E A 8 去么E 8 A 么 F 么F 于是 A E E F 0 3 F B E F E A 故箐二器朋罴亍悬 解得m l 舅 m 2 一3 菇 舍去 由勾股定理知么A 髓 9 伊 于是 他是 o D 的直径 即么B 9 0 0 由托勒密定理知 A C B E 七A E B C A B E c 代人相应字母表达式可得 历一1 压 即船 A c 压 于是 脑 2 脚是等腰直角三角形 因此 易证 A D C 是等腰直角三角形 所以 A D l 肋刮5 t 结合 1 知以P 二 1 0 洗毅1 重庆市舍川太和中学 4 0 1 5 5 5 第二题设 厂 x 是周期函数 r 和1 是 厂 戈 的周期且0 r n o l 0 l 1 2 且每个口 厅 I 2 都是 茗 的周期 证法l 因为r 和l 都是 厂 菇 的周期 所 以 m 丁 l m n z 也是 厂 z 的周期 1 若丁是有理数 则存在正整数s l 且 s t l 使得r 三 s 1 S 因为 s t l 所以 j m I m o l s i 构成模s 的完全剩余系 因此 存在m 0 l l l 满足 二 滓l i 汹s j 取儿 h 竿 其中 M m 滓l I 翻s 取儿 圭 一l 型I 其中 x 表示不超过实数茗的最大整数 故存在 r 专m or o n 2 一 为八并 的周期 若s 为质数 则结论成立 若s 为合数 设p 是s 的质因子 则 32 p g 一 故 g 为以舅 的周期 结论成立 2 考虑构造形如m F n 的满足题设条 件的数列 使得口 慨正 现 其中 魄 啦 Z Z i l 2 为正无理数 且为 八石 的周期 一 又丁是无理数 故不妨取死 r 由0 毗 l 不妨令m i 取负整数 且取 I i5 1 先考虑口1 由a l l m lr 知口l 为无 理数 因为o 口l 1 所以 o 一m l 寺 又 J o r l 故可取一m l 争季考虑口2 因0 口2 1 k 死 口l l 所以 击 一景 一孟 毒击 昌高斯函数簪质 知 若怠 l 则可取二m 故不妨取 死 口 即一m 去 此时 口 为无理数 且为 厂 善 周期 4 同理 可取 f 死 d 2 fn 0 3 o 舢I a v 一 由上述构造过程知 n 一 1 击k 口l 1 r 满足题意 李涛 天津师范大学数学科学学院 0 7 级研究生 3 0 0 3 8 7 7 万方数据 2 0 0 8 年第1 2 期1 7 证法2 1 略 2 用数学归纳法 i 令口l r 则口 为无理数 且口 为 以互 的周期 0 l 1 i i 假设吼为 厂 茗 的周期且为无理数 0 口I 1 因为口 l 为 厂 石 的周期r 所以 取 o I l 船k 一 l u t Z 则吼 为无理数 且为人菇 的周期 要证O 吼 l 吼 0 L 以I 一口 1 n 只需证旦 口I 士 而对给定的毗 适当调整 口必有式 成立 即存在 秽使得O 吼 l 吼 l 且 吼 为无理数 吼 为 算 的周期 综上 存在符合题意的数列 证法3 1 略 一 2 设口 r 则口 为无理数 o 8 l l 口I 为八菇 的周期 易知存在唯一的n N 使 n 7 1 口l l O 口2 为无理数 因为口 1 为 菇 的周期 所以 口 为 厂 算 的周期 且 0 2 l o I l n 么I 一 1 7 一1 口I 口l l 故0 口2 口1 1 重复上述步骤 可得到一个递减数列 满足o r 玩 一1 其中 为 满足 七一1 口 l 口 口 I O 且可 得口 儿 1 2 都为无理数 且为 厂 茗 的 周期 因此 题中所述的数列是存在的 邱国生江西赣州市第三中学 3 4 1 0 0 0 第三题设毗 0 后 1 2 j 一 20 0 8 2 悯 证明 当且仅当 吼 l 时 存在数列 茗 l I l 满足以下条件 1 O 并o 石 0 l 2 20 0 8 证明 当且 t 2 瞄 仅当 五 1 时 存在数列 靠 满足 i 0 站 1 2 i i 规 苫y t 亨在 i i i h 口 小 必要性 记最 吼 l l 2 20 0 8 I l 由口 O 矗 l 2 20 0 8 知 0 S I S 2 S 2 油 由阿贝尔 A b e l 部分求和公式及 i i i 得 扎 s 瞄 佃 s h 一五 j 将上式从第l 项加到第乃项得 nnn2 仰 咒 s 2 船 扎 雠 儿扩凡m i lf lj II l n 2 强2 叨4 是瞄 咒 瓯 咒 一咒m l 2 口t li l n 2 瞄2 I D 7 s 嘲 咒 s 扎 一虮 n 由 i i 可设石 l i 翌 扎 则 n ii l