【高考调研】2014届高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业49(含解析)理 新人教A版.pdf

1 课时作业课时作业 四十九四十九 1 一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是2 3 6 这个长方体的对角线 长是 A 2 3 B 3 2 C 6 D 6 答案 D 解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为a b c 则ab 2 bc 3 ac 6 解得a 2 b 1 c 3 故对角线长l a 2 b2 c2 6 2 圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形 则圆柱的全面积为 A 6 4 3 B 8 3 1 C 6 4 3 或 8 3 1 D 6 4 1 或 8 3 2 答案 C 解析 分清哪个为母线 哪个为底面圆周长 应分类讨论 3 已知正方体外接球的体积是32 3 那么正方体的棱长等于 A 2 2 B 2 3 3 C 4 2 3 D 4 3 3 答案 D 解析 由题意知V 4 3 R 3 32 3 R 2 外接球直径为 4 即正方体的体对角线 设 棱长为a 则体对角线l 3a 4 a 4 3 3 4 2012 新课标 平面 截球O的球面所得圆的半径为 1 球心O到平面 的距离 为2 则此球的体积为 A 6 B 4 3 C 4 6 D 6 3 答案 B 解析 设球O的半径为R 则R 1 2 2 2 3 故V球 4 3 R 3 4 3 2 5 2012 北京 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 5 B 30 6 5 C 56 125 D 60 125 答案 B 解析 根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图 如图所示 此几何体为一个底面为直角三角形 高为 4 的三棱锥 因此表面积为S 1 2 2 3 4 1 2 4 5 1 2 4 2 3 1 2 2 5 41 5 30 6 5 6 2012 湖北 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 答案 B 解析 由三视图画出几何体 如图所示 该几何体的体积V 2 3 3 7 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A 4 3 B 8 3 C 123 D 243 答案 D 解析 该几何体的高h 4 2 22 12 2 3 V 1 3 1 2 6 2 2 3 4 3 故选 A 8 2010 福建 如图是某几何体的三视图 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形 俯 视图是半径为 1 的半圆 则该几何体的体积是 A 3 6 B 1 2 C 3 3 D 4 3 3 答案 A 解析 由几何体的三视图可知该几何体是一个圆锥的一半 其底面半径为 1 高为 3 V 1 2 1 3 1 2 3 3 6 故选 A 9 将棱长为 3 的正四面体的各顶点截去四个棱长为 1 的小正四面体 使截面平行于底 面 所得几何体的表面积为 A 7 3 B 6 3 C 3 3 D 9 3 答案 A 解析 原正四面体的表面积为 4 9 3 4 93 每截去一个小正四面体 表面减小三个 小正三角形 增加一个小正三角形 故表面积减少 4 2 3 4 23 故所得几何体的表面 积为 7 3 故选 A 4 10 某四面体的三视图如图所示 该四面体四个面的面积中最大的是 A 8 B 6 2 C 10 D 8 2 答案 C 解析 由三视图可知 该几何体的四个面都是直角三角形 面积分别为 6 6 2 8 10 所以面积最大的是 10 故选择 C 11 已知一种救灾帐篷的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 单位 m 可得每个 这种帐篷的用料是 A 19 45 m 2 B 27 25 m 2 C 27 m 2 D 35 25 m 2 答案 A 解析 由三视图可知 这种救灾帐篷是一个长方体与一个直三棱柱构成的组合体 如图所示 则每个这种帐篷的用料是 2 4 2 1 5 2 1 2 2 0 5 2 4 5 2 19 4 5 m 2 12 圆台上下底面积分别为 4 侧面积为 6 这个圆台的体积为 答案 73 3 13 四棱锥P ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A 其三视图如图所示 则 四棱锥P ABCD的表面积为 5 答案 2 2 a 2 解析 依题意得知 在该四棱锥中 PA 底面ABCD PA a 底面四边形ABCD是边长 为a的正方形 因此有PD CD PB BC PB PD 2a 所以该四棱锥的表面积等于a 2 2 1 2 a 2 2 1 2 2a a 2 2 a 2 14 如图所示 在长方体ABCD A B C D 中 用截面截下一个棱锥C A DD 求棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为 解析 方法一 设AB a AD b DD c 则长方体ABCD A B C D 的体积V abc 又S A DD 1 2bc 且三棱锥 C A DD 的高为CD a V三棱锥C A DD 1 3S A DD CD 1 6abc 则剩余部分的几何体积V剩 abc 1 6abc 5 6abc 故V棱锥C A D D V剩 1 6abc 5 6abc 1 5 方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD A BCC B 设它的 底面ADD A 面积为S 高为h 则它的体积为V Sh 而棱锥C A DD 的底面面积为1 2S 高是 h 因此 棱锥C A DD 的体积 VC A DD 1 3 1 2Sh 1 6Sh 余下的体积是Sh 1 6Sh 5 6Sh 所以棱锥C A DD 的体积与剩余部分的体积之比为 1 6Sh 5 6Sh 1 5 15 已知一个圆锥的展开图如图所示 其中扇形的圆心角为 120 底面圆的半径为 1 则该圆锥的体积为 6 答案 22 3 解析 因为扇形弧长为 2 所以圆锥母线长为 3 高为 22 所求体积V 1 3 1 2 2 2 2 2 3 16 已知A 0 0 B 1 0 C 2 1 D 0 3 四边形ABCD绕y轴旋转 210 则所得 几何体的体积为 答案 35 12 解析 如图 V圆锥 1 3 2 2 2 8 3 V圆台 1 3 1 2 2 2 1 12 7 3 四边形ABCD绕y轴旋转 360 所得几何体的体积为 8 3 7 3 5 绕y轴旋转 210 所得几何体的体积为210 360 5 35 12 17 2012 江苏 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 3 cm AA1 2 cm 则四 棱锥A BB1D1D的体积为 cm 3 答案 6 解析 由已知可得 7 VA BB1D1D 2 3VA 1D1B1 ADB 2 3 1 2VA 1B1C1D1 ABCD 2 3 1 2 3 3 2 6 cm 3 18 2012 天津 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 m 3 答案 38 解析 由几何体的三视图可知 该几何体的顶部为平放的直四棱柱 底部为长 宽 高 分别为 4 m 3 m 2 m 的长方体 故组合体的体积 V 3 4 2 1 2 1 2 1 4 30 m 3 19 2012 辽宁 如图 直三棱柱ABC A B C BAC 90 AB AC AA 点M N分别为A B和B C 的中点 1 证明 MN 平面A ACC 2 求三棱锥A MNC的体积 锥体体积公式V 1 3Sh 其中 S为底面面积 h为高 解析 1 方法一 连接AB AC 由已知 BAC 90 AB AC 三棱柱 ABC A B C 为直三棱柱 所以M为AB 的中点 又因为N为B C 的中点 所以MN AC 8 又MN 平面A ACC AC 平面A ACC 因此MN 平面A ACC 方法二 取A B 中点P 连接MP NP AB 因为M N分别为AB 与B C 的中点 所以MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP NP P 因此平面MPN 平面A ACC 又因MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 2 方法一 连接BN 由题意A N B C 平面A B C 平面B BCC B C 所以A N 平面NBC 又A N 1 2B C 1 故VA MNC VN A MC 1 2V N A BC 1 2V A NBC 1 6 方法二 VA MNC VA NBC VM NBC 1 2V A NBC 1 6 20 已知六棱锥P ABCDEF 其中底面为正六边形 点P在底面上的投影为正六边形中 心 底面边长为 2 cm 侧棱长为 3 cm 求六棱锥P ABCDEF的体积 答案 2 15 解析 如图 O为正六边形中心 则PO为六棱锥的高 G为CD中点 则PG为六棱锥的斜高 由已知得CD 2 cm 则OG 3 CG 1 在 Rt PCG中 PC 3 CG 1 则 PG PC 2 CG2 2 2 在 Rt POG中 PG 22 OG 3 则 PO PG 2 OG2 5 或直接用 PO PC 2 OC2 3 2 22 5 9 VP ABCDEF 1 3S ABCDEF PO 1 3 6 3 4 2 2 5 2 15 1 2011 北京文 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的表面积是 A 32 B 16 162 C 48 D 16 322 答案 B 解析 该空间几何体是底面边长为 4 高为 2 的正四棱锥 这个四棱锥的斜高为 22 故其表面积是 4 4 4 1 2 4 2 2 16 16 2 2 2011 广东文 如图 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别 是等边三角形 等腰三角形和菱形 则该几何体体积为 A 4 3 B 4 C 2 3 D 2 答案 C 解析 由题意知该几何体为如图所示的四棱锥 底面为菱形 且AC 2 3 BD 2 高OP 3 其体积 V 1 3 1 2 2 3 2 3 2 3 10 3 2011 湖南文 如图是某几何体的三视图 则该几何体的体积为 A 9 42 B 36 18 C 9 2 12 D 9 2 18 答案 D 解析 这个空间几何体上半部分是一个半径为3 2的球 下半部分是一个底面正方形边长 为 3 高为 2 的正四棱柱 故其体积为4 3 3 2 3 3 3 2 9 2 18 4 2010 新课标全国 设三棱柱的侧棱垂直于底面 所有棱的长都为a 顶点都在一 个球面上 则该球的表面积为 A a 2 B 7 3 a 2 C 11 3 a 2 D 5 a 2 答案 B 解析 如图 O1 O分别为上 下底面的中心 D为O1O的中点 则DB为球的半径 有 r DB OD 2 OB2 a 2 4 a 2 3 7a 2 12 S表 4 r 2 4 7a 2 12 7 3 a 2 5 半球内有一个内接正方体 则这个半球的体积与正方体的体积之比为 A 5 B 6 C D 11 答案 B 解析 方法一 作过正方体对角面的截面 如图 设半球的半径为R 正方体的棱长为a 那么CC a OC 2 2 a 在 Rt C CO中 由勾股定理 得 CC 2 OC2 OC 2 即a 2 2 2 a 2 R2 R 6 2 a V半球 2 3 R 3 2 3 6 2 a 3 6 2 a 3 V 正方体 a 3 因此V半球V正方体 6 2 a 3 a 3 62 方法二 将半球补成整个球 同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体 构 成的长方体刚好是球的内接长方体 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径 设原 正方体棱长为a 球的半径是R 则根据长方体的对角线性质 得 2R 2 a2 a2 2a 2 即 4R 2 6a2 R 6 2 a 从而V半球 2 3 R 3 2 3 6 2 a 3 6 2 a 3 V正方体 a 3 因此V半球V正方体 6 2 a 3 a 3 6 6 2012 山东 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 E为线段B1C上的一点 则 三棱锥A DED1的体积为 答案 1 6 解析 由正方体的性质知B1C 平面AA1D1D E到平面AA1D1D的距离等于C到平面AA1D1D 的距离 于是三棱锥A DED1的体积即为三棱锥E AD1D的体积 也是三棱锥C AD1D的体 12 积 S AD1D 1 2 VC AD1D 1 3S AD 1D CD 1 3 1 2 1 1 6 7 2012 湖北 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 答案 12 解析 该几何体是由 3 个圆柱构成的几何体 故体积 V 2 2 2 1 12 4 12 8 如图 1 一个正三棱柱容器 底面边长为a 高为 2a 内装水若干 将容器放倒 把一个侧面作为底面 如图 2 这时水面恰好为中截面 则图 1 中容器内水面的高度是 图 1 图 2 答案 3 2a 解析 如图 1 中容器内液面的高度为h 液体的体积为V 则V S ABCh 又如题图 2 中 液体组成了一个直四棱柱 其底面积为3 4S ABC 高度为 2a 则V 3 4S ABC 2a h 3 4S ABC 2a S ABC 3 2a 故填 3 2a 9 右图所示为某几何体的三视图 其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形 侧视图是半 径为 1 的半圆 则该几何体的表面积是 13 思路 先根据三视图确定几何体的形状 并确定其几何度量 根据几何体的形状灵活选 择求解方法 解析 由俯视图可知 几何体的底面是一个四边形 结合正视图与侧视图可知 该几何体是由 底面半径为 1 母线长为 2 的两个半圆锥组成的一个组合体 其形状如右图所示 该几何体的表面由两个半圆锥所在圆锥侧面积的一半以及两个圆锥的轴截面构成 因为 这两个半圆锥的底面半径和母线长都相等 故该几何体的表面积就等于一个圆锥的侧面积与 圆锥轴截面面积的两倍之和 其中圆锥的侧面积S1 1 2 2 圆锥的轴截面 PAB中 AB 2 PO 2 2 12 3 故其面积S2 1 2 AB OP 1 2 2 3 3 所以该几何体的表面积为S S1 2S2 2 2 3 故填 2 2 3 点评 本题的难点在于根据几何体的三视图确定空间几何体的结构特征 解决此类问题 应从俯视图入手 先确定几何体的底面形状 然后根据主视图与侧视图确定其顶点或上底面 并根据三视