张宇1000题(最新版)概率论与数理统计习题详解.pdf

第三编 概率论与数理统计 1 答案 A 解 若BA 则 ABA ABB 2 答案 C 解 因为不可能事件发生的概率为零 但概率为零的事件未必是不可能事件 例如 设 0 1 XN 则 0 0P X 但 0X 即 0X 不是不可能事件 故选 C 3 答案 D 解 根据独立事件 A B 满足的公式 P AB P A P B 验证即可得出答案 4 答案 C 解 P ABP ABP AP AB 5 答案 C 解 由题设知 P ABP B A P A P AB P A BP A B P BP BP B P B A P AP B A P A P BP B 故不能判定 P A B与 P A B之间的关系 因此不选 A 或 B 由 BABABABAB UI及 P B AP B A 知 P BP ABP ABP A P B AP A P B A P AP AP B AP B A 故 P ABP A P B AP A P B 即应选 C 6 答案 D 解 A B互不相容 即 A B同时发生的概率为 0 也就是 0P AB 可知选项 D 7 答案 D 解 A表示甲种产品畅销并且乙种产品滞销同时发生 所以A表示甲种产品滞销或乙种产 品畅销 8 答案 B 解 1P CP ABP AP BP ABP AP B U 9 答案 A 解 这是当年的实考题 四个选项都不正确 设随机变量X服从 0 1上的均匀分布 记 13 0 0 24 AXBX 则 1 0 2 1 1 0 2 PX P AB P B A P A PX 故 A C D 都不对 且 1 1 2 A 于是 13 1 4124 0 11 22 1 2 P P BA P B A P A P 故 B 也不对 10 答案 D 解 11P A BP A BP A BP A BP A B 1 1 P ABP ABP AP AB P ABP BP AP ABP B P BP BP B P ABP A P B 11 答案 B 解 将 1212 PAABP A BP A B 两边同乘以 P B即得 B 式 12 答案 B 解 P AP ABP B P A BP A B 13 答案 B 解 因为 A B C相互独立 所以 A B C相互独立 故ABAB 与C相互独立 类 似分析可知AB 与C AB与C相互独立 从而 A C D 均不正确 本题似应附加条件 0P A 才能得到AC与C不相互独立这一结论 这是因为当 0P A 时 1 P ACP ACCP CP ACP C I 此时AC与C也相互 独立 当 0P A 时 由 1OP C 知 1OP AC 所以 1OP AC I 故AC与C不相互独立 14 答案 C 解解解解 P A1 1 2 P A2 1 2 P A3 1 2 P A4 1 4 P A1A2 1 4 P A1A3 1 4 P A2A3 1 4 P A1A2A3 P 0 于是 P A1A2 P A1 P A2 P A1A3 P A1 P A3 P A2A3 P A2 P A3 但 P A1A2A3 P A1 P A2 P A3 故 A1 A2 A3两两独立 但不相互独立 选 C 15 答案 B 解 由 xx 有 0 0 1 2 x dxx dx 和 0000 aaaa x dxt dtt dtx dx 所以 0 00 1 2 aaa Fax dxx dxx dxx dx 16 答案 A 解 由题设 应有 lim1 x F x 又 12 lim x aF xbFxab 故1ab 经检验知应选 A 17 答案 C 解 1 11 1P XYP XYP XY 1 1111 2 P XP YP XP Y 18 答案 B 解 2 2 2 2 2 2 2 4 11 22 2 x x f xee 即 2 2 2 XN 故当 12 2 22 ab 时 0 1 YaXbN 应选 B 19 答案 D 解 32329444DXYDXDYD XD Y 20 答案 B 解 XY 服从 1 2N 根据正态分布的性质可知选项 B 正确 21 答案 B 解 由 1EXnp DXnpp 得方程组 2 4 11 44npnpp 解方程组即得6 0 4np 22 答案 B 解 E XYE X E Y 充要条件 X Y不相关 E XYE X E Y 充分条件 X Y独立 23 答案 D 解 2 222 EXDXEX 2 222222222 2222E XCE XXCCEXCEXCEXCCCC 2 2 C 根据方差的定义 2 2 E XDX 24 答案 A 解 用 代表标准正态分布 0 1N的分布函数 有 1 11 4 X pP 2 11111 55 YY pPP 由于 111 所以 12 pp 25 答案 C 解 111 X P XP 123 1111 1 69183 11 2 33 111 2918 Y X 由于当2y 时 20Py 当2y 而 1 0 0 0 x X ex Fx x 所以 0 0 1 02 1 2 y Y y Fyey y 从而 Y Fy只有一个间断点 故应选 D 31 答案 C 解 i EX 由大数定律及依概率收敛的性质 知n 时 p X 2 222222 1 1 n p iiii i XEXEXDX n 所以 2 22 1 1 n p i i XX n 即 2 2 1 1 n p i i XX n 可得 2 2 1 1 1 n p i i XX n 即 22 p S 故 p S 32 答案 B 33 答案 D 解 33 3 P XYXP YX 0E YXEYEX 921 3 44 D YXDYDX 由切比雪夫不等式 21 5 4 3 1 912 P YX 应选 D 34 答案 A 解 1 EX 所以 1 X是 的无偏估计 应选 A 35 答案 D 解 因为方差已知 所以 的置信区间为 2 2 XuXu nn 二二二二 填空题填空题填空题填空题 36 答案 1 0 3 解 若 A B 互不相容 则AB 所以 0P AB P ABP AP B U 则 0 70 4P B 2 答案 0 5 解 若 A B 相互独立 则 P ABP A P B P ABP AP BP A P B U 则 0 70 40 4P BP B 37 11 n p 1 11 nn pnpp 38 答案 53 120 20 53 解 i H表示 取出的是第 i 个箱子 i 1 2 3 A 表示 取出的是白球 则有 123 1 3 P HP HP H 123 115 528 P A HP A HP A H 由全概率公式得 123 53 120 P AP A P A HP A P A HP A P A H 2 2 20 53 P H A P HA P A 39 答案 2 5 解 令B 第一人取得黄球 则B 第一人取得白球 A 第二人取得黄球 据 全概率公式 20 1930 202 50 4950 495 P AP B P A BP B P A B 40 答案 1 3 解 设事件A在一次试验中出现的概率为 01pp 则有 319 11 27 p 从而 解得 1 3 p 41 答案 0 7 解 0 8 0 5 P ABP AB P B A P A 得 0 4P AB 0 50 60 40 7P ABP AP BP AB U 42 答案 0 75 解 设 A 甲击中目标 B 乙击中目标 C 目标击中 0 60 50 6 0 50 8P CP ABP AP BP AB U 0 75 P ACP A P A C P CP C 43 答案 0 3 解 0 40 30 60 1 P ABP AP BP AB 因为 AA BBABAB 故 0 40 10 3 P ABP AP AB 44 答案 7 12 解 P ABCP AP BP CP ABP BCP CAP ABC UU 111115 00 4446612 57 1 1212 P ABCP ABC UU 45 答案 1 4 解 P ABCP AP BP CP ABP BCP CAP ABC UU P AP BP CP A P BP B P CP C P A 29 33 16 P AP A 解得 1 4 P A 46 答案 1 6 解 i A表示 第 i 次取得是次品 i 1 2 则有 112121 211512 1 126661111 P AP AP A AP A A 由全概率公式得 2121121 1 6 P AP A P A AP A P A A 47 答案 1p 解 由 1P ABP ABP ABP AB 11P AP BP ABP AP BP AB 得 11P BP Ap 48 答案 3 7 解 1 H表示 抽取得是 A 产品 2 H表示 抽取得是 B 产品 A表示 A 产品是次品 B表示 B 产品是次品 C表示 产品是次品 则有 1212 60 40 1 2 P HP HP A HP B H 由全概率公式得 1122 60 1 40 2 1 4 P CP HP A HP HP B H 0 0063 0 0147 P A C 49 答案 2 3 解 独立重复试验 至少命中一次的对立事件是四次都没有命中 四次都没有命中的概率是 4 4 80112 11 818133 所以该射手的命中率为2 3 50 答案 0 6 解 由 0 3P ABP AABP AP AB 得 0 30 70 30 4P ABP A 故 P AB 0 6 51 答案 11260 解 古典概型 概率 11 7 1260 2 2 52 答案 5 8 解 P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC UU 11115 000 44488 53 答案 2 3 解 记事件 i A 取出的产品为第 i 等品 1 2 3i 则 123 A A A互不相容 所求概 率为 11 112 1212 0 62 0 60 33 P AP A p A AA P AAP AP A U U 54 答案 11 24 解 用 i A表示事件 第i个零件是合格品 则 11 1 111 ii i P AP A iii 所求概率 123123123 2P XP A A AP A A AP A A A 123123123 P A P AP AP A P AP AP A P AP A 1 2 31 1 31 2 111 2 3 42 3 42 3 424 55 答案 1 5 解 用 A B分别代表取出的第 1 和第 2 件为正品 则所求概率为 1 P A B P A B ABP A BP AB P AB UU 22 64 22 1010 14 36 5 11 10 910 95 AA AA 56 答案 17 25 解 用X和Y分别表示随机抽取的两个数 则 01 01XY X Y取值的所有可能结果 即样本点全体 对应的集合为以 1 为边长的正方形 其面积 为 1 事件 6 5 XY 对应图 10 1 中阴影部分A A的面积为 2 1 417 1 2 525 57 答案 11 2 解 半圆 2 02yaxx 59 答案 1 1 2 解 将 f x改写为 2 2 11 exp 12 1 2 2 2 x f x 可见X服从正态分布 1 1 2 N 所以 1 1 2 E XD X 60 答案 1 1 2 解 2 lim 11 2 x FA 1 6662 PxFF 61 答案 x 1 1 3 P Xx 0 4 0 4 0 2 解解解解 由公式 000 00P XxF xF x 算出 10 400 4 10 80 40 4 31 0 80 2P XP XP X 62 答案 9 64 解 3 YBp 其中 1 2 0 11 2 24 pP Xxdx 故 2 2 3 139 2 4464 P YC 63 答案 1 1 6 e 解 eXPeeXPXPXP 2 2 1 0 1 2 由 2 4 1 XPXP 知 eee 2 2 即 012 2 解得 1 故 1 6 1 3 eXP 64 答案 0 9876 解 10 0 1 0 02 X N 65 答案 1 0 2 1 1 0 2 x x ex ex 解 0 x 11 22 xx tx F xf t dte dte 0 x 0 0 111 1 222 xx ttx F xf t dte dte dte 66 答案 4 解 324E ZE X 67 答案 1 6 01 10 110E Xxx dxxx dx 01 222 10 1 11 6 E Xxx dxxx dx 2 2 1 6 D XE XE X 68 答案 4 3 解 22 00 14 1 33 Xxxx E Xexe dxee dx 69 答案 1 4 y 解 2 0 2yxx 的反函数 04xyy 111 02 222 YXX fyfyyfyy yy 即 1 04 4 Y fyy y 040 50 30 2P xP x 79 答案 1 4 解 区域D的面积为 2 2 1 1 ln2 e e dx Ax x 故 X Y的联合概率密度为 1 2 0 x yD f x y other X Y关于X的边缘概率密度为 1 2 2 0 11 1 1 2 2 0 0 x X xedyxe fxf x y dyx otherother 故 1 2 4 X f 80 答案 1 解 由题设知 0 1 2 k P Xkek k L 且 2 22 E XD XE XD XE X 又 222 123232321EXXE XXE XE X 由此 1 81 答案 1 1 1 1 ln n i i x n 解 似然函数为 11 1 1 1 n n nin i L xxxxx LL 1 lnln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 1 n i i dLn x d 解似然方程得 的极大似然估计为 1 1 1 1 ln n i i x n 82 答案 4 804 5 196 答 4 8 5 2 也对 解 设样本为 12 n XXXL 2 1 1 n i i EXDXXX n 则 2 E XD X 由中心极限定理知 当 n 充分大时有 0 1 X UN n 于是 1 2 1PXu n 即 的置信度近似为1 的置信区间是 11 22 XuXu nn 83 答案 1 X tn n Q 解 由题意可知 2 XN n 所以 0 1 X N n 又由 2 2 2 22 1 1 1 n i i Q XXn 2 Q与X相互独立 故由 t 分布构成得 2 2 1 1 X n t n Q n 当 0 H成立 即0 时 成 11 X n nt n Q 84 答案 4 412 5 588 解 由题意知 2 0 9 9 XN 则 0 1 0 09 X N 故 0 9750 9750 975 0 950 30 3 0 09 X PuP XuXu 85 答案 t 9 解 由于 0 1