时间序列分析在金融市场价格波动分析中应用.doc

B题 金融市场价格波动分析摘要本文基于模型以及模型结合数据图法，自相关函数检验法，差分法，借助软件和软件建立数学模型，针对金融市场特性与走势并检验金融指数序列的平稳性及波动性，分析不同金融市场的风险并进行拟合与预测，并对不同金融市场的波动溢出等问题进行了检验与分析，最后给出了结论。对于问题一，我们直接运用数据图法对纽约道琼斯指数进行分析。通过运用软件编程得到2012年纽约道琼斯连续两百天的收盘指数时序图，得出道琼斯指数呈现循环上升下降的特性，总体呈现上升的走势。 对于问题二，我们运用模型与自相关函数检验法对道琼斯指数进行指数序列的波动性及平稳性检验。通过建立模型并结合给出了波动性检验表，最后得出了过去的波动对未来的影响是逐渐减小的结论。运用自相关函数检验法，用程序得出道琼斯指数序列的自相关图，通过对自相关图的分析，我们得出金融时间序列存在一定的非平稳性。对于问题三，我们运用差分法对道琼斯价格指数进行平稳化处理和白噪声检验。我们先对先对时间序列进行一阶差分运算，然后用画出时序图，判断出经过一阶差分后的时间序列为平稳的，并且用自相关函数检验法进行检验再次验证了一阶差分后的时间序列为平稳的，即完成了平稳化处理。对于问题四，我们建立模型通过程序对道琼斯价格指数与上证指数进行拟合，然后进行了模型的适应性检验、参数的显著性检验和残差的白噪声检验并且都通过了，最后对两个股市指数进行了未来五个时刻的预测并且给出了区域，预测效果比较好。 对于问题五，我们运用模型通过对道琼斯股市和上证股市两个市场的波动是否存在波动溢出进行了分析。通过对提取的条件方差GARCH01和GARCH02进行因果检验最后得出了两个股票市场不存在明显的溢出效应的结论。关键词：金融指数 自相关函数检验 差分法 模型 模型 因果检验1. 问题重述2008年全球金融危机昭示了金融市场价格波动的严重后果。金融时间序列收益率序列的波动是动态变化的，是不可知，或可知但不可测。不同金融市场的波动还存在波动溢出。请收集不同金融市场的指标数据（如上海、深圳、新加坡、纽约等地的股市指数）进行如下建模与分析：1、 单个分析金融市场的特性与走势 2、分析与检验金融指数序列的平稳性及波动性3、根据价格波动性，进行平稳化处理4、分析每个市场的风险，并进行拟合和预测5、请讨论多个不同金融市场之间的波动溢出问题二问题分析针对问题一，题目要求我们单个分析金融市场的特性与走势。首先我们选取纽约金融市场道琼斯指数2011-2012年连续200天的收盘价格指数，然后运用SAS软件做出时序图。针对问题二，题目要求我们分析检验金融指数序列的平稳性及波动性。首先运用模型，通过SAS软件绘出道琼斯指数日收益率图，通过对图形的分析，得出金融时间序列收益率的波动性特点，然后运用自相关函数检验法，用SAS程序得出道琼斯指数序列的自相关图，通过对图形的分析及可以得出金融指数序列的平稳性特点。 针对问题三，题目要求我们根据价格波动性，进行平稳化处理。通过对道琼斯价格指数序列进行差分运算，实质是使用自回归的方式提取确定性信息，并用SAS绘制出时序图，通过对图形的分析可以看出序列是否已经处理平稳，若未平稳，则进行下一阶差分运算，知道平稳为止，然后运用自相关函数检验法进行平稳性检验。 针对问题四，题目要求我们分析每个市场的风险并作出拟合和预测，我们建立模型通过SAS程序对道琼斯价格指数与上证指数进行拟合，然后进行了模型的适应性检验、参数的显著性检验和残差的白噪声检验，最后对两个股市指数进行了未来五个时刻进行预测。 针对问题五，题目要求我们讨论多个不同金融市场之间的波动溢出问题。我们运用模型通过Eviews对道琼斯股市和上证股市两个市场的波动是否存在波动溢出进行了分析。通过对提取的条件方差GARCH01和GARCH02进行Granger因果检验。3. 模型假设1. 假设选取的数据时间段内国际金融市场均没有发生重大的波动（如：金融危机）。2. 假设选取的数据特性与走势与国际金融市场正常情况下数据相符合。3. 假设数据的来源均比较准确。4 符号说明符号表示符号说明rh道琼斯指数收益率rz上证指数收益率收益率残差序列p自回归阶数d差分阶数q移动平均阶数五、模型的建立与求解5.1 问题一：单个分析金融市场的特性与走势5.1.1 数据来源及预处理我们在网上找到了2011-2012年同时期的连续两百天纽约道琼斯收盘指数数据和上证收盘指数数据（见附录1），并以此来分析研究金融市场中股票指数的特征、走势、平稳性、波动性、拟合预测及波动溢出等问题。5.1.2 模型建立从统计意义上来看，所谓时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后次序排列而成的数列。这种数列由于受到各种偶然因素的影响，往往表现出某种随机性，彼此之间存在着统计上的依赖关系。我们可以通过对时间序列的研究来认识所研究系统的结构特征，揭示其运行规律，进而用以预测，控制其未来行为，修正和重新设计系统，使之按照新的结构运行。问题一是让我们单个分析金融市场的特性和走势，在此我们可以直接用数据图法。数据图法是将时间序列在平面坐标系中绘出坐标图，根据图形直接观察序列的总趋势和周期变化及异常点、升降转折点等。数据图法具有简单直观，易懂易用等优点，但也有获取的信息少且肤浅，需要相当丰富的经验，分析结构的主观性较大等缺点。我们用SAS编程（见附录2）画出道琼斯指数时序图，如图5.1图5.1 道琼斯指数时序图 由上图可以看出道琼斯股票指数在t=12左右达到最低，然后一路上升在t=85与t=120之间一直都很高，但其中又一次下降但又上升。在t=120之后股票指数又开始下降并在t=145是下降基本与起始时刻持平然后又缓缓上升一度到达t=85到t=120期间时刻的水平。总体呈上升趋势，但其中波动较大，也可以看出股市的变化无常。可以算出所选取的200个数据的数据特征包括最大值、最小值、均值和标准差如表5.1表5.1 道琼斯指数数据特征NMinimumMaximumMeanStd.Deviation20011231.9413279.3212674.89444.465.2 问题二：分析与检验金融指数序列的波动性及平稳性5.2.1 分析检验金融指数序列的波动性5.2.1.1 GARCH模型概述 P阶自回归条件异方程ARCH(p)模型，其定义由均值方程（5-1）和条件方程（5-2）给出： （5-1） （5-2） 其中，表示t-1时刻所有可得信息的集合，为条件方差。方程（5-2）表示误差项的方差由两部分组成：一个常数项和p个时刻关于变化量的信息，该信息用前p个时刻的残差平方表示（ARCH项）。广义自回归条件异方差GARCH(p，q)模型可表示为： （5-3） （5-4） 5.2.1.2 道琼斯指数收益率波动分析1、描述性统计 我们用Eviews得到道琼斯收益率rh的描述性统计量，如图5.2所示。观察这些数据可以发现：样本期内道琼斯收益率均值为0.0354%，标准差为0.9189%，偏度为0.4206，峰度为5.6496，远高于正态分布的峰度值3，说明收益率具有尖峰和厚尾特征。Jarque-Beva正态性检验也证实了这一点，其统计量为64，说明在极小水平下，收益率显著异于正态分布。图5.2 道琼斯收益率rh的描述性统计量2、 平稳性检验 对收益率rh进行ADF单位根检验，选择之后4阶，带截距项而无趋势项，得到如图5.3结果。图5.3 rh的ADF检验结果在1%的显著水平下，道琼斯收益率拒绝随机游走的假说，说明是平稳的时间序列数据。3、 均值方程的确定及残差序列自相关检验1） 通过对收益率的自相关检验。我们发现道琼斯收益率自相关序列截尾，如图5.4所示。所以认为不存在在自相关。图5.4 道琼斯收益率rh自相关检验2） 对残差平方做线形图图5.5 rh残差平方线形图 从图5.5可以看出，的波动具有明显的时间可变性和集簇性，适合用GARCH类模型来建模。3） GARCH(1，1)模型的估计结果用Eviews给出的结果如图5.6所示。图5.6 道琼斯收益率GARCH(1，1）模型的估计结果 可见，道琼斯指数收益率条件方差方程中ARCH项和GARCH项大致是显著的，表明收益率序列具有显著的波动集簇性。ARCH项和GARCH项系数之和为0.94，小于1。因此GARCH（1,1）过程是平稳的，其条件方差表现出均值回复，即过去的波动对未来的影响是逐渐减小的。5.2.2 分析检验金融指数序列平稳性5.2.2.1 时间序列平稳性原理我们研究时间序列的目的，就是要寻找其发展的规律，当然希望时间序列具有一定的平稳性。所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。直观上，一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上，有两种意义的平稳性，一是严格平稳，另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位移无关。设为一随机过程，为任意正整数, 为任意实数，若联合分布函数满足： 则称为严格平稳过程，它的分布结构不随时间推移而变化。 弱平稳是指随机过程的期望、方差和协方差不随时间推移而变化。若满足以下三条件： ， 则称为弱平稳随机过程。需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系：只有具有有限二阶矩的严平稳过程，才是弱平稳过程；弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，即它并没有规定分布函数的性质，所以弱平稳并不一定属于严平稳。5.2.2.2 平稳时间序列的意义 时间序列有可列多个随机变量，而每个变量只有一个样本观察值。我们要运用数理统计方法对之进行推断，就毫无办法。因为数理统计在对总体进行推断时，是从一个总体，也就是一个随机变量中抽取若干个样本观测。而时间序列有可列多个变量，每个变量在观察的历史进程中都只出现一次。如果时间序列不平稳，就其均值来说，也就是每个都不相等，而每个都在只能用一个观测去估计，这样做效果肯定不佳。但是如果时间序列是平稳的，就可以将这可列个不同的随机变量看作相同的总体，他们的观测值就可以看作从同一个总体中抽出的样本，从而可以利用经典的数理统计方法进行处理。5.2.2.3 分析检验时间序列平稳性 一个零均值平稳序列的自相关函数要么是截尾的，要么是拖尾的。因此，如果一个时间序列零均值化以后的自相关函数出现了缓慢衰减的情况，则说明序列可能存在某种趋势或周期性。 在这里我们用自相关函数检验法检验时间序列的平稳性。用SAS程序求出道琼斯指数序列的自相关图（程序见附录3）如图5.7所示。图5.7 道琼斯指数自相关函数图 从图5.7中序列的自相关图可以看出自相关函数缓慢衰减，说明时间序列存在一定的非平稳性。5.3 问题三 根据价格波动性进行平稳化处理5.3.1 差分运算的实质 差分法是时间序列分析中用来消除非平稳性的最常用的方法，我们用差分法对道琼斯价格指数进行平稳化处理。根据Cramer分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：，为一个零均值白噪声序列。离散序列的d阶差分就相当于连续变量的d阶求导，显然，在Cramer分解定理的保证下，d阶差分就可以将中蕴含的确定性信息充分提取，使序列修匀。我们通过d阶差分就可以将多项式转化为常数，即，c为某一常数。展开1阶差分，有等价于 这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它使用延迟一期的历史数据作为自变量来解释当期序列值的变动情况。差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息。5.3.2 模型求解 我们先对时间序列进行一阶差分运算，然后用SAS画出时序图（程序见附录4），如图5.8所示。图5.8道琼斯指数经过一阶差分后的时序图 从图5.8可以看出经过差分后的时序图的观察值围绕均值上下波动，可以大致判断经过一阶差分后的时间序列为平稳的。我们依然用自相关函数检验法检验其平稳性（程序见附录5），得到自相关函数图，如图5.9所示。图5.9 经过一阶差分的道琼斯指数自相关函数从图5.9中序列的自相关图可以看出自相关函数快速衰减，说明经过一阶差分后的时间序列是平稳的，即完成了平稳化处理。5.4 问题四 分析每个市场的风险并进行拟合和预测 分析道琼斯股票指数市场风险并进行拟合预测 差分运算具有强大的确定性信息提取能力，许多非平稳序列差分后会显示出平稳序列的性质（如问题三所分析的那样），我们称这个非平稳序列为差分平稳序列。对差分平稳序列我们用模型进行拟合预测。5.4.1 模型 模型的结构为对d阶其次非平稳而言，是一个平稳序列，设其适合模型，即，或者，其中，则上述模型为求和自回归滑动平均模型（Integrated Autoregressive Moving Average Model），简记为。5.4.2 模型求解 在第三问中我们已经用一阶差分法消除了时间序列的非平稳性，这时还需要对平稳的一阶差分序列进行白噪声检验（程序见附录6），得到一阶差分白噪声检验图5.10所示。图5.10一阶差分白噪声检验 从图5.10知，在显著性水平为0.01的条件下，由于延迟6阶的检验统计量的p值显著小于0.01，所以该序列不是白噪声序列，我们可以对平稳序列进行建模。为此，我们依照下面的步骤一次进行。1、 用AIC和SBC准则确定模型的阶数，也即p和q的值。由SAS（程序见附录7）得到图5.11所示BIC值。图5.11 BIC值 由图5.11可以看出，ARMA(1，5)模型的BIC(1，5)=9.220585最小，故选用模型ARMA(1，5)拟合数据比较合理。2、 模型的适应性检验、模型参数估计和参数的显著性检验。由SAS（程序见附录8）程序给出如图5.12所示结果。图5.12ARMA(1，5)模型的残差白噪声检验 由图5.12可以看出，模型通过了白噪声检验，说明拟合充分。图5.13 ARMA(1，5)模型的参数估计及检验由图5.13可以看出MA1，1、MA1，2、MA1，3和MA1,5的t值较小，参数显著为零。去掉这四项重新进行估计，如图5.14所示。图5.14 修改后的ARMA(1，5)模型的参数估计及检验 由图5.14可以看出修改后的模型参数显著性检验的P值0.05，通过显著性检验，下面再看模型的适应性检验。图5.15 LB统计量从图5.15可以看出LB(6)=5.81，LB(12)=7.14，LB(18)=10.42，LB(24)=17.82，LB(30)=21.50，LB(36)=25.00，它们的P值都比0.05大，因此我们不能拒绝零假设，也就是有理由认为模型是适应的。所以我们可以写出模型的表达式：3、 对道琼斯股票指数时间序列进行预测。我们给出未来五个时刻的预测值，由SAS（程序间附录9）给出预报值及预测图。图5.16 道琼斯指数预报值图5.17道琼斯指数预报值以及区域 由图5.17可以看到，中间的红色实线为预报值，绿色虚线为95%的置信下限和上限。由图可以看出拟合效果非常好。 分析上证股票指数市场风险并进行拟合预测 由于此步骤与中模型与求解过程完全一样，所以在这里直接给出结果及分析，过程不再累述了。先做出原始数据的时序图，如图5.18所示。图5.18上证股票指数时序图 由图5.18可以看出，上证指数时序图是有显著趋势的非平稳非平稳时间序列，不必用自相关函数做进一步判断。 对原序列进行平稳化处理。因为呈现出近似线性趋势，所以我们对此序列进行一阶差分以消除趋势的影响，一阶差分后如图5.19所示图5.19上证股票指数一阶差分后的时序图 由图5.19可以判断出，序列基本平稳。为了进一步判断其平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图5.20所示。序列的自相关图可以看出自相关函数快速衰减，说明经过一阶差分后的时间序列是平稳的，即完成了平稳化处理。图5.20 经过一阶差分的上证指数自相关函数图对平稳的一阶差分序列进行白噪声检验，如图5.21所示。图5.21 白噪声检验 从图5.21知，在显著性水平为0.01的条件下，由于延迟6阶的检验统计量的p值显著小于0.01，所以该序列不是白噪声序列，我们可以对平稳序列进行建模。1、用AIC和SBC准则确定模型的阶数，也即p和q的值。如图5.22所示。图5.22 BIC值由图5.22可以看出，ARMA(1，1)模型的BIC(1，1)=6.394256最小，故选用模型ARMA(1，1)拟合数据比较合理。2、 模型的适应性检验、模型参数估计和参数的显著性检验。图5.23 ARMA(1，1)模型的残差白噪声检验由图5.23可以看出，模型通过了白噪声检验，说明拟合充分。图5.24 ARMA(1，1)模型的参数估计及检验由图5.24 可以看出MA1，1的t值较小，参数显著为零。去掉这一项重新进行估计，如图5.25所示。图5.25 修改后的ARMA(1，1)模型的参数估计及检验由图5.25可以看出修改后的模型参数显著性检验的P值0.05，通过显著性检验，下面再看模型的适应性检验。如图5.26 图5.26LB统计量从图5.26可以看出LB(24)=32.70，LB(30)=37.09，LB(36)=40.89，它们的P值都比0.05大，LB(6)=11.31，LB(18)=27.86，它们的P值比也接近0.05，因此我们不能拒绝零假设，也就是有理由认为模型是适应的。所以我们可以写出模型的表达式为： 3、 对道琼斯股票指数时间序列进行预测。我们给出未来五个时刻的预测值及预测图。图5.26 上证指数预报值图5.27 上证指数预报值以及区域由图5.27可以看到，中间的红色实线为预报值，绿色虚线为95%的置信下限和上限。由图可以看出拟合效果比较好。5.5 问题五 讨论多个不同金融市场之问的波动溢出问题当某个资本市场出现大幅度波动的时候，就会引起投资者在另外的资本市场的投资行为的改变，从而将这种波动传递到其他的资本市场。这就是所谓的“溢出效应”。接下来我们将检验道琼斯股票市场和上证股票市场，即大洋两岸股市之间的波动是否存在“溢出效应”。这一问我们运用GARCH模型结合Granger因果检验进行分析。GARCH模型在第二问已经介绍了，这里我们只介绍Granger因果检验。Granger因果关系检验协整检验说明变量之间存在长期均衡关系,但是否构成因果关系, 还需要进一步检验。如果变量X有助于预测Y ,即根据Y的过去值对Y进行回归时,如果再加上X的过去值,能够显著地增强回归的解释能力,则称X是Y的Granger原因,否则称为非Granger原因。其检验模型为: （5.5）检验的零假设为: x是y的非Granger原因,即。若零假设成立,则有: （5.6）令式(5.5) 的残差平方和为 , 式(5.6) 的残差平方和为 ,则: 应服从自由度为的F分布,其中T为样本容量, p、q 分别为y和x的滞后阶数,滞后阶数的确定,可根据赤池信息准则(AIC) 来确定。比较F统计量与临界值的大小即可得检验结果。如果F大于临界值就拒绝零假设H0 : x是y的Granger原因,若F小于临界值,则不能拒绝零假设:这就意味着x不是y的“Granger原因”。5.5.1检验两市波动的因果性5.5.1.1提取条件方差 用Evi