北邮随机信号答案ch4.pdf

第四章习题解答 第四章习题解答 4 1 给定实数 x 和一个平稳随机过程 X t 定义理想门限系统的特性为 1 0 X tx Y t X tx 证明 1 X E Y tFx 2 YX RFx x 证明 1 由于 Y t只取 0 或 1 两个值 并且有 1 P Y tP X tx 0 P Y tP X tx 所以 Y t的均值为 1 1 0 0 E Y tP Y tP Y t 1 X P X txFx 2 Y t的相关函数为 1 1 1 Y RE Y t Y tP Y tY t X P X tx X txFx x 得证 此题表明 理想门限系统的输出的相关函数在数值上等于输入过程的二维概率密度 4 2 设对称限幅器的特性为 00 00 00 yX tx Y tX txX tx yX tx 1 已知输入过程 X t 的一维概率密度 求输出 Y t 的一维概率密度 2 当输入 X t 为零均值平稳正态随机过程时 自相关函数为 X R 求输出 Y t 的一维 概率密度 解答 1 由题意可知 000 P Y tyP X txFx 000 1 P Y tyP X txF x 0000 P Y tX tPxX txF xFx 所以 000000 1 YX fy tyy FxyyF xfy u xux 4 3 证明 Price 定理 提示 对于零均值平稳正态随机过程 它的二维特征函数为 222 121212 1 exp 2 XX R 将上式代入 4 2 8 式 然后对 RX 求导 利用傅里叶变换的性质 kk hxjH 即 可得证 证明 设有两个联合正态的随机变量 X 和 Y 其协方差为cov X YE XYE X E Y 设任意的一个函数 g x y 构造随机变量 g X Y E g X Yg x y f x y dxdy 与 有关 则 22 nnn nnnnn E g X Yg X Yg X Y Ef x y dxdy XYXY 设 X t 和 X t为联合正态分布的 其协方差为 cov X X tX tE X tX tE X tE X tR 对于零均值二维正态随机过程 222 121212 1 exp 2 XX R 12 1212 2 1 4 jxjy X f x yedd 12 1212 2 1 4 jxjy X E g X Yg x y f x yedddxdy 对 求 n 次导数 12 12 12 2 1 4 nn jxjy X nn E g X Y g x y f x yedddxdy 且 12 1212 1 n nnn X X n 12 2 121212 2 1 1 4 n jxjynnn X nn f x y edd xy 所以 22 nn nnnn f x yg x y E g X Yg x ydxdyf x y dxdy xyxy 4 4 设二极管的电压 X t 是零均值正态随机过程 其自相关函数为 e X Rc 其中 c 和 为常数 求产生的电流 e X t Y tI 的均值 方差及其功率谱 解 由于正态随机过程 X t的均值0 X m 方差 2 0 XX Rc 所以它的概率密度为 2 1 exp 22 X x fx t cc 又输出 Y t的均值 2 2 2 1 e eexpe 22 c X tx x E Y tE IIdxI cc 2 2 222 2222 1 e eexpe 22 X txc x E YtE IIdxI cc 所以输出 Y t的方差 2222 2222222 eee e1 cccc Y E YtE Y tIII 同时由于 ee X tX t Y RE Y tY tE II 2 2 e X tX t X I EI jj 而特征函数 222 12 111 1 exp 2 XiXikXik iik v vjv mRmvv 22 11 1 exp 2 ikXik ik Rmvv 其中 0 ik ik ik 1 2i k 所以 222 exp XX RIcR 将 X R 展开成泰勒级数得 2 2 2 1 1e k kck X k RI ec k 于是 对 X R 进行傅立叶变换得到 Y t的功率谱密度 2 2 2 222 1 2 2 k ck Y k k GI ec kk 4 5 设有理想限幅器 1 0 1 0 X t Y t X t 1 0 0 X P Y tP X tF 所以 Y t的概率密度为 1 0 1 0 1 YXX fyFyFy Y t的均值为 1 1 0 1 0 1 2 0 XXX E Y tFFF 2 解法一 按照 Y R 的定义 0 0 Y RE Y t Y tP X t X tP X t X t 其中 1 sin X r 2 XX rR 得证 解法二 Price 定理 Y RE Y t Y t 根据 Price 定理有 Y X dR E dR 4 6 设有随机变量 X 和 Y 是联合正态随机变量 且具有边缘概率密度 fX x 和 fY y E X E Y 0 E X 2 E Y2 2 E XY 证明 22 1 24 XY E fX fY 4 7 设有一零均值平稳正态随机过程 其自相关函数为 RX 它的一维分布函数为 FX x 定义一个无记忆非线性系统 1 2 X Y tFX t 试用 Price 定理证明 Y t 的自相关函数为 1 1 sin 22 0 X Y X R R R 提示 X FX t在 0 1 区间上服从均匀分布 所以 1 2 X FX t 在 1 2 1 2 上服从均 匀分布 4 8 如图 4 4 所示非线性系统 该系统输入为零均值 功率谱密度为 0 2 X GN 的高 斯白噪声 不考虑其他因素 试求输出随机过程 Y t的自相关函数和功率谱密度 g 2 R C 图4 4 习题4 8的非线性系统 X t Y t g 2 R C 图4 4 习题4 8的非线性系统 g 2 R Cg 2 R C 图4 4 习题4 8的非线性系统 X t Y t 解 已知 0 0 2 2 Yx N GwNR tt 设 RC 电路的输出随机过程为 Z t 则 2 Y tZt 则 2 2 0 22 2 zx N G wG w jww 其中 1 RC 0 4 t z N R te 因为输入 x t是零均值 方差为 0 2 N 的证态随机过程 所以 z t也是正态随机过程 而且 2 lim 0 zz t R tm 即0 z m Y R tE Y t Y t 22 E Zt Zt 非零均值正态随机变量 1 x 2 x 3 x 4 x的公式 1234123413241423 E x x x xE x x E x xE x x E x xE x x E x x 22 E Zt E ZtE Z t Z tE Z t Z tE Z t Z tE Z t Z t 22 0 2 zz RR 2222 2 00 2 1616 NN e 22 2 0 12 16 N e 4 9 量化编码器由函数 yg x 表示 如图 4 5 所示 假设输入过程 X t 是高斯随机过程 均值和自相关函数分别为 2 0 XX mRd e 试求 1 输出过程的