布丰投针数学分析与实验设计(原创).pdf

Buffon 投针数学分析与实验设计投针数学分析与实验设计 蒲丰投针蒲丰投针 布丰投针布丰投针 1777 年法国科学家年法国科学家 D Buffon 提出的一种计算圆周率的方法 随机投 针法 即著名的布丰投针实验 提出的一种计算圆周率的方法 随机投 针法 即著名的布丰投针实验 问题 问题 向平面内间距为向平面内间距为d的一组平行直线 任意投掷一根长 为的针 求针与直线相交的概率 的一组平行直线 任意投掷一根长 为的针 求针与直线相交的概率 dll 解法一 解法一 设针的中点为 M M 与直线的距离为 x 针或针的延长 线与直线的夹角为 这里为什么要选取针的中点来计算距离呢 选取针的一 个端点来计算距离不可以吗 答案是 可以选取针的一个端 点来计算距离 不仅如此 还可以选取针的任意一个点来计 算距离 不过非 M 点不具备对称性 需要考虑的情况会变得 复杂 为了便于解决问题 这里选择中点 M 来计算距离 则 最小值是 0 最大值是 x 的最小值为 0 最大值是 2 d 取值区域为 0 2 0 d x 由于 sin 2 l x 当 2 并且ld 时 x 取得最 大值等于 2 d 最小值为 0 有三种情况 1 2 0 l 或0 3 点在直线上M 针与直线相交的条件是 M 点与直线的距离 x 满足关系式 sin 2 0 l x 画出区域图 则相交的概率 P 等于相交的情况 正弦曲线与横轴围成的橙 色区域 与全部可能的情况 矩形区域 的比值 d l d d l P 2 2 sin 2 0 MHL QQ 1208980380 2014 2 10 解法二 解法二 这种解法不用微积分知识 但需要知道两个原理 在情况下 dl 1 长度为l的针与直线相交的概率是长度为的针 与直线相交概率的一半 l2 2 两根长度为l的针 无论连接成什么形状 压线的 概率和两针单独各扔一次压线的概率之和相等 证明 1 如上图所示 AB 针的长度为 CD 针长度为l 在 AB 针 或 AB 针的延长线与直线的夹角为 l2 AB 针的中点 M 的取 值范围为 MM的情况下 AB 与直线相交 CD 针在 相同的夹角 的情况下 中点 m 的取值范围为 mm的 情况下 CD 与直线相交 因为 AB 长度是 CD 的两倍并且夹 角 相等 所以 MM是 mm 的两倍 于是 CD 与直线相交的概率是 AB 与直线相交的概率的一半 对于其 余任意夹角都有这个结论 所以 长度为l的针与直线相交 的概率是长度为的针与直线相交概率的一半 l 2 证明 2 如上图所示 左边两根线段长度相等 且长度之和等于右边 图形长度 那么左边两根线段每次投掷 落于任何位置 任 何角度的概率相等 如果我们将这两条线段每次随机的情况 视为一次组合 那么两根线段出现各种组合的概率也相等 并且各种组合压线的概率等于两条线段分别压线的概率之 和 现在选取右图这种组合 两根线段连接在一起 由上面 可以知道 它压线的概率等于左边两条线段压线概率之和 由 1 和 2 我们可以得出一些结论 n根长度为 n l 的小 针仍出去后压线的概率之和与一根长为l的针扔出去后压线 的概率相等 将n根长为 n l 的小针连接成任意形状后扔出去 压线的概率与长为l的针扔出去压线的概率相等 当 线就是曲线 所以结论可以进一步推广 随机投 掷 长度相等的曲线压线概率相等 n 现在我们将长为l的针弯曲成周长为l的圆 随机投掷 出去后与直线相交的概率等于不弯曲时的针和直线相交的 概率 这里要注意前提条件dl 否则 我们拿一个很大的 圆随机投掷 每次必定有交点 概率等于 1 但将圆拉直成 线段 却有可能出现不相交的情况 概率小于 1 两者概率 不等 周长为l的圆与直线相交的概率 从上图可以看出 圆的圆心从上面 A 运动到下面 B 时 圆都与直线相交 我们将所有相交的距离除以直线的距离 d 就等于相交的概率了 从上图可以看出 每个直线间距 d 对应的相交情况是两个直径长度 所以相交的概率 P 等于 d l d AB P 22 MHL QQ 1208980380 2014 2 10 Buffon 投针实验设计投针实验设计 向平面内间距为的一组平行直线 投掷一根长为 的针 针与直线相交的概率 d dll d l P 2 用这个公 式来设计实验 设投掷针的次数为 m 其中针与直线相交的次数为 n 代入上面公式有 dn lm d l m n mm 2 lim 2 lim 为了简化 我们选取针的长度等于平行直线间距的一 半 即2 那么有dl n m m lim 实验设计 实验设计 拿一个透明方盒 底部画出等距的若干平行线 将长度拿一个透明方盒 底部画出等距的若干平行线 将长度 为平行直线间距一半的圆柱形小钢针放入盒子 然后像摇骰为平行直线间距一半的圆柱形小钢针放入盒子 然后像摇骰 子一样抛动钢针 记录针与直线相交的次数子一样抛动钢针 记录针与直线相交的次数 n 和抛针的总 和抛针的总 次数次数 m 最后将 最后将 m 除以除以 n 就得出就得出 的近似值 的近似值 有个问题 我们每次实验选择的 m 值是有限的 那么 这个 m 值是否可以随意选取 对求得的圆周率精度有影响 吗 答案是 为了提高效率 m 值不可以随意选取 选择最 佳投掷次数 m 能以少的实验次数获得高的圆周率精度 证明 实验 1 每次总投针次数 m 为 3 次 然后重复无数遍 实验 2 每次总投针次数 m 为 5 次 然后重复无数遍 第一组实验 我们无数次实验 肯定会出现压线次数分 别是 1 2 3 的情况 由此我们求得的 值分别是 3 1 3 2 3 3 其中最接近 的是 3 1 第二组实验 我们无数次实验 肯定会出现压线次数分 别是 1 2 3 4 5 的情况 由此我们求得的 值分别是 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 其中最接近 的值是 5 2 从两组实验可能获得的最佳值看 5 2 不如 3 1 更接近 值 也就是说 如果选择的投针次数 m 不是最佳 无论怎么 投掷 都不可能获得比投针次数少一些但投针次数最佳的实 验获得的数据更接近 投掷次数投掷次数 m 的最佳选择是 的最佳选择是 3 22 333 355 103993 104348 208341 312689 833719 数据越往后 可能获得的圆周率精度越高 从实际操作来看 355 次是很好的选择 选择 103993 可获得的精度虽然比 355 高 但操作次数多得吓人 没多少 人有耐心玩下去 选择 333 比 355 才少 22 但可获得的精 度比 355 少了很多 得不偿失 粗略实验可以选择 22 可获 得 1 到 2 位小数精度 至于这些数据怎么计算出来的 请看 下节分析 问 实验时 是不是投针越多次 得到的结果越趋近圆 周率 当投针无穷多次 得到的结果就是圆周率吗 实验误差分析 针长l 直线间距 投针次 针与直线相交次 dmn 圆周率的计算公式为 n m d l 2 产生误差原因 1 m n 的精度问题 这个是数学造 成的误差 解决办法 选取合适的 m 值 使 m n 的有 效数字达到要求的精度 产生误差原因 2 如果针的端点与直线非常接近 例如相距万分之一毫米 用肉眼无法判断针是否与直线 相交 造成误差 解决办法 该次事件无效 不予统计 继续进行下一次实验 产生误差原因 3 l d 的精度问题 这是测量问题 产生误差的原因 1 和 2 我们都可以解决 使之达 到我们所需的精度为止 只要趋向无穷大 这个精度可 以认为是无限的 对于原因 3 由于测量工具的精度总 是有限的 所以测出的针长和直线间距的精度不可能无 限 于是 只有 l d 的精度限制了结果的精度 刚开始 投针 随着投针次数的增加 得到的圆周率精度越来越 高 当投针次数足够多 圆周率精度达到最大值 此后 再增加投针次数也不会得到更高的圆周率精度了 很多人认为 投针次数越多 得到的结果越趋近圆 周率值 投针无穷多次 得到的结果就等于圆周率值 这是错的 即使投针无穷多次 得到的圆周率精度也是 有限的 MHL QQ 1208980380 2014 2 11 对数学家们的投针实验分析对数学家们的投针实验分析 历史名人的抛针实验 直线距离为历史名人的抛针实验 直线距离为 1 实验者 时间投掷次数相交次数针长 圆周率 Wolf 沃尔夫 1850 5000 2532 0 8 3 1596 Smith 史密斯 1855 3204 1218 5 0 6 3 1554 C De Morgan 德摩根 1680 600 382 5 1 3 137 Fox 福克斯 1894 1030 489 0 75 3 1595 Lazzerini 拉泽里尼 1901 3408 1808 5 6 3 1415929 Reina 赖纳 1925 2520 859 0 5419 3 1795 点评 点评 上面是历史上的数学家的投针实验数据 次数出现小 数 是多次实验后得到的平均值 另外 我们不知道他们当 时使用的针长 这里针长数据是根据他们得出的圆周率以及 投掷和相交次数推算出来的 从针长来看 德摩根选择长 度为 1 是所有人中最聪明的选择 后期计算量小 但依然 不如直接选择针长等于直线间距的一半来得简洁 而赖纳使 用的针长为 0 5419 实在让人不明白 增加计算麻烦不说 这么精确的测量 本身就很难 我们从上面看出 实验者的投针次数大小相差很大 Wolf 投针 5000 次最卖力 C De Morgan投针 600 次最懒 虽 然理论上投针次数趋向无穷大 得到的值就等于 但对于 有限次投掷的实验 投针次数增多 却未必比投针次数少的 实验能获得更精确的 值 这从上面数据可以看出 投针实 验是概率事件 这仅仅是因为偶然而出现精度下降吗 不是 的 证明如下 为了简化 我们选取针的长度等于直线间距 的一半来进行实验 第一组实验 每次总投针次数为 3 次 然后重复无数遍 第二组实验 每次总投针次数为 5 次 然后重复无数遍 第一组实验 我们无数次实验 肯定会出现压线次数分 别是 1 2 3 的情况 由此我们求得的 值分别是 3 1 3 2 3 3 其中最接近 的是 3 1 第二组实验 我们无数次实验 肯定会出现压线次数分 别是 1 2 3 4 5 的情况 由此我们求得的 值分别是 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 其中最接近 的值是 5 2 从两组实验可能获得的最佳值看 5 2 不如 3 1 更接近 值 也就是说 如果选择的投针次数不是最佳 无论怎么偶 然 都不可能比投针次数少一些但次数最佳的实验获得的数 据更接近 Wolf 和 C De Morgan 投针的次数都是整数 带有人类的 喜好因素 不是最佳投针次数的可能性非常大 其他人投针 的次数是否是最佳 如何求出实验的最佳投针次数 用渐进分数求解 渐进分数渐进分数 等于连分式 使得实数若干个xNnN an q p a a a a a a k k k k x 1 1 1 1 1 3 2 1 0 为了节省篇幅 可以简写为 为了节省篇幅 可以简写为 3210 N qp q p aaaaa kk k k k 这里 这里 q p k k 称作这个连分式的第称作这个连分式的第 k 个渐进分数 同时 它也是所有分母不超过 个渐进分数 同时 它也是所有分母不超过q的分数中最接近实数的分数中最接近实数 k x的分数 也就是说 的分数 也就是说 q p k k 是实数是实数x的第的第 k 个最佳渐进分数 个最佳渐进分数 求渐进连分式 当然可以用上面分式求出 下面给出第求渐进连分式 当然可以用上面分式求出 下面给出第 k 个渐进连分式个渐进连分式 q p k k 的递推求法 的递推求法 2 2 1 1 21 21 1 1 10 1 0 0 0 k k qq a q pp a p a q aa p q a p kk k k kk k k 下面先根据下面先根据 值来求得值 值来求得值 an 2643389793238461415926535 3 第一个第一个 a 值等于整数部分值等于整数部分 3 再将小数部分求倒数 再将小数部分求倒数 7 06251330593104576979300 第二个第二个 a 值等于整数部分值等于整数部分 7 再将小数部分求倒数 再将小数部分求倒数 15 99659440668571988892306 第三个第三个 a 值等于整数部分值等于整数部分 15 再将小数部分求倒数 再将小数部分求倒数 1 003417231013372603464147 得到得到 的无穷连分式为 的无穷连分式为 3 7 15 1 292 1 1 1 2 1 3 1 14 2 1 求得的求得的 最佳渐进分数依次是 最佳渐进分数依次是 33102 103993 113 355 106 333 7 22 1 3 所以 我们每次投针实验最佳的投针次数选择分别是 所以 我们每次投针实验最佳的投针次数选择分别是 3 22 333 355 103993 对前面数学家们的实验数据 需要将投针次数转换后才 能比较优劣 根据 dn lm m 2 lim 已知 d 1 所以我们将 m 值乘 以两倍针长 就可以和最佳渐进分数比较了 转换后的数据为 8000 3845 1200 1545 5680 2731 可以看出 选择的投针次数都不是最佳的 看来他们大多都 没有掌握最佳渐进分数知识 实验事倍功半 效果不理想 不过 对于数据 5680 因为 5680 355 16 它是最佳 数据 355 的 16 倍 这说明 Lazzerini 做了 16 次实验 每次投 针 355 次 求证 Lazzerini 数据造假 证明 Lazzerini 得到的结果 3 1415929 有 7 位准确数 选择 5608 即 3408 次与选择 355 次效果相当 其可能的最佳 精度为 355 113 3 1415929 精度达到要求了 不过对针的长 度测量的有效数字必须达到 7 位数 即针长等于 0 8333333 假如 Lazzerini 实验时 采取的直线间距等于 10 厘米 那么 针长就必须等于 83 33333 毫米 测量至少要达到 0 00001 毫 米级 看看现代各种测量工具所能达到的测量精度 测量工具 测量精度 游标卡尺 0 1 毫米 螺旋测微器 0 01 毫米 测量显微镜 0 001 毫米 激光干涉测长仪 0 0001 毫米 可以看出 对 0 00001 毫米精度要求 不要说游标卡尺 不行 即使用先进的激光干涉测长仪也无能为力 所以 Lazzerini 实验结果不可能得到 3 1415929 这个精度 历史上有很多人对 Lazzerini 的数据产生怀疑 因为他 不多的投针次数 获得了那么高的圆周率精度 不过大家仅 凭感觉而已 谁也没能拿出有力证据来证明他造假 在这里 从数学上证明了 Lazzerini 造假 顺便说一下 如果直线间距为 10cm 针长也是厘米级 的长度 用螺旋测微器可以测量出针长 4 位有效数字 那么 求得的圆周率精度极限为 3 141 所以用