2012年高考真题理科数学解析汇编：三角函数(大白菜数学工作室免点资料).pdf

大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012201220122012 年高考真题理科数学解析汇编 三角函数年高考真题理科数学解析汇编 三角函数 一 选择题 2012 年高考 天津理 在ABC 中 内角A B C所对的边分别是 a b c 已知8 5bc 2CB 则 cosC A 7 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 2012 年高考 天津理 设R 则 0 是 cos f xx xR 为偶函数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 2012 年高考 新课标理 已知0 函数 sin 4 f xx 在 2 上单调递减 则 的取值范围是 A 1 5 2 4 B 1 3 2 4 C 1 0 2 D 0 2 2012 年高考 浙江理 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 然 后向左平移 1 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 得到的图像是 2012 年高考 重庆理 设tan tan 是方程 2 320 xx 的两个根 则tan 的值为 A 3 B 1 C 1D 3 2012 年高考 上海理 在ABC 中 若CBA 222 sinsinsin 则ABC 的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 2012 年高考 陕西理 在ABC 中 角 A B C所对边长分别为 a b c 若 222 2abc 则cosC的最小 值为 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 1 2 2012 年高考 山东理 若 4 2 3 7 sin2 8 则sin A 3 5 B 4 5 C 7 4 D 3 4 2012 年高考 辽宁理 已知sincos2 0 则tan A 1B 2 2 C 2 2 D 1 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012 年高考 江西理 若 tan 1 tan 4 则 sin2 A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 2012 年高考 湖南理 函数 f x sinx cos x 6 的值域为 A 2 2 B 3 3 C 1 1 D 3 2 3 2 2012 年高考 大纲理 已知 为第二象限角 3 sincos 3 则cos2 A 5 3 B 5 9 C 5 9 D 5 3 二 填空题 2012 年高考 重庆理 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 且 35 cos cos 3 513 ABb 则 c 2012 年高考 上海春 函数 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 4 4 4 4 f xxf xxf xxf xx 的最小正周期为 2012 年高考 江苏 设 为锐角 若 4 cos 65 则 12 2sin a的值为 2012 年高考 湖南理 函数 f x sin x 的导函数 yf x 的部分 图像如图 4 所示 其中 P 为图像与 y 轴的交点 A C 为图像与 x 轴的两个交点 B 为图像的最低点 1 若 6 点 P 的坐标为 0 3 3 2 则 2 若在曲线段 ABC与 x轴所围成的区域内随机取一点 则该点在 ABC内的概 率为 2012 年高考 湖北理 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若 abc abcab 则角C 2012 年高考 福建理 已知ABC 得三边长成公比为2的等比数列 则其最大角的余弦值为 2012 年高考 大纲理 当函数sin3cos 02 yxxx 则 3 C 则 3 C 若 333 abc 则 2 C 若 2a b cab 若 22222 2ab ca b x x x x y y y y O O O OA A A A P P P P C C C C B B B B 图图4 4 4 4 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 三 解答题 2012 年高考 天津理 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 4 4 上的最大值和最小值 2012 年高考 浙江理 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 cosA 2 3 sinB 5cosC 求 tanC的值 若a 2 求 ABC的面积 2012 年高考 重庆理 本小题满分 13 分 小问 8 分 小问 5 分 设 4cos sincos 2 6 f xxxx 其中 0 求函数 yf x 的值域 若 f x 在区间 3 22 上为增函数 求 的最大值 2012 年高考 四川理 函数 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 在一个周期内的图象如图所示 A为 图象的最高点 B C为图象与x轴的交点 且ABC 为正三角形 来源 学 若 0 8 3 5 f x 且 0 10 2 33 x 求 0 1 f x 的值 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012 年高考 上海理 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为原点 以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里A处 如图 现假设 失事船的移动路径可视为抛物线 2 49 12x y 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救 援船出发t小时后 失事船所在位置的横坐标为t7 1 当5 0 t时 写出失事船所在位置P的纵坐标 若此时 两船恰好会合 求救援船速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 2012 年高考 陕西理 函数 sin 1 6 f xAx 0 0A 的最大值为 3 其图像相邻两条对称 轴之间的距离为 2 1 求函数 f x的解析式 2 设 0 2 则 2 2 f 求 的值 2012 年高考 山东理 已知向量 sin 1 3 cos cos2 0 3 A mxnAxxA 函数 f xm n 的最 大值为 6 求A 将函数 yf x 的图象向左平移 12 个单位 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍 纵 坐标不变 得到函数 yg x 的图象 求 g x在 5 0 24 上的值域 2012 年高考 辽宁理 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 角A B C成等差数列 求cosB的值 边a b c成等比数列 求sinsinAC的值 xO y P A 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012年 高 考 江 西 理 在 ABC中 角A B C的 对 边 分 别 为a b c 已 知 sin sin 444 AbCcBa 1 求证 2 BC 2 若a 2 求 ABC 的面积 2012 年高考 江苏 在ABC 中 已知3AB ACBA BC ii 1 求证 tan3tanBA 2 若 5 cos 5 C 求 A 的值 2012 年高考 湖北理 已知向量 cossin sin xxx a a a a cossin 2 3cos xxx b b b b 设函数 f x a ba ba ba b x R R R R 的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 1 2 求函数 f x的最小正周期 若 yf x 的图象经过点 0 4 求函数 f x在区间 3 0 5 上的取值范围 2012 年高考 广东理 三角函数 已知函数 2cos 6 f xx 其中0 x R R R R 的最小正周期为10 求 的值 设 0 2 56 5 35 f 516 5 617 f 求 cos 的值 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012 年高考 福建理 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 2 sin 13cos17sin13 cos17 2 2 sin 15cos15sin15 cos15 3 2 sin 18cos12sin18 cos12 4 2 sin 18 cos48sin 18 cos48 5 2 sin 25 cos55sin 25 cos55 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 根据 的计算结果 将该同学的发现推广三角恒等式 并证明你的结论 2012 年高考 大纲理 注意 在试卷上作答无效 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知cos cos1 2A CBac 求C 2012 年高考 北京理 已知函数 sincos sin2 sin xxx f x x 1 求 f x的定义域及最小正周期 2 求 f x的单调递增区间 2012 年高考 安徽理 设函数 2 2 cos 2 sin 24 f xxx I 求函数 f x的最小正周期 II 设函数 g x对任意xR 有 2 g xg x 且当 0 2 x 时 1 2 g xf x 求函数 g x 在 0 上的解析式 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 2012 年高考真题理科数学解析汇编 三角函数参考答案 一 选择题 答案 A 命题意图 本试题主要考查了正弦定理 三角函数中的二倍角公式 考查学生分析 转化与计算等能力 解 析 8 5bc 由 正 弦 定 理 得8sin 5sinBC 又 2CB 8sin 5sin2BB 所 以 8sin 10sincosBBB 易知sin0B 4 cos 5 B 2 cos cos2 2cos1CBB 7 25 答案 A 命题意图 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定 解 析 0 cos f xx xR 为 偶 函 数 反 之 不 成 立 0 是 cos f xx xR 为偶函数 的充分而不必要条件 解析 选A 59 2 444 x 不合题意 排除 D 35 1 444 x 合题意 排除 B C 另 2 2 3 424422 x 得 315 2424224 答案 A 解析 把函数y cos2x 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得 y1 cosx 1 向左平移 1 个单位长度得 y2 cos x 1 1 再向下平移 1 个单位长度得 y3 cos x 1 令x 0 得 y3 0 x 1 2 得 y3 0 观察即得答案 答案 A 解析 tantan3 tantan3 tantan2tan 3 1tantan12 考点定位 此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值 解析 由条件结合正弦定理 得 222 cba 再由余弦定理 得0cos 2 222 ab cba C 所以C是钝角 选 C 解析 由余弦定理得 22222 1 cos 242 abcab C abab 当且仅当ab 时取 选 C 解 析 因 为 2 4 所 以 2 2 02cos 所以 正弦线 要比 余弦线 长一半多点 如图 故2cos 的 余弦线 应选A 二 填空题 答案 14 5 c 解 析 由 35412 cos cossin sin 513513 ABAB 由 正 弦 定 理 sinsin ab AB 得 4 3 sin13 5 12 sin5 13 bA a B 由余弦定理 2222 14 2cos2590560 5 acbbcAccc 考点定位 利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值是本题的突破点 然后利用正弦定理建立已 知和未知之间的关系 同时要求学生牢记特殊角的三角函数值 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 答案 17 2 50 考点 同角三角函数 倍角三角函数 和角三角函数 解析 为锐角 即0 2 2 66263 4 cos 65 3 sin 65 3 424 sin 22sincos 2 3665 525 i i 7 cos 2 325 sin 2 sin 2 sin 2coscos 2sin 12343434 aaaa 2427217 2 25225250 ii 答案 1 3 2 4 解析 1 yfx cos x 当 6 点 P 的坐标为 0 3 3 2 时 3 3 cos 3 62 2 由图知 2 22 T AC 1 22 ABC SAC 设 A B的横坐标分别为 a b 设曲线段 ABC与x轴所围成的区域的面积为S则 sin sin 2 b b a a Sfx dxf xab 由几何概型知该点在 ABC 内的概率为 2 24 ABC S P S 点评 本题考查三角函数的图像与性质 几何概型等 1 利用点 P 在图像上求 2 几何概型 求出三角形面积及曲边形面积 代入公式即得 考点分析 考察余弦定理的运用 解析 由 222 abc abcababcab 根据余弦定理可得 222 12 cos 223 abc CC ab 答案 2 4 解析 设最小边为a 则其他两边分别为2 2aa 由余弦定理得 最大角的余弦值为 222 2 2 2 cos 42 2 aaa aa 考点定位 此题主要考查三角形中的三角函数 等比数列的概念 余弦定理 考查分析推理能力 运算 求解能力 答案 5 6 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 命题意图 本试题主要考查了三角函数性质的运用 求解值域的问题 首先化为单一三角函数 然后利 用定义域求解角的范围 从而结合三角函数图像得到最值点 解析 由sin3cos2sin 3 yxxx 由 5 02 333 xx 与 333 abc 矛盾 取2 1abc 满足 2ab cab 得 2 C 取2 1abc 满足 22222 2abca b 得 3 C 0 sinA 2 5 1cos 3 A 又5cosC sinB sin A C sinAcosC sinCcosA 5 3 cosC 2 3 sinC 整理得 tanC 5 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 由图辅助三角形知 sinC 5 6 又由正弦定理知 sinsin ac AC 故3c 1 对角A运用余弦定理 cosA 222 2 23 bca bc 2 解 1 2 得 3b orb 3 3 舍去 ABC的面积为 S 5 2 答案 5 5 2 考点定位 本题以三角函数的化简求值为主线 三角函数的性质为考查目的的一道综合题 考查学生分析问 题解决问题的能力 由正弦函数的单调性结合条件可列 3 24 24 从而解得 的取值范围 即可得 的最在值 解 1 31 4cossinsincos2 22 f xxxxx 222 2 3sincos2sincossinxxxxx 3sin21x 因1sin21x 所以函数 yf x 的值域为13 13 2 因sinyx 在 每 个 闭 区 间 2 2 22 kkkZ 上 为 增函 数 故 3sin21f xx 0 在每个闭区间 44 kk kZ 上为增函数 依题意知 3 22 44 kk 对某个kZ 成立 此时必有0k 于是 3 24 24 解得 1 6 故 的最大值为 1 6 解析 由已知可得 2 6cos3cos3 0 2 x f xx 3cos x 3 sin 32sin3 xx 又由于正三角形 ABC 的高为 23 则 BC 4 所以 函数 4 8 2 824 得 即的周期Txf 所以 函数 3 2 32 的值域为xf 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 因为 由 5 38 0 xf 有 5 38 34 sin32 0 0 x xf 5 4 34 sin 0 x 即 由 x0 2 2 34 x 3 2 3 10 0 得 所以 5 3 5 4 1 34 cos 2 0 x 即 故 1 0 xf 344 sin32 0 x 4 34 sin 32 0 x 2 2 5 3 2 2 5 4 32 4 sin 34 cos 4 cos 34 sin32 00 xx 5 67 点评 本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系 两角和的正 余 弦公式 二倍角公式等 基础知识 考查运算能力 考查树形结合 转化等数学思想 解 1 5 0 t时 P的横坐标xP 2 7 7 t 代入抛物线方程 2 49 12x y 中 得P的纵坐标yP 3 由 AP 2 949 得救援船速度的大小为949海里 时 由 tan OAP 30 7 123 2 7 得 OAP arctan 30 7 故救援船速度的方向 为北偏东 arctan 30 7 弧度 2 设救援船的时速为v海里 经过t小时追上失事船 此时位置为 12 7 2 tt 由 222 1212 7 ttvt 整理得337 144 2 1 22 t tv 因为2 2 1 2 t t 当且仅当t 1 时等号成立 所以 22 253372144 v 即25 v 因此 救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 解析 1 函数 f x的最大值为 3 1 3 A 即2A 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2 最小正周期为T 2 故函数 f x的解析式为sin 2 1 6 yx 2 2sin 12 26 f 即 1 sin 62 0 2 663 66 故 3 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 解析 6 2sin2cos 2 2sin 2 3 2cos 2 sincos3 xAx A xAx A xxAnmxf 则6 A 函数 y f x 的图象像左平移 12 个单位得到函数 6 12 2sin 6 xy的图象 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍 纵坐标不变 得到函数 3 4sin 6 xxg 当 24 5 0 x时 1 2 1 3 4sin 6 7 3 3 4 xx 6 3 xg 故函数 g x在 5 0 24 上的值域为 6 3 另解 由 3 4sin 6 xxg可得 3 4cos 24 xxg 令0 xg 则 23 4Zkkx 而 24 5 0 x 则 24 x 于是3 6 7 sin6 24 5 6 2 sin6 24 33 3 sin6 0 ggg 故6 3 xg 即函数 g x在 5 0 24 上的值域为 6 3 答案及解析 1 由已知 1 2 cos 32 B A C A B CBB 2 解法一 2 bac 由正弦定理得 2 3 sinsin sin 4 ACB 解法二 2 bac 22222 1 cos 222 ac bac ac B acac 由此得 22 ac ac ac得 a c 所以 3 A B C 3 sinsin 4 AC 点评 本题主要考查三角形的正弦定理 余弦定理 三角形内角和定理及等差 等比数列的定义 考 查转化思想和运算求解能力 属于容易题 第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系 也 可以利用余弦定理得到边之间的关系 再来求最后的结果 解析 解 1 证明 由sin sin 44 bCcBa 及正弦定理得 sinsin sinsin sin 44 BCCBA 即 22222 sin sinsin sin sinsin 22222 BCCCBB 整理得 sincoscossin1BCBC 所以sin 1BC 又 3 0 4 B C 所以 2 BC 2 由 1 及 3 4 BC 可得 5 88 BC 又 2 4 Aa 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 所以 sin5sin 2sin 2sin sin8sin8 aBaC bc AA 所以三角形 ABC 的面积 1521 sin2sinsin2sincossin 28888242 bcA 点评 本题考查解三角形 三角形的面积 三角恒等变换 三角和差公式以及正弦定理的应用 高考中 三角解答题一般有两种题型 一 解三角形 主要是运用正余弦定理来求解边长 角度 周长 面积等 二 三角函数的图像与性质 主要是运用和角公式 倍角公式 辅助角公式进行三角恒等变换 求解三角函数 的最小正周期 单调区间 最值 值域 等 来年需要注意第二种题型的考查 答案 解 1 3AB ACBA BC ii cos 3cosAB ACABA BCBiiii 即cos 3cosACABCBii 由正弦定理 得 sinsin ACBC BA sincos 3sincosBAABii 又 0 AB B sinsin 3 coscos BA BA i即 tan3tanBA 2 5 cos0 5 C C tan 1A 4 A 考点 平面微量的数量积 三角函数的基本关系式 两角和的正切公式 解三角形 解析 1 先将3AB ACBA BC ii表示成数量积 再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明 2 由 5 cos 5 C 可求 tanC 由三角形三角关系 得到 tanAB 从而根据两角和的正切公式 和 1 的结论即可求得 A 的值 考点分析 本题考察三角恒等变化 三角函数的图像与性质 解析 因为 22 sincos2 3sincosf xxxxx cos23sin2xx 2sin 2 6 x 由直线 x 是 yf x 图象的一条对称轴 可得 sin 2 1 6 所以 2 62 kk Z Z Z Z 即 1 23 k k Z Z Z Z 又 1 1 2 k Z Z Z Z 所以1k 故 5 6 所以 f x的最小正周期是 6 5 由 yf x 的图象过点 0 4 得 0 4 f 即 5 2sin 2sin2 6264 即2 故 5 2sin 2 36 f xx 由 3 0 5 x 有 5 5 6366 x 大白菜数学工作室一对一高数专业辅导 所以 15 sin 1 236 x 得 5 122sin 222 36 x 故函数 f x在 3 0 5 上的取值范围为 12 22 解析 2 10T 所以 1 5 5156 52cos52cos2sin 353625 f 所以 3 sin 5 51516 52cos52cos 656617 f 所以 8 cos 17 因为 0 2 所以 2 4 cos1 sin 5 2 15 sin1 cos 17 所以 4831513 coscoscossinsin 51751785 考点定位 本题主要考查同角函数关系 两角和与差的三角函数公式 二倍角公式 考查运算能力 特殊 与一般思想 化归与转化思想 解 1 选择 2 式计算如下 2 13 sin 15cos15sin15 cos151sin30 24