微积分(大学数学基础教程答案)大学数学基础教程(二)多元函数微积分习题解答.pdf

1 习题 1 1 解答 1 设 y x xyyxf 求 1 1 1 yxfy x xyf yx fyxf 解 y x xyyxf xxy y yxf yx y x xyf x y xyyx f 2 22 1 1 1 1 2 设yxyxflnln 证明 vyfuyfvxfuxfuvxyf lnlnlnlnlnlnlnln ln lnln ln ln ln vyfuyfvxfuxf vyuyvxux vuyxuvxyuvxyf 3 求下列函数的定义域 并画出定义域的图形 1 11 22 yxyxf 2 1ln 4 22 2 yx yx yxf 3 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x yxf 4 1 222 zyx zyx zyxf 解 1 1 1 yxyxD 2 xyyxyxD4 10 222 y x 1 1 1 1 O y x 1 1 1 1 O 2 3 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x yxD 4 1 0 0 0 222 zyxzyxzyxD 4 求下列各极限 1 22 1 0 1 lim yx xy y x 1 10 01 2 2ln 01 1ln ln lim 0 22 0 1 e yx ex y y x 3 4 1 42 42 42 lim 42 lim 0 0 0 0 xyxy xyxy xy xy y x y x 4 2 sin lim sin lim 0 2 0 2 x xy xy y xy y x y x 5 证明下列极限不存在 1 lim 0 0 yx yx y x 2 222 22 0 0 lim yxyx yx y x 1 证明 如果动点 yxP沿xy2 趋向 0 0 则3 2 2 limlim 0 02 0 xx xx yx yx x xy x 如果动点 yxP沿yx2 趋向 0 0 则3 3 limlim 0 02 0 y y yx yx y yx y y x a b c O z a b y x O z 3 所以极限不存在 2 证明 如果动点 yxP沿xy 趋向 0 0 则1lim lim 4 4 0 222 22 0 0 x x yxyx yx x xy x 如果动点 yxP沿xy2 趋向 0 0 则0 4 4 lim lim 24 4 0 222 22 02 0 xx x yxyx yx x xy x 所以极限不存在 6 指出下列函数的间断点 1 xy xy yxf 2 2 2 2 yxz ln 解 1 为使函数表达式有意义 需02 xy 所以在02 xy处 函数间断 2 为使函数表达式有意义 需yx 所以在yx 处 函数间断 习题 1 2 1 1 x y y x z 2 1 x y yx z 2 1 y x xy z 2 2sin cos sin cos 2 cos xyxyyxyxyyxyy x z 2sin cos sin cos 2 cos xyxyxxyxyxxyx y z 3 121 1 1 yy xyyyxyy x z lnz yln 1 xy 两边同时对 y 求偏导得 1 1ln 1 xy x yxy y z z 1 1 ln 1 1 1 ln xy xy xyxy xy xy xyz y z y 4 2 2 1 3 3 2 3 yxx yx x y x x y x z 4 1 1 3 2 2 yx x y x x y z 5 xx z y z u xx zy u x z y x u z y z y z y ln ln 1 2 1 6 z z yx yxz x u 2 1 1 z z yx yxz y u 2 1 1 z z yx yxyx z u 2 1 ln 2 1 0 1 0 yyxyxxyx zzzxzyz 2 2sin 2sinbyaxbzbyaxaz yx 2cos2 2cos2 2cos2 22 byaxbzbyaxabzbyaxaz yyxyxx 3 222 2 2 2xyzfzxyfxzyf zyx 2 2 2zfxfzf yzxzxx 0 0 1 0 2 2 0 1 2 1 0 0 yzxzxx fff 4 2 2cos 2 2cos2 2 2sin 2 2sin2 t xz t xz t xz t xz ttxttx 0 2 2cos2 2 2cos22 t x t xzz xt tt 5 1 x y x e x y z 2 x y y e x z 1 dz dxe x y x y 2 dye x x y 1 2 ln 2 1 22 yxz 22 yx x zx 22 yx y zy dy yx y dx y dz 2222 x x 3 22 2 2 1 yx y x y x y zx 22 2 1 1 yx x x y x zy 22 yx xdyydx dz 5 4 1 yz x yzxuxzxu yz y ln xyxu yz z ln duxdzyxxdyzxdxyzx yzyzyz lnln 1 6 设对角线为 z 则 22 yxz 22 yx x zx 22 yx y zy dz 22 yx ydyxdx 当1 0 05 0 8 6 yxyx时 22 86 1 0 805 06 dzz 0 05 m 7 设两腰分别为 x y 斜边为 z 则 22 yxz 22 yx x zx 22 yx y zy dz 22 yx ydyxdx 设 x y z 的绝对误差分别为 x y z 当1 0 1 0 24 7 yx yxyx 时 25247 22 z 22 247 1 0241 07 dzz 0 124 z 的绝对误差124 0 z z 的相对误差 z z 496 0 25 124 0 8 设内半径为 r 内高为 h 容积为 V 则 hrV 2 rhVr 2 2 rVh dhrrhdrdV 2 2 当1 0 1 0 20 4 hrhr时 264 551 0414 31 020414 32 32 cmdVV 习题 1 3 1 dx dz z f dx dy y f dx dx x f dx du 2 1 z xy z y ax ae z xy z x 2 1 2 2 1 z xy z xy 1 2 axa 222 1 2 yxz axaxyaxzzy ax ax exax xaeax 224 22 1 1 1 2 x f x f x z 44 3 222 4 arcsin 11 yx x yx x 6 1 ln 1arcsin4 2222 44 44 223 yxyx yxx yx yxx y f y f y z 44 3 222 4 arcsin 11 yx y yx y 1 ln 1arcsin4 2222 44 44 223 yxyx yxy yx yxy 3 1 x u 21 2fyexf xy y u 21 2fxeyf xy 2 x u 1 1 f y y u 21 2 1 f z f y x z u 2 2 f z y 3 x u 321 yzfyff y u 32 xzfxf z u 3 xyf 4 x u 321 2fyfxf y u 321 2fxfyf z u 3 f 4 1 1 yf x z 21 fxf y z 11 2 11 1 2 2 fyyfy x f y x z 1211112111 1 11 2 yfxyfffxfyf y f yfyf yyx z 221211 2 22211211 21 21 2 2 2 fxffxfxffxfx y f y f xfxf yy z 2 21 2 2xyffy x z 2 2 1 2fxxyf y z x f xyyf x f yxyffy xx z 2 2 12 21 2 2 2 222 22 22 12 3 11 4 2 22 2 21212 2 11 2 442 2 22 2 fyxfxyfyyf xyfyfxyyfxyfyfy y f xyxf y f yyfxyffy yyx z 2 2 12 121 2 2 2222 7 12 22 22 3 11 3 21 2 22212 2 1211 2 1 52222 2 22 2 2 fyxyfxfxyxfyf xfxyfxyxfxfxyfyyf y f x y f xyxffxxyf yy z 221 12 2 1 2 2 222 22 4 12 3 11 22 1 2 2221 22 12111 442 2 2 22 fxyfxfyxxf xfxyfxxfxyfxyxf 5 y u x u t y y u t x x u t u y u x u s y y u s x x u s u 2 1 2 3 2 3 2 1 222 4 3 2 3 4 1 y u y u x u x u s u 222 4 1 2 3 4 3 y u y u x u x u t u 2222 y u x u t u s u 6 1 设 zyx ezyxzyxF 1 zyx x eF 1 zyx y eF 1 zyx z eF 1 z x F F x z 1 z y F F y z xzyx yx z yx yx z yx x F yx z yxzzyxF x 2 2 1 sectan tan 2 2 3 22 22 222 2222 22 22 设 22 2222 tan yx xz yx z yx x 22 2 sec yx z 2 2 1 sectan 2 3 22 22 222 2222 yzyx yx z yx yx z yx y Fy 22 2222 tan yx yz yx z yx y 22 2 sec yx z 1 z F 22 222 sec yx z yx 22 1 yx 22 2 tan yx z 8 x z 22 2 22 2222 csccot yx z yx xz yx z yx x F F z x y z csccot 22 2 22 2222 yx z yx yz yx z yx y F F z y 3 设xyzzyxzyxF22 x yz Fx 1 y xz Fy 2 z xy Fx 1 x z z x F F xyxyz xyzyz y z z y F F xyxyz xyzxz 2 4 设yz z x y z z x zyxFlnlnln y F z F yx 1 1 zz x Fz 1 2 x z zx z F F z x y z 2 zxy z F F z y 7 设 32sin 232 zyxzyxzyxF 32cos 21zyxFx 32cos 42zyxFy 32cos 63zyxFz x z 3 1 z x F F y z 3 2 z y F F x z y z 1 8 设 2121 baFcFcFbzcyazcxzyxF zyx x z 21 1 ba c F F z x y z 21 2 ba c F F z y x z ac y z b 9 1 方程两边同时对 x 求导得 0642 22 dx dz z dx dy yx dx dy yx dx dz 解之得 13 13 2 16 z x dx dy zy zx dx dy 2 方程两边同时对 z 求导得 9 0222 01 z dz dy y dz dx x dz dy dz dx 解之得 yx xz dz dy yx zy dz dx 3 方程两边同时对 x 求偏导得 s inco s0 co ss in1 x v vuv x u x u e x v vuv x u x u e u u 解之得 1 cos sin cos 1 cos sin sin vveu ev x v vve v x u u u u 同理方程两边同时对 y 求偏导得 s inco s1 co ss in0 y v vuv y u y u e y v vuv y u y u e u u 解之得 1 cos sin sin 1 cos sin cos vveu ev x v vve v x u u u u 习题 1 4 1 求下列函数的方向导数 o P l u 1 2 1 1 0 1 1 32 0 22 lPzyxu 解 22 00 PP x x u 44 00 PP y y u 06 00 PP z z u 6 2 6 1 6 1 0 l 6 2 6 1 4 6 1 2 0 P l u 2 1 1 2 1 1 1 0 lP x y u z 解 1 002 1 P z P x y x y z x u 1 1 00 1 P z P xx y z y u 10 0 ln 00 P z P x y x y z u 6 1 6 1 6 2 0 l 6 1 6 1 1 6 2 1 0 P l u 3 lPyxu 1 1 ln 0 22 与ox轴夹角为 3 解 1 2 0022 PP yx x x u 1 2 0022 PP yx y y u 由题意知 3 则 6 2 3 2 1 6 co s 3 co s 0 l 2 31 2 3 1 2 1 1 0 P l u 4 14 4 9 2 1 5 1010 PPlPPxyzu 2 00 PP yz x u 10 00 PP xz y u 5 00 PP xy z u 12 3 4 l 13 12 13 3 13 4 0 l 13 98 13 12 5 13 3 10 13 4 2 0 P l u 2 求下列函数的梯度gradf 1 cos sin 22 xyyxyxf 11 解 sin 2 cos 222 yxyxyyx x f 2 sin cos 222 xyxyxyx y f gr adf s in cos 2 222 xyyyxxy sin 2 cos 222 xyxyyxx 2 y x e x y yxf 解 1 11 2 x y e xy e x y e x y x f y x y x y x 11 1 2 yx e y x e x y e xy f y x y x y x gradf 1 1 x y e x y x 11 yx e y x 3 一个登山者在山坡上点 4 3 1 2 3 处 山坡的高度 z 由公式 22 25yxz 近似 其 中 x 和 y 是水平直角坐标 他决定按最陡的道路上登 问应当沿什么方向上登 解 32 4 3 1 2 3 4 3 1 2 3 x x z 44 4 3 1 2 3 4 3 1 2 3 y y z 按最陡的道路上登 应当沿 3 4 方向上登 4 解 21 1 21 1 yxx y T xyy x T 沿方向 16 1 9 1 3 1 4 1 gradT 5 解 设路径为 xfy 在点 yx处 8 2 yxgradT xfy 在 yx点的切向量为 1 dx dy gr adT 平行于切向量 y dy x dx 82 4 cxy 因为过 4 2 2 1 xy 12 习题 1 5 1 求曲线 2 1 1 tz t t y t t x 在对应于1 t点处的切线及法平面方程 解 当1 t时 1 1 2 1 2 1 1 zyx 2 1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 1 t t t tt t tt zyxT 故所求切线方程为 2 1 1 2 41 21 zyx 即 8 1 4 2 1 21 zyx 法平面方程为 0 1 2 2 2 1 4 1 zyx 即 11682 zyx 2 求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程 1 2 2 22 22 zy yx 在点 1 1 1 解 将方程两端对 x 求导 得 022 022 dx dz z dx dy y dx dy yx z x dx dz y x dx dy 在 1 1 1 M处 1 1 1 T 故所求的切线方程为 1 1 1 1 z y x 法平面方程 1 zyx 2 0 6 222 zyx zyx 在点 1 2 1 解法 1 将方程两端对 x 求导 得 01 0222 dx dz dx dy dx dz z dx dy yx 1 dx dz dx dy x dx dz z dx dy y 当0 11 xy zy J时 有 zy xzzx Jdx dy 11 1 zy yxxy Jdx dz 11 1 13 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 zy yx zy xz dx dz dx dy T 故所求的切线方程为 02 1 1 1 1 y zx 法平面方程 0 1 2 0 1 zyx 即 0 zx 解法 2 将方程组两端求微分 得 0 0222 dzdydx zdzydyxdx 曲线在点 1 2 1 处的切向量为 3 题略 解 1 令 F x y z arctg x y z 2 1 2 1 0 0 0 PFPFPF zyx 1 曲面在点 P0的切平面方程为 0 4 1 1 2 1 1 2 1 zyx 即 x y 2z 2 0 法线方程为 1 4 2 1 1 2 1 1 z yx 即 2 4 1 1 1 1 z yx 2 令 z x yzzyxFln 则 x Fx 1 1 y F z Fz 1 1 曲面在点 1 1 1 点处的切平面的法向量为 2 1 1 n 故所求的切平面方程为 0 1 2 1 1 1 1 zyx即 02 zyx 法线方程为 2 1 1 1 1 1 zyx 3 令 F x y z 2 z x 2 z y 8 2ln4 2ln4 0 0 0 PFPFPF zyx 16ln2 曲面在点 P0的切平面方程为 4ln2 x 2 4ln2 y 2 16ln2 z 1 0 即 x y 4z 0 法线方程为 2ln16 1 2ln4 2 2ln4 2 zyx 即 4 1 1 2 1 2 zyx 14 4 解 yxx z 1 yxy z 1 3 1 3 1 1 1 2 1 2 1 yxyx z 又 抛物线xy4 2 在 1 2 点处的切线斜率为 1 2 1 dx dy 抛物线xy4 2 在 1 2 点处偏向 x 轴正向的切线方向为 1 1 1 2 1 dx dy T 2 1 2 1 0 T 故所求的方向导数为 2 1 2 1 3 1 3 1z 2 1 T 3 2 6 2 6 2 习题 1 6 1 题略 解 由 024 x x f 024 y y f 有 x 2 y 2 即 P0 2 2 为 f x y 的驻点 又 2 0 2 2 22 2 2 y f yx f x f D P0 4 0 0 2 2 P x f 2 故 P0 2 2 为 f x y 的极大值点 其极大值为 f 2 2 8 2 题略 解 由 01862 03963 2 令 令 xy y f yx x f 有 093 0132 2 xy yx 驻点 5 6 和 6 1 x x f 6 2 2 2 2 2 y f 6 2 yx f 0243612 6 26 6 5 6 5 2 6 5 xx 而306 6 5 6 5 2 2 x x f yxf在点 5 6 取得极小值88 6 5 f 又 0243612 6 26 6 1 6 1 2 6 1 xx yxf在点 6 1 不取得极值 15 3 求 22 yxz 在闭区域44 22 yx上的最大值和最小值 解 由 02 02 y y z x x z 得唯一驻点 0 0 又 在边界44 22 yx即椭圆1 4 2 2 y x 上 222 54yyxz 1 1 y 由0 54 dy yd 得驻点 1 1 0 y 所有可能的极值点为 0 0 2 0 2 0 0 1 0 1 相应的函数值为 0 4 4 1 1 4 求抛物线 2 xy 和直线02 yx之间的最短距离 解 设 P x y 为抛物线 2 xy 上任意一点 它到直线02 yx的距离为 2 2 yx d d 最小当且仅当 2 d最小 此问题即是求 22 2 2 1 yxd在条件xy 2 下的最小值 解法 1 用拉格朗日乘数法 设 2 2 1 22 xyyxL 由 0 0 1 2 2 2 1 021 2 2 2 1 2令 令 令 xyL yxL xyxL y x 即 0 02 02 21 2 xy yx yx 得唯一驻点 4 1 2 1 故由实际问题知抛物线 2 xy 和直线02 yx之间的最短距离在在 为 8 27 4 1 2 1 min dd 解法 2 转化为无条件极值 设抛物线 2 xy 上点 2 xxP 它到直线02 yx的距离为 16 2 2 2 2 2 xx yx d d 最小当且仅当 222 2 2 1 xxd最小 设 22 2 2 1 xxxf 0 21 2 2 令xxxxf 唯一驻点 2 1 x 2 2 21 2 2 21 21 222 xxxxxxxxf 0 2 7 2 2 21 2 1 2 1 22 xxxf 当 2 1 x时 xf有极小值 从而该极小值就是所求的最小值 唯一驻点 2 1 2 2 1 2 2 xx d 8 27 故抛物线 2 xy 和直线02 yx之间的最短距离为 8 27 5 求抛物线 22 yxz 被平面1 zyx截成一椭圆 求原点到此椭圆的最长与 最短距离 解 设椭圆上任意一点为 x y z 它到原点的距离为 222 zyxd 此问题即是求 222 zyxd 在条件 1 22 zyx yxz 下的最大值和最小值 令 1 22222 zyxzyxzyxL 由 令 令 令 令 令 01 0 02 022 022 22 zyxL zyxL zL yyL xxL z y x 由 得0 2 1 yx 若1 代入 得0 17 再代入 2 1 z0 一侧为 1 S 在 x0 一侧为 5 S 在 y0 取下侧 则 sss sssD dxdyyx yx y xyx yx x yxydxdyyx xy 12 112 0 0 0 22 22 22 22 4 记 S 在 z 0 上的部分为 1 S 在 x 0 上的部分为 2 S 在 y 0 上的部分为 3 S 在1 22 yx上 的部分为 4 S 在 22 yxz 上的部分为 5 S 有 0 3 21 22 2222 S SS ydzdxxxzdydzzdxdyy ydzdxxxzdydzzdxdyyydzdxxxzdydzzdxdyy 2 321 3 hrQQQQ 35 16 3 1 1 1 1 1 0 22 2 2 1 0 22 2 2 22 4 dzxx x zx dx dxdzxx x zx ydzdxxxzdydzzdxdyy xz DS 81616 3 16 cos1 cos3cos2 sin cossin3cos2sin32 22 2 0 1 0 22445 1 0 22445 2 0 2244 22222222 5 原式 drd drrddxdyyxxy dxdyyyxxyxxyxyydzdxxxzdydzzdxdyy xy xy D DS 3 解 1 3 3 2 3 3yxz 3 5 2 1 1 cos 5 2 1 cos 5 3 1 cos 3 6 5 1 3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x z y z x z y z y z x z x z y z x z y z x z 原式 SS dSRQPdSRQP 5 32 5 2 5 3 coscoscos 2 2 2y y z x x z 36 222 2 222 2 222 2 441 1 1 1 cos 441 2 1 cos 441 2 1 cos yx y z x z yx y y z x z y z yx x y z x z x z 原式 SS dS yx RyQxP dSRQP 22 441 22 coscoscos 3 3 格林公式及其应用 1 1 y exQyxP 2 1 1 x Q y p abdxdy y P x Q D 2 故原式 2 2 1 yxQyxP y x Q x y p 2 1 y D dxyxdydxdy y P x Q 1 0 1 0 6 1 1 故原式 3 222 yxQyxP x x Q yx y p 2 2 1 0 1 0 0 1 3 0 1 2 3 1 1 3 24 y D y dxyxdydyydxdy y P x Q 故原式 4 sin cos1 yyeQyeP xx sin sinyye x Q ye y p xx 而在以 0 为起点 0 0 为终点的直线上 0 0 0 0 sin cos1 dyyyedxye xx 37 所以原式 1 5 1 20 2sin22cos 4 1 sin 2 1 sin sin 0 00 2 sin 0 e exex e dxexydydxedxdyyeyye xx x D x x xxx 2 42134 56 4yyxQxyxP 222 1 6 12 xy x Q xy y p 因为积分与路径无关 所以 x Q y p 得3 2 1 0 0 1 0 2 0 42442234 5 79 56 56 4 dyyydxxdyyyxdxxyx 3 1 yxQyxp 2 2 x Q y p 2 是二元函数 u x y 的全微分 yxp x u 2 由 得 2 2 1 2 2 yxyxdxyxyxu yyyxQ y u yx y u 2 2 得 及由 Cyy 2 2 1 故Cyxyxyxu 22 2 1 2 2 1 2 xyQxyxp2cos3cos3 cos3sinsin4 x Q yxx y p 3coscossin12 是二元函 数 u x y 的全微分 yxp x u 3sin2sin2 由 得 2cos3sin 3sin2sin2 yxydxyxyxu 0 2cos3cos3 2cos3cos3 yxyQ y u yxy y u 得 及由 Cy 故Cxyyxu 2cos3sin 3 yxxyQxyyxpsincos2 sincos2 22 x Q xyyx y p sin2sin2 是 二元函数 u x y 的全微分 xyyxp x u sincos2 2 由 得 38 coscos sincos2 222 yxyyxdxxyyxyxu 0 sincos2 cos2sin 22 yyxxyQ y u yxyyx y u 得 及由 Cy 故Cxyyxyxu coscos 22 4 x Q x y p 1 2 x Q xy p 2 1 是二元函数 u x y 的全微分 2 x y p x u 由 得 2 y x y dx x y yxu 0 1 1 y x Q y u y xy u 得 及由 Cy 故C x y yxu 4 1 2222 46 63yyxQxyxP x Q xy y P 12 故为全微分方程 3 63 63 2232222 yyxxdxxyxyxuxyxP x u 得由 2 22 2 4 46 6yyyyxQ y u yyx y u 得及由 故Cyy 3 3 4 通解为Cyyxx 3223 3 4 3 2 yxeQeP yy 2 x Q e y P y 故为全微分方程 yxedxeyxueP x u yyy 得由 yyyxeQ y u yxe y u yy 2 2 得及由 故Cyy 2 通解为Cyxey 2 39 3 22 2 1eQeP Q e P 2 2 故为全微分方程 1 1 222 edeueP u 得由 0 2 2 2 2 得及由eQ u e u 故C 通解为Ce 1 2 4 2 2 xQyxyP x x Q yx y P 2 4 故不是全微分方程 3 4 高斯公式和斯托克斯公式 1 1 原式 dxdydz z R y Q x P dxdydzzyx 3 222 ddd a 0 4 2 2 2 0 sin3 5 5 12 a 2 原式 dxdydz z R y Q x P dxdydzx 1 2 a dxxbc 0 2 1 abcbca 3 3 1 40 3 原式 dxdydz z R y Q x P dxdydzxzzy 2 dxxzzydydz y 2 1 0 1 0 3 0 2 rdrzrzrddz 1 0 2 0 3 0 cossin 2 2 3 4 原式 dxdydz z R y Q x P dxdydz3 3 2 R 5 原式 S RdxdyQdzdxPdydzdxdydz z R y Q x P dxdyzxdxdydzxxx S 4 484 S e dydzxdx a 1 4 22 1 2ae a 2 解 1 圆周事实上就是 xoy 面上的圆9 22 yx 取 为圆域 9 22 yx的上侧 XY D L dxdydxdy zxy zyx dxdydzdxdydz dzzxdyydx 9 32 32 2 2 41 2 取 为平面0 zyx被 L 所围成的部分的上侧 的面积为 2 a 的单位法 向量为 3 1 3 1 3 1 cos cos cos n 00 3 1 3 1 3 1 ds yxxzzy zyx dzyxdyxzdxzy L 3 解 L dxdyzdydzxz yzxzy zyx dxdydzdxdydz dzyzxzdyydx 3 3 3 2 2 2 其中 为平面 z 2 被 L 所围成的部分的上侧 因为 在 yoz 面上的投影区域为线段 所 以 0 2 dydzxz 又 在 xoy 面上的投影区域为4 22 yx 所以 xy D dxdydxdyz 2025323 2 L dzyzxzdyydx 203 2 习题 3 5 1 解 1 xyzRxzyQyzxP 222 2222zyxzyx z R y Q x P divA 10 3 1 1 divA 2 2 cos cos xzRxyQeP xy 2 sin2sinxzxzxyxye z R y Q x P divA xy 0 1 0 0 divA 3 xzRxyQyP 2 42 xxx z R y Q x P divA20 2 3 2 1 divA 2 证明 场力沿路径 L 所作的功为 L ydy r k xdx r k W 33 要证明场力所作的功与所 取的路径无关 只需证明上面的积分与路径无关 显然 半平面 x 0 是单连通域 y r k Qx r k P 33 在该区域具有一阶连续偏导数 另外 y R xy r k x Q 5 3 所以 上面的积分与路径无关 因而结论正确 3 解 1 0 xyzxyz zyx kji rotA 2 kzxyzjyzxyixyxz xyzxyzxyz zyx kji rotA 3 ji yxzyz zyx kji rotA 0cossin 4 kyxxzzyjzyixzxyzx zxyxzyyx zyx kji rotA coscoscossincoscossin cossinsinsin 222 22 4 证明 1 0 cos2 sincos2 2 2 sixyxxy y j xyyx x i rotA 所以 A 为有势场 cyxxy dyyxxydxxbbxyxH x a y b coscos sincos2sincos2 22 22 43 2 0 sin cos cos zxyxxyy zyx kji rotA 所以 A 为有势场 czxy zdzdyxyxdxbxbzyxH x a y b z c cos sin sin cos cos 习题 4 1 1 1 记一般项为 n u 则 1 u 112 1 2 u 122 1 3 u 132 1 4 u 142 1 故 n u 12 1 n 2 记一般项为 n u 则 1 u 1 11 1 11 2 u 1 12 2 21 3 u 1 13 3 31 故 n u 1 1 n n n 1 3 记一般项为 n u 则 1 u 12 2 1 x 2 u 222 2 2 x 3 u 323 2 3 x 4 u 424 2 4 x 故 n u 2 2 n x n n 4 记一般项为 n u 则 1 u 1 112 11 11 a 2 u 1 122 12 12 a 3 u 1 132 13 13 a 故 n u 1 12 1 1 n an n 2 1 2222 1 31 31 21 21 11 11 1 1 n n n 2 642 531 42 31 2 1 242 1231 1 n n n 44 3 15 1 10 1 5 1 5 1 1 1 n n n 4 321 1 3 3 2 2 1 1 n n n n 3 1 该级数为几何级数 r 4 3 由于1 4 3 r 故该级数收敛 2 该级数的一般项 015 5 1 1 nu n n n 故由级数收敛的必要条件可知 该级数发散 3 该级数为几何级数 1 2 3 r 由于1 2 3 r 故该级数发散 4 设 432 2 1 2 1 2 1 2 1 s 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 1 因为s为 2 1 r的几何级数 为r 3 2 的几何级数 故s 均为收敛级数 故原级数收敛 习题 4 2 1 1 因为 2 1 1 12 1 lim n n n 而级数 1 1 n n 发散 故该级数发散 2 因为 nnn n n n un 11 1 1 22 而 1 1 n n 发散 故原级数 1n n u发散 3 因为 1 45 lim 1 41 1 lim 2 2 2 nn n n nn nn 而且 1 2 1 n n 收敛 故原级数收敛 4 因为 n n n n n n 2 2 sin lim 2 1 2 sin lim 而且 12 1 n n 收敛 故原级数收敛 2 1 n n n n u 2 3 因为1 2 3 12 3 lim 2 3 2 1 3 limlim 1 1 1 n n n n u u n n n n n n n n n 45 故级数发散 2 因为1 3 1 1 3 1 lim 3 3 1 limlim 2 2 1 2 1 n n n n u u n n n n n n n 故级数收敛 3 因为1 2 1 1 1 lim2 1 2lim 2 1 1 2 limlim 1 1 1 e n n n n n n n u u n n n n n n n n n n n n 故级数收敛 4 因为1 2 1 2 2 1 lim 2 tan 2 tan 1 lim 2 tan 2 tan 1 limlim 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u 故级数收敛 3 1 因为1 2 1 12 limlim n n u n n n n 故级数收敛 2 因为10 1ln 1 limlim n u n n n n 故级数收敛 3 因为 n n n n n n n n n n n n u 1 2 12 13 lim 13 limlim 1 9 1 3 1 13 ln 1 2 lim 2 3 1 ln2 e n n n e n 故级数收敛 4 因为 a b a b u n n n n n limlim 故当ab 时 1 a b 级数收敛 当ab 时 1 a b 级数发散 当ab 时 1 a b 无法判断 4 1 n n nu 4 3 而1 4 3 4 31 lim 4 3 4 3 1 limlim 1 1 n n n n u u n n n n n n n 故级数收敛 2 4 n n un 而10 1 1 1 lim 1 1 limlim 4 4 4 1 nn n n n n n u u nn n n n 故级数收敛 46 3 因为1 2 1 lim 1 2 1 lim 1 lim 1 n n n nn n n u nn n n 而级数 1 1 n n 发散 故级数发散 4 因为1 2 1 1 1 lim2 1 2lim 2 1 1 2 limlim 1 1 1 e n n n n n n n u u n n n n n n n n n n n n 故级数收敛 5 因为01 1 lim 2 1 n n un n 故级数发散 6 nabna un 111 而级数 1 1 n n 发散 从而 1 11 n na 发散 故原级数发散 5 1 2 1 1 1 1 n u n n 显然 1n n u为一交错级数 且满足 1 nn uu 0lim n n u 因而该级数收敛 又 1 2 1 1 1 nn n n u是1 p的p级数 所以 1n n u发散 即原级数是条件收敛 2 对于1 3 11 3 1 lim 3 3 1 limlim 1 1 n n n n u u n n n n n n n 故 1n n u收敛 从而原级数绝对收敛 3 n n n u 23 1 1 1 显然 111 2 1 3 1 23 1 nn nn n n u收敛 故原级数绝对收敛 4 1ln 1 1 1 n u n n 1n n u为一交错级数 又 0 1ln 1 n n un 且 1 nn uu 故由莱布尼兹定理可知 原级数收敛 但由于 1 1 n un 1n n u发散 故原级数是条件收敛 5 因为 123 1 22222 lim 2 lim 2 1 nnn u nnnnn n n n n n 故级数发散 47 6 1 因为 0 1 11 1 1 4 1 4 1 4 1 n n n nn n n 为几何级数 且 4 1 r 其和为 5 4 4 1 1 1 1 1 r 2 因为 100111 3 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 6 23 nn n n nn n n n nn n n nn 而由 0 2 1 n n 知 2 1 r 其和为2 2 1 1 1 1 1 r 由 0 3 1 n n 知 3 1 r 其和为 2 3 3 1 1 1 1 1 r 故 2 3 2 3 3 1 2 2 1 6 23 1 n n nn 7 设排球每一次下落后的高度依次为 hhh hhh hhh hhh hh n nn 43 43 43 43 43 43 43 43 43 1 4 34 3 23 2 12 1 反弹的总距离hhhhhs n n nn n n 3 431 1 4 3 43 4 3 43 011 8 由已知可得 sinsin 90cos sinsin sinsin 90cos sin 4 3 2 bEFEFFG bDEEF bCDCDDE bCD o o L CD DE EF FG sin1 sin sin1 1 sin sinsin sin 10 b bbb nn nn 48 习题 4 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 limlim 21 2 1 n n a a R n n n n n n 当 2 1 x 时 级数收敛 所以该级数的收敛域为 2 1 2 1 2 1 11 1 limlim 1 n n a a R n n n n 当4x 时 级数收敛 当6x 时 级数发散 所以该级数的收敛域为 6 4 3 该幂级数只含有奇次幂项 记 nn n n nx u 3 2 12 则有 2 12 1112 1 3 1 3 2 3 2 1 limlimx nx xn u u nnn nnn n n n n 当3x 时 级数收敛 当3x 时 级数发散 于是收敛半径3R 当3x 时 级数发散 所以该级数的收敛域为 3 3 4 该幂级数只含有偶次幂项 记 nn n axu 2 2 则有 2 2 221 1 2 2 2 limlimax ax ax u u nn nn n n n n 当 2 2 ax 时 级数收敛 当 2 2 ax 时 级数发散 于是收敛半径 2 2 R 当 2 2 ax 时 级数发散 所以收敛域为 2 2 a 2 2 a 2 1 设 11 1 1 xnxxs n n 11 1 1 0 1 1 0 x x x xdxnxdxxs n n x n n x 故 1x1 x1 1 x1 x x s 2 2 设 1x1 1n2 x x s 1n 1n2 49 1x1 x1 1 x x s 2 1n 2n2 11 1 1 ln 2 1 1ln 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 00 00 0 2 0 2 0 2 x x x xxdx x dx x dx xx dx xx dx x dx x dx x sxs xx xx xxx 3 设 1x1 x 1n2 x s 1n n 则 1x1 xx 1n 2 x s 1n nn 1n 令 1x1 x 1n x u n 1n 1x1 x1 x xdx x u 2 1n 1n x 0 1x1 x1 xx2 x1 x x u 2 22 故 1x1 x1 xx3 x1 x x1 xx2 2 x s 2 2 2 2 4 设 1x1 1n n x x s 2n n 1x1 1n x x s 2n 1n 1x1 x1 1 x x s 2n 2n 1x1 x1ln dx x1 1 0 s x s x 0 1x1 x x1ln x1 dx x1ln 0 s x s x 0 50 习题 4 4 1 1 1 22 2 22 1 2 31 1 111 1 1 11111 222 1 1 2242 4 4 1 4 1 21 22 2 2 n n n n n n xx n xx n xx n 2 1n n21n2 1n2 x n2 x2 1 2 1 2 x2cos1 xsin 3 设 x1xln x f 2 1 22 2 2 1 2 1 111 1 1 1 222 1 1 1 21 1 1 11 2 n n nn n n fxxx n x n xx n 1x1 x 1n2 n2 1n2 1 x dxx n2 1n2 1 dx 0 f x f 1n 1n2n 1n x 0 n2n x 0 4 x x n a ln ea 0n n n alnxx 5 设 x1ln x1 x f 1x1 n x 1 1 x1ln 1 x f 1n n 1n 1x1 1n n x 1 x dx n x 1 dx 0 f x f 1n 1n 1n 1n x 0 n 1n x 0 6 x n2 1n2 1 1 x x1 x 1n n2n 2 1x1 x n2 1n2 1 x 1n 1n2n 51 2 2 4x 1 1 2 1 3 4x 1 1 3 1 2x 1 1x 1 2x3x 1 x f 2 0n n n n 0n n 4x 2 1 2 1 4x 3 1 3 1 11 0 11 4 62 23 n nn n xx 注 收敛域 4 11 71 3 62 624 11 2 x x x xx 3 1 10 18o 642 10 6 1 10 4 1 10 2 1 1 10 cos 46 2 10 10 6 1 r 9511 0 10 4 1 10 2 1 1 10 cos 42 2 1x1 x n2 1n2 1 1 x1 1 1n n4n 4 1n 1n4n 2 1 04 2 1 1n4 n2 1n2 1 2 1 dx x1 1 413 2 10 2 1 13 1 6 5 r 4969 0 2 1 24 1 2 1 10 1 2 1 dx