微分方程是一门十分有用的学科.doc

微分方程在实际中的应用 （以学习物理化学为主） 微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一，微分方程的研究促进实际问题的解决，同时也促进其他科学的发展。近几十年来，世界科学技术进入了核能、人造卫星、火箭、数字时代，微分方程定性理论及方法不论在应用上、理论上均不断地扩展着自身领域，显示出前所未有的强大生命力。微分方程的应用是数学模型的一部分，他在生产生活的很多方面都有应用，比如人口、交通、能源、污染、医学、生物、物理、化学等方面发挥着重要的作用。这些领域反过来也不断地向微分方程提出新问题，刺激着它不断向前发展。 微分方程是联系自变量、未知函数及未知函数的倒数（或微分）的关系式。应用微分方程解决实际问题，一般有三个步骤：（1）建立微分方程；（2）求解微分方程；（3）有所得的解或解的性质，反过来结合实际问题。对于复杂的实际问题，要建立一个较准确的描述它的状态的微分方程是件困难的事，因为它不仅涉及到各种数学概念和方法，而且还涉及到问题所属的实际学科的许多知识，有时甚至靠实验的帮助，才能建立起较能反映实际，而在数学中又能处理的方程来。下面从经济，材料学科及物理化学等方面举几个简单例子，说明微分方程在实际生活中的普遍性及重要性。微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用。一、供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为 S=a1+b1P,D=a-b*P. 其中a1,b1,a,b均为常数，且b10,b0；P为实际价格。供需均衡的静态模型为 D=a-b*P， S=a1+b1P，D（P）=S（P）。显然，静态模型的均衡价格为Pe=（a-a1）|（b+b1）对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下商品，瓦尔拉（alras）假设：超额需求D(P)-S(P)为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t时刻价格的变化率与超额需求D-S成正比，即dP|dt=k(D-S) 于是瓦尔拉假设下的动态模型整理上述模型得其中=lk(b+b1)0,这个方程的通解为假设初始价格为P(0)=P0,代入上式得C=P0-Pe,于是动态价格调整模型的解为假设初始价格为P(0)=P0,代入上式得，C=P0-Pe,于是动态价格调整模型的解为由于l0，故 微分方程在研究材料的力学性能、物理性能、热传导和质量传输方面都起到了很大的作用。王秀芬利用微分方程模型对温控材料受力弯曲变形进行了研究。结合数学建模思想及材料力学相关知识对温控设备受力时发生弯曲变化情况，通过实例建立微分方程模型，通过对模型的分析研究寻求温控设备能自动调节温度的最佳规律。她利用求解细杆弯曲变形的问题时常建立挠曲轴近似微分方程然后求解，带入已知条件后推导出模型。通过对模型的分析她发现，当细杆发生弯曲时，弹簧与钢臂的夹角不为90，且弹簧的长度相对于未发生变形时发生变化，因此她结合已知条件后改进了模型。通过计算结果发现，相对误差很小，实际值与计算值吻合程度很高，模型相当准确，可用于精确求解细杆的弯曲情况。李茂林研究金属材料表面微凸结构对模具与工件接触区域上的非局部摩擦效应，在楔形模宽条料超塑性拉拔加工问题中，首次采用Oden等提出的非局部摩擦定律代替经典的库仑摩擦定律，利用主应力法或工程法建立了相应问题的微积分形式的力平衡方程。在简化的情况下，采用摄动法求得所论问题的近似解，并分析了影响应力的非局部效应的相关因素。在宏观范围内考虑非局部效应，库仑摩擦模型得到的结果与非局部摩擦模型得到的结果较接近，而从Oden等人的分析可知，非局部摩擦模型反映了金属材料微凸结构对应力分布的非局部效应，比库仑摩擦模型更客观地反映了摩擦形成的实际情况。微分方程广泛用于研究材料的力学性能（如受力变形、加工过程受力、振动和裂纹）、物理性能（如求磁导率、高温强度）、热传导（温度场模拟）和质量传输（浓度扩散）。通过检验表明，计算结果与实际吻合较好，有一定的实际应用价值；微分方程还未全面应用于材料科学研究的各个方面，有待于进一步扩大微分方程在材料科学研究中的应用。 我们在学习物理化学时也了解到在量子力学基本假设，原子结构和性质中用到了大量微分方程，所以微分方程在物理化学中也做出了很大贡献。薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。这是一个二阶线性偏微分方程，(x，y，z)是待求函数，它是x,y,z三个变量的复数函数（就是说函数值不一定是实数，也可能是虚数）。式子最左边的倒三角是一个算符，意思是分别对(x，y，z)的x,y,z坐标求偏导的平方和。这是一个描述一个粒子在三维势场中的定态薛定谔方程。所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。其中，E是粒子本身的能量；U(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。薛定谔方程有一个很好的性质，就是时间和空间部分是相互分立的，求出定态波函数的空间部分后再乘上时间部分e(-t*i*2/h)以后就成了完整的波函数了。为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即=(x，y，z，t)。将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定 就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。波函数因此就称为概率幅。 电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)： 即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量