金融工程与物理学.pdf

自 蜒杂 志2 2 卷3 期 综合考察 周 亚萍讲师 江 苏洛 社师 范学 校 无锢 2 1 4 1 8 7 钦佩教 授 博 士生 导师 南京 大学 生物 系 南 京 2 1 0 0 9 3 l E o s t a n z a R A n l n t r a d u a o nt o e l f B o c a R吐m 2 n l 几 d a o e F 1 9 97 l 舾 8 3 1 0 7 1 0 5 儿 0 J a n s s o n A M d f 1 v o t i n g in m咖 凸 p Wa s hi m D C Co e l o C a l if o nfi a l s la n d Pr e s s 1 9 9 7 3 0 2 4 2 5 2 2 2 3 2 4 31 孙 刚等 应 用生态 学报1 9 9 9 1 0 3 3 6 5 3 6 8 马洪主编 王军著 可持续发展 北京 中国发展 出版社 1 9 9 7 钦佩等 编著生态 工程学 南京 南京大 学 出版 杜 1 9 9 8 王遵亲等编 中国盐演土 北京 科学出版杜 1 9 9 3 钦佩 安树青译 盐土农业 北京 海洋出版杜 1 9 9 3 q m P e J S p a r fi n a g r e e f o o dmo J r i e a l mg i n e e n i n g E e l 睁 g n 睹 1 9 9 8 I I 1 4 7 1 5 6 I n v e s t i n gi n Na t m a l Ca p i t a Z ho u Ya p i n g 9 Q i n P e 产 F t o r b ri a r 成衄 y脚 i o g 叭 b l a s k e r 21 4 1 8 7 P r 2 S u p p o r t e r D C a r d M a B o g y脚 j in g Un l v脯 21 0 0 9 3 X wo r ds n m c 日 pI i n v t me n t s t a h mb l e d e v e l o p me n t ll l c 一 c u l t u r e 金 融工 程 与 物 理 学 f 季 祖 荣 同 济 大 学 物 理 系 一 7 口 一 L 关键词期权 定价布莱克 一舒 尔斯公式布朗运 动金融工程物理学 一 一 一 本文从著 名的期权定 价公式 B S 公 式 与物 理学 中的 布朗运 动 的密 切联 系 指 出金 融 工程 需要 物理 学和 物理学 家 金融学 向定 量科学发展 是历史 必然 物理学 家参与金 融工 程是 势 在必 行 但 是金 融 工程 是 一项很 大 的综合 工 程 构造物理模型 只是它 的一部分 且 要走 的路还很 长 目前也许 还只是 要一 些粗线条 模型 精雕 细刻还不 是时候 最 近 国内一些报 章杂 志纷纷 刊 登 了有关数 理金 融 的介绍性的文章 也出版了一些书 1 和成立 了一些研 究中心 等等 呈现出国内积极倡导数理金 融研究 的一 派方兴未艾 的态 势 形成这 一态 势 的原 因也许 是受 国际 上金 融工程迅速发 展 以及 1 9 9 0 年 和 1 9 9 7 年 的诺 贝尔经 济学 奖 分别 授 予 了 马柯 维 茨 H Ma r k o w i t z 夏普 W S Mp e 和米勒 M M i l l e r 以及 莫顿 R Me r t o n 和舒 尔 斯 M S e h o l e s 有关 2 0 世纪 5 0年代初 马柯维茨的投资组 合理论 首先将数理工具引入到了金融研究中 被看作 是 数 理金融 的起 端 在 此之 前 金 融学 的研究 只是 定性 的 描 述性的 1 9 7 3年 叉 由布莱 克 F B l a c k 和舒尔 斯建 立起 了期权 定价 公 式 B S公式 这 个 公 式 更 是 数学 化 的 这 两件 事 今 天 已被 看 作 是 华 尔街 的 两 次 数 学 革 命 到 8 0 年代 国际金融界普遍认为 数理金融的基本 框架已经确立 但 自发生 了诸如 1 9 8 7 年 的所谓 黑色星 期一 以及巴林银行垮台等 等事件后 人们相信数理金 融还是有事可做的 这也许就是 目前国际上重新关心数 理金融的原 因 本 文将在 阐明 B s公 式与 物 理 学关 系的 基 础上 指 出物 理学是 现代金融 工程不可缺 少的一部分 一 布朗运动和期权 期权 是现代金 融工程 的核 心工 具 什 么是期权 期 权与布 朗运 动 有 什 么关 系 先说 第 一个 问题 例 如 大 家知道 股 票涨 跌无 序 股 票市 场上 赢 家 输 家都 出现 在 转 眼之 间 为 了规 避买 卖 股票 的风 险 期 权是 一 种有 效 办法 买 方不直接 购买股票 而是 与 卖方 签一 份认 购股票 的合约 在合约中约定股票价格 约定时间和约定数量 在合约到期 欧式期权 或 到期之前 舍到期 日 美式期 权 如果股票 市价高 于约定 价 买 方 以约 定价 购进股 票 而赢 利 否则买 方就放弃 合 约 可见 选 择 买与 不买 的权 利完 全在买方 所 以期权实 际上是 买方 购 买 了一 种选 择 权 故也 称期权 为选 择权 当然 这 是在 买方 看涨 和卖方 看跌的前题下才成交的 所 以这类期权也称买方看涨期 权 自然买方要付给卖方钱 期权费 的 所以 买方最大 损失就 是期权 费 而赢 利理论 上是无 限的 从 上 可见 期 权 是一 种 衍生 品种 现在 它也 早 已成 了一 种交 易 品种 且 品种 繁 多 所 以如 何定 价变 得 十分 重要 了 布莱 克 舒 尔斯 和莫顿 的理论 回答 了这 问题 有 1 6 5 维普资讯 综 合 考 察 Z i r a t Z z V o l 2 2 N 0 3 趣 的是他们的理论 与物理 学中 的布朗运动 密切相关 1 8 2 7 年植物学家布朗 R B r o w n 在显微镜 中观察到 水 中的花粉 或其他 微 小粒 子 线度 1 0 c r n 不停 地 在 作无 规则的运 动 称 此 为 布 朗运 动 布 朗不 了解 产 生这 种运动 的原 因 5 0年后 才有 人 指 出这 是 由于布 朗微 粒 受周 围分子 不断碰撞 随机 力 所 致 但 布朗微 粒周 围有 许许多多水分子 它们对布朗微粒 的碰撞每秒钟达 1 0 次 显然 无法用解 牛顿 力学 方 程 因 方程 中含 有随机 力 敞也称 朗之万 P L a n g e v i n 方程 的办法来确定 布朗微粒 的运动 1 9 0 5 年 爱因斯坦 A E i n s t e i n 另辟途 经 将 布 朗 微粒的运动看作随机运动 在统计物理基础上解决 了这 个 问题爱 因 斯 坦 得 到 的 许 多 结 果 都 被 皮 兰 J B P e r f n 在 1 9 0 8年 作 的实 验所 证 实 至 此 布 朗运 动 的性 质和它 的物理解 释 才基 本完 成H J 先于爱因斯坦 1 9 0 0年法国的巴施利尔 L B a c h e l i e r 将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动 他得到的 方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似 但 由此得 到 的股票价格 可能取 负值 显然与实际不符 所 以巴施利 尔的工 作 只是数 学而没有 实际 意义 从这里 至少有两点值得注意 一是 在爱 因斯坦之 前 虽 已有人 指 出造 成 布 朗粒 子运 动 的 原 因 但 这 不 能 说 已对 布朗运 动作 出 了理论 解 释 而 只是 一 个 想 法 一 个物理理论 不只 要 有 想 法 还 必 须 能将 想 法 翻 译成数学方 程 不能变成 数学 方 程的 想 法 是 没有 意 义 的 由此可见 数学 对于 物理 学来 说确 是 非常 重要 的 二 是 这还不够 还必须从数学 回到物理 即从数学导出的 结果要 与实验作 比较 物理学是以实验为本的 实践是 唯一标准 物理学与数学不同之处也就在此 正因为如 此 巴施 利尔 的工作只能说 是数学 不是物理 爱因斯坦理论 在数学 上是 不 严密 的 一 般 的扩 散方 程是 由福 克 A D F o k k e r 和普 朗克 M P t o k 给 出的 而 它的严格 数学证 明则 是 由柯 莫哥 罗夫 A N K o l m o g o r 埘 给出的 今天 由于数学家的参 与 布朗运动理论 已 有很大发展 应用也已扩展到许多领域 可见 数学家只 有与物理学家很好地结合才有生命力 金融工程 中也应 这样 f 现在再 回头来看 布莱克 舒 尔斯 和莫顿 的期权定价 理论 B s理论的要点是 1 在巴施利尔方程 中 以股票 的相对增益 A S S代替股票的增益 s 2 期权价 格 r 是 S和 时间 的 函数 它的增 益 A f满足 伊托 K l t i o 公 式 3 在巴施利尔方程和伊托公式中都有比例于 A B的 随机 项 B 是布 朗运 动 这是 难 处 理 的项 布 莱 克 舒 尔 斯和莫 顿工作 的妙 处 在 于 将股 票 价 格 和期 权组 合成 一 份组合资产 7 选择 O 和 6使正好能消去 中的随机项 A B 4 因已消去 了随机 项 A B 所 以经 时问 后价格 变动 的风 险 已消 除 已成 了无 风 险资产 按 不存在无风 险套利机会的假 设 内得到的投 资回报 应正比于 即 A if At r 是无风险投资利率 如此 就得到 了 所满足 的微分方程 用到期期权 歇式 期权 价作 为边 界 条 件 布莱 克 和 舒尔 斯 得 到 了它 的解 析解 此 即著名 的 B s 公 式 B s 公 式经过几十 年 的实践证 明是正确的 但 它的 出 生却 不 是一 帆 风顺 的 事 实 上 一 开 始布莱 克 和舒 尔 斯 的论文未被 接受 只是 在他们 自己作 出了与经 验数 据相 符 的 比较 后才 被发表 的 从 这 个侧 面 也 反映 出数学 与物 理 不 同 物理 学注重 的是实 验证 据 所 以 与其 说 B S 公 式是 一 个 数 学 公 式 倒 不 如 说 它 是 一 个 物 理 公 式 更 合适 布莱 克 一舒尔斯 理 论的成 功 使我 们看 到 金融学 中 的股票和期 权 的变 动 与 物理 学 中的 布 朗运 动 竟 有如 此 美妙 的联 系 足见 真正 的科学 总 有 内在联 系 有 分有 合 的 分久必合 合久必分 二 金融工程需要物理学 家 由于布莱克 一舒 尔斯 模 型成 功 的鼓 舞 以及亚 洲金 融危机 等 刺激 许 多 物 理 学 家 和 数 学 家 纷 纷 进 华 尔 街 都想 在 金 融领 域 中一 显 身手 像 所有 的物理 模 型一 样 B S 模 型也是作 了许 许 多 多 近似 的 例 如 1 利 率 r 是常数 显然 实际常常不是这样 2 股票涨落呈高斯 分布 这 意 味 着股 票价 格 的 偏差 总是 落 在 其 平 均值 跗 近 而 1 9 8 7年 的 黑 色 星期 一 就不 是 这样 所 以各 种各 样 的修正 模 型纷 纷 出笼 使 模 型 变得 越 来越 复 杂 但从 物理 学史看 一个 反 映 客 观事 实 的物 理模 型 其 怪 招 都在 物 理 数学 形 式 一般 不 是很 繁 复 的 例如 低温 超 导 中的 B C S 理论 布朗运 动的爱 因斯 坦解 释 以及现 在的 B s 公式等等 再则 华尔街任何一家公 司 目的都是赢利 既不能帮她赢利又不能帮她规避风险的 理论 即使数 学上很 漂亮 对 华尔街也 是 没有 用 的 也 许正 因为 如此 反对 数学模 型进 人华尔 街 的声 音 时 而有之 加上从 1 9 8 7 1 9 9 7 年 1 0年间 在衍生 品的总损失 中 约 2 4 0亿美 元 与模型有关 的损失平均 占了约 2 0 而且逐年增 加 1 9 9 7 年竟达到 4 0 5 1 于是反对之声就更不绝干耳 了 高盛公 司 G o l d m a n S a c h s 公 司 定 量 战 略小组 负责 人 杜曼 E D c m a 1 9 7 3年哥伦 比亚大 学 的物 理学博 士 为 了维护物理模型在金融工程中已取得的成就 也只能要 维普资讯 自然 杂 志2 2卷3 期 综台考察 求 百花齐 放 意 即华尔街 应 给物 理模 型研 究保 留一席 之地 显然 这 样 的反驳 并 不很 有 力 但华 尔街 还 是给数 理模型 专家 留下 了空 间 从 近几 年来许 多年轻 的物 理学 家进 A华 尔 街可 以 为证 譬 如 环 球 时 报 从 去 年 l 0月 2 3日至今年 3 月 9日 介绍 的 1 1 位在 华 尔街 闯荡 的 中 国留学生 中就 有三 位 出 身 于物 理 一位 原 本学 的是 化 学 其余则均是经济学科班出身 又如 同一份报纸今年 3 月 2 4日刊登 了一篇介绍美国猎头公 司如何 网罗人才 的文章 列举 了高盛公 司最近招聘一个职位的故事 今 年年初确有一位哥伦比亚大学 的物理博士进 了高盛公 司 也许 此 就 是文 中 断说 的那 人 华 尔街 之所 以偏爱 物理学家 也许是因为物理学家构造的模型图像清晰数 学简单 因此 比较 易懂 管用 也 许 至少 在 目前 华尔 街 要的只是一些粗线 条的物理模 型 精雕细刻还不是 时 候 华 尔街 有 的是一 流 的 软件 和 硬件 足 可让 物 理学 家 们发挥聪明才智 广泛试验 时至今 日 在他 她 们 的手 中确 已过滤 了许 许 多 多模 型 有 的还正 在 发 挥作 用 有 的则已被 淘汰 了 华 尔街 之外 研究 数理 模 型 的更是 天 马行 空 奇想 连翩 英 国伯 明翰 大 学 的 伊林斯 金 K m 类 比量 子 电动力学 中的基本原 理和方 法 给 出了一 个套 利场 模 型 按此 他重新导出了 B s 公式并给出了套利机会 这在原 来的 B s 模型中是没有 的 但他的模型似乎并未被资深 的金融 专家认可 甚至被 斥之 为 空谈 反对 派总 是有 的 但不 管怎 么说 金 融学 总 要 向定量 科 学 的方 向发 展 物 理 学进入 金 融工 程 势在 必行 虽然 要走 的路还 很 长 但 最终总 会有结果 的 如 高盛 公 司 的杜曼所 说 在 物理学 中 你是 在 与上 帝 比赛 而 在 金 融 学 中 你 是在 与人 比 赛 胜 上帝 很难 更 何况 人 乎 f 三 金融工程是一项综 合性工程 其 实 物 理模 型 只是 金融 工程 中 的一部 分 金融 工 程是 一项 综合 蛀大工程 应有 金融 专 家 物 理学 家 数 学 家和系统工程专家等等共 同参与的大工程 下面的例子 可以很好地说 明系统分析专家在现代金融工程中的重 要作 用 华尔 街 日报 曾刊登 过 一 则消 息 说 某 国一 家银 行有一笔上千万美元的钱被人转走了 几经周转转到了 美 国 而那 家银 行 却 毫无 所 知 这 笔钱 后来 被 一位 原来 研究判剐导弹真伪的专家查 出来了 这家银行也把钱追 回了 这位专家将原来用于识别导弹真伪的程序改变为 用于识别真钱 假钱和黑钱的程序就解决了这个问题 足见系统识别在金融领域中的重要性 不仅如此 这例 子还 提供了一个 重要信 息 玲战结 束 苏 联解 体后 美 国 原 先 在军 界 服务 的大 批 物理 学 家 应用 数学 家 系 统分 析专家等等 纷纷从军事领域转行到 了华尔街 足见 华 尔 街正 在部 署 一场 金 融革 命 这 有 点像 二 次大 战后 原 来在 曼 哈顿工程 中工作 的物 理学 家 数 学 家和工 程学 家纷纷转到各大学和研究部门 静下心来研究他 她 们 在曼 哈顿工程 中积累下 来 的许 多基 本 问题 从 而使 基础 研 究在 战后 有 了许 多 重 大 突破 特 别是 计算 机 激光 以 及它们的相关领域的进步更是人所共见 与二次大战后 所不同的是 现在专家们奔 的是华尔街可 断定 未来 的华尔街必 将会 有深 刻的变化 金融 之 威力 从 亚 洲金 融 危 机 可 以看得 很 清楚 原 本经济 很 有活 力 的东 南 亚 1 9 9 7年 的 l 月 一瘦之 间 数 百亿美元 被 调 得 无 影 无 踪 致 使 东南 亚 的 经拼 陷 于 瘫 痪 元气犬伤