1.1.1 任意角（特色班教学设计）.doc

1.1.1 任意角【课题】：任意角方案二：【设计与执教者】：广州六中，张萍，【学情分析】：本课是在初中学生学过的过之间的角的概念的基础上将角的概念推广到任意角，其原理类似于将正数推广为全体实数，使学生可以在自己已有经验（生活经验、数学学习经验）的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念。探索由角所在象限，判断或所在象限的关系并予于应用. 一、知识与技能1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；2、象限角的概念；3、终边相同的角的表示方法；二、过程与方法1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；2、掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；三、情感态度与价值观树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.【教学难点】：终边相同的角的表示.【课前准备】：几何画板课件。【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、课程引入教师提问：1复习：初中是如何定义角的？教师讲解：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”教师提问：2生活中很多实例会不在改范围教师讲解：体操运动员转体720，跳水运动员向内、向外转体1080经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）鼓励学生自己回忆角的概念，为探索新知识做准备.结合具体实例，感受角的概念推广的必要性。二、探究新知【探究新知】1角的概念的推广“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=-150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角记法：角或 可以简记成意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了1 角有正负之分： 如：a=210 b=-150 g=6602 角可以任意大： 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080）3 还有零角： 一条射线，没有旋转角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样2“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30、390、-330是第象限角，300、-60是第象限角，585、1180是第象限角，-2000是第象限角等3终边相同的角 观察：390，-330角，它们的终边都与30角的终边相同探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和： 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 结论：所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合： 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和注意以下四点：(1) (2) a是任意角；(3)与a之间是“+”号，如-30，应看成+(-30)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍教师出示例题：例1. 在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）解：，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角。小结：要求学生能在范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础。教师出示例题：例2.写出终边在轴上的角的集合.解：在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角。因此，所有与角终边相同的角构成集合，而所有与角终边相同的角构成集合，探究：怎么将二者写成统一表达式？终边在轴上的角的集合=小结：让学生理解终边在坐标轴上的角的表示。教学中引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意用简约的形式。引申：写出所有轴上角的集合a|a=k360,kZ a|a=k360+180,kZ a|a=k180,kZa|a=k360+90,kZa|a=k360+270,kZ a|a=k180+90,kZ a|a=k90, kZ a|a=k90+45, kZ a|a=k45, kZ (最后两个可以放在例3后再处理)教师出示例题：例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.解：在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是，在范围内，终边在上的角有两个：，。因此，终边直线在上的角的集合=。适合的元素是：，小结：让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示。教师出示例题：例4 写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界) 解：.(1)60k360255k360，kZ(2)120k36045k360，kZ教师出示例题：例5.若是第二象限角，则或是第几象限的角？解：方法1 因为是第二象限角，即，所以，。所以是第三或第四象限角或者是轴的负半轴上的轴线角，是第一象限角（为偶数时）或第三象限角（为奇数时）。方法2 作直角坐标系，将各象限二等分并编号，如图1-1-1所示。是第二象限角，则是第三或第四象限角或者是轴的负半轴上的轴线角。是第二象限角，是第一象限角或第三象限角。小结：由角所在象限，判断或所在象限的一般步骤：在直角坐标系中，从原点出发作射线把每个象限等分；由轴正向起，按逆时针方向，将分割所得的个区域依次标上1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，如图1-1-5所示。若为第象限角，则的终边在标号为的区域。若所在的第象限角含标号为的区域，则的终边在第象限以及它们的分界半轴上直接给出任意角的概念。利用新概念重新认识问题，并加深任意角的了解。为了讨论方便，在直角坐标系中研究角，并给出象限角的概念，同时也为下一步研究三角函数奠定基础。从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。由具体到一般，认识终边相同的角的关系及其表示。使学生能够熟练写出终边相同的角的集合，并判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础。让学生理解终边在坐标轴上的角的表示。教学中引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意用简约的形式。让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示。让学生表示终边在已知直线的角，巩固终边相同的角的表示。由角所在象限，判断或所在象限的方法引申出判断或所在象限的一般方法。三、练习巩固1锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90的角是锐角吗？090的角是锐角吗？2已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？(1)420，(2)-75，(3)855，(4)-5103. 在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：； ； 。4. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来.； 。5若是第四象限角时，则， 分别是第几象限的角？答案：1答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；090的角可能是零角，故它也不一定是锐角总结有关角的集合表示锐角：|090，090的角：|090；小于90角：|902答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角 3. 解析：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角。，第四象限角； ，第一象限角； ，第三象限角。4. 解析：用集合表示法和符号语言写出指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角。，； ，。注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.5解析：因为是第四象限角，所以，所以，所以得终边在第二、第三或第四象限；所以，所以得终边在第二或第四象限；所以，所以得终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上。巩固知识，培养技能.四、拓展与提高1终边在第一或第三象限角的集合是 .2若是第二象限的角，则是（ ） A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3集合,则等于（ ） A BC D 4如图1-1-6，终边落在阴影部分的角的集合是（ ）A BCD 5若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ；若角与的终边关于原点对称，则与的关系是 ；若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 。6为第四象限角，则2在 .答案：1解析：k18090k180，kZ2解析：是第二象限的角，所以，所以，所以，故选A。3解析：当时，；当时，；当时，；当时，；答案：C4解析：如图1-1-6，阴影部分的角是从到的角，故选C。5解析：若角与的终边关于轴对称，则，则与的关系是；若角与的终边关于原点对称，则，则与的关系是；若角与的终边关于轴对称，则，则与的关系是。答案：；。6解析：.第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上。 引导学会逆向思考.加深对角的概念及相关性质的理解.巩固知识，培养技能.五、小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限本节课重点是学习终边相同的角的表示法严格区分“终边相同”和“角相等”；“轴线角”“象限角”和“区间角”；“小于90的角”“第一象限角”“0到90的角”和“锐角”的不同意义.用集合的形式表示象限角以及轴线角（终边在坐标轴上的角）（1）象限角：第一象限的角表示为a|k360ak360+90，（kZ）；第二象限的角表示为a|k360+90ak360+180，（kZ）；第三象限的角表示为a|k360+180ak360+270，（kZ）；第四象限的角表示为a|k360+270ak360+360，（kZ）； 或a|k360-90ak360，（kZ）（2）轴线角：终边在x轴正半轴上的角的集合：a|a=k360， kZ；终边在x轴负半轴上的角的集合：a|a=k