第8章 回归的正交设计.doc

221 第第 8 章章 回归的正交设计回归的正交设计 教学目标 教学目标 1 掌握一次回归正交设计及统计分析方法 2 掌握二次回归正交组合设计及统计分析方法 正交设计是一种重要的科学试验设计方法 它能够利用较少的试验次数 获得较佳的 试验结果 但是正交设计不能在一定的试验范围内 根据数据样本 去确定变量间的相关 关系及其相应的回归方程 如果使用传统的回归分析 又只能被动地去处理由试验所得到 的数据 而对试验的设计安排几乎不提出任何要求 这样不仅盲目地增加了试验次数 而 且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息 造成在多因素试验的分析中 由于 设计的缺陷而达不到预期的试验目的 因而有必要引入把回归与正交结合在一起的试验设 计与统计分析方法 回归正交设计 回归设计就是在因子空间选择适当的试验点 以较少的试验处理建立一个有效的多项 式回归方程 从而解决生产中的最优化问题 这种试验设计方法称为回归设计 随着生产与科学技术的发展 在工农业生产中为了实现以较少的生产投资 获得最大 的经济效益 经常需要寻求某种产品 材料试验的最佳配方 试验条件与工艺参数以及建 立生产过程的数学模型 特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点 使得在每个 试验点上能获得比较充分 有用的信息 减少试验次数 并使其数据分析能提供更为科学 充分 有用的信息 解决上述问题比较理想的方法就是通过回归设计进行试验 建立相应 的数学模型 寻求最佳生产条件和最优配方 回归设计始于 20 世纪 50 年代初期 发展至今其内容已相当丰富 包括回归的正交设 计 回归的旋转设计 回归的最优设计以及回归的混料设计等 本章只介绍回归的正交设 计 8 1 一次回归正交设计与统计分析一次回归正交设计与统计分析 当试验研究的因变量 如加工罐头质量 与各自变量 如杀菌方式 产品配料等 之 间呈线性关系时 可采用一次回归正交设计的方法 8 1 1 一次回归正交设计的一般方法一次回归正交设计的一般方法 一次回归正交设计的方法原理与正交设计类似 主要是应用二水平正交表进行设计 如 等 其设计的一般步骤为 2 3 4 L 2 7 8 L 2 11 12 L 2 15 16 L 确定试验因素的变化范围 根据试验研究的目的和要求确定试验因素数 m 并在此 基础上拟订出每个因素的变化范围 回归正交试验设计的因素一般都大于 3 个 但也不 j Z 能太多 否则处理过多 方案难以实施 各试验因素取值最高的那个水平称为上水平 以 Z2j表示 取值最低的那个水平称为下水平 以 Z1j表示 两者之算术平均数称为零水平 以 Z0j 表示 222 8 1 2 120jjj ZZZ 上水平和零水平之差称为因素 Zj的变化间距 以 j表示 即 8 jjj ZZ 02 2 12jjj ZZ 2 对因素的各水平进行编码 即对的各水平进行线性变换 其计算公式为 j Z j Z 8 jjijij ZZx 0 3 例如 某试验的第一个因素 其 Z11 4 Z21 12 Z01 8 则各水平的编码值为 14 812 04 88 14 84 1012121 1010101 1011111 ZZx ZZx ZZx 经过上述编码 就确定了因素与的一一对应关系 即 j Z i x 下水平 1 4 1111 xZ 零水平 0 8 0101 xZ 上水平 1 12 2121 xZ 对因素 Zj的各水平进行编码的目的是为了使供试因素 Zj各水平在编码空间是 平等 的 即它们的取值都是在 1 1 区间内变化 而不受原因素 Zj的单位和取值大小的影响 因此 在对供试因素 Zj各水平进行了以上的编码以后 就把试验结果 y 对供试因素各水平 Zi1 Zi2 Zim的回归问题转化为在编码空间试验结果 y 对编码值 的 1 i x 2i x im x 回归问题 因此 我们可以在以 为坐标轴的编码空间中选择试验点 进 1 x 2 x m x 行回归设计 这样的设计还大大简化计算手续 今后 不论是一次回归设计还是二次回归 设计 我们都先将各因素进行编码 再去求试验指标 对 的回归方程 1 x 2 x m x 这种方法在试验设计中是经常被采用的 选择适合的 2 水平正交表进行设计 在应用 2 水平正交表进行回归设计时 需以 代换表中的 2 以 代换表中的 并增加 水平 这种变换的 目的是为了适应对因素水平进行编码的需要 代换后正交表中的 和 不仅 表示因素水平的不同状态 而且表示因素水平数量变化的大小 原正交表经过上述代换 其交互作用列可以直接从表中相应几列对应元素相乘而得到 因此原正交表的交互作用列 表也就不用了 这一点较原正交表使用更为方便 在具体进行设计时 首先将各因素分别安排在所选正交表相应列上 然后将每个因素 的各个水平填人相应的编码值中 就得到了一次回归正交设计方案 例如 现有某 3 因素 食品调香试验 3 个因素 即 Z1 香精用量 Z2 着香时间 Z3 着香温度 其因素水 223 平及编码值如表 8 1 所示 表表 8 1 3 因素试验水平取值及编码表因素试验水平取值及编码表 因素Z1 mL kg 物料 Z2 hZ3 上水平 1 零水平 下水平 1 变化间距 j 17 12 7 5 22 6 16 9 4 6 6 45 7 35 24 3 10 7 本试验为 3 个因素 如果除考察主效外 还需考察交互作用 则可选用进行设 2 7 8 L 计 即将正交表中的 1 改为 2 改为 1 且把放在 1 2 4 列 321 xxx 上 这时只要将各供试因素 Zj的每个水平填人相应的编码值中 并在 0 水平处 中心 区 安排适当的重复试验 即可得到试验处理方案 如表 8 2 所示 表表 8 2 3 元元 1 次回归正交设计试验方案次回归正交设计试验方案 处理号x1 Z1 x2 Z2 x3 Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 17 1 17 1 17 1 17 1 7 1 7 1 7 1 7 1 22 6 1 22 6 1 9 4 1 9 4 1 22 6 1 22 6 1 9 4 1 9 4 1 45 7 1 24 3 1 45 7 1 24 3 1 45 7 1 24 3 1 45 7 1 24 3 9 N 0 12 0 12 0 16 0 16 0 35 0 35 零水平安排重复试验的主要作用 一方面在于对试验结果进行统计分析时能够检验一 次回归方程中各参试结果在被研究区域内与基准水平 即零水平 的拟合情况 另一方面 当一次回归正交设计属饱和安排时 可以提供剩余自由度 以提高试验误差估计的精确度 和准确度 所谓基准水平 零水平 重复试验 就是指所有供试因素 Zj的水平编码值均取 零水平的水平组合重复进行若干次试验 例如表 8 2 中零水平试验由 Z1 12 mg kg 物料 Z2 16 h Z3 35 所组成的水平组合 至于基准水平的重复试验应安排多少次 主要应根据对试验的要求和实际情况而定 一般来讲 当试验要进行实拟性检验时 基准 水平的试验应该至少重复 2 6 次 8 1 2 一次回归正交设计实例与一次回归正交设计实例与 SPSS 实现实现 多元线性回归的模型为 8 nixbxbxbby innii 21 22110 4 模型中各系数与常数项通常利用最小二乘法求得 与一元线性回归一样 进行多元线 224 性回归也需要进行回归系数的检验 需要估计回归系数的置信区间 需要进行预测与假设 方面的讨论 根据多元回归时自变量选择的不同 多元回归可以采用不同的计算方法 如 全回归法 Enter 向前法 Forward 向后法 Backward 和逐步回归法 Stepwise 等 全回归法 进行全回归时 所有的自变量进入回归方程 使用这种方法 一般具有较 高的回归系数 但一些对依变量没有显著影响的自变量也可能进入回归方程 向前法 该方法比较所有自变量与依变量的偏相关系数 然后选择最大的一个作回归 系数显著性检验 决定其是否进入回归方程 这种方法的缺点是某自变量选入方程后 就 一直留在方程中 不再剔除 但在较早阶段进入回归方程的当时认为最好的变量在较晚阶 段可能因为它与方程中其他变量之间的相互关系而显得不再重要 因而有剔除的必要 但 向前法作不到这一点 向后法 与向前法相反 向后法又称为 只出不进法 该法首先计算包含所有变量的 回归方程 然后用偏 F 检验逐个剔除对变量无显著影响的自变量 直到每一个自变量在偏 F 检验下都有显著性结果为止 该法得到的结果比全回归法简洁 但变量在向后消元过程 中如果被剔除 它将永远不会在方程中重新出现 而该变量可能在其他变量剔除后又对依 变量有显著影响 逐步回归法 逐步回归法是对向前法的改进 他首先对偏相关系数最大的变量作回归 系数显著性检验 以决定该变量是否进入回归方程 然后对方程中的每个变量作为最后选 入方程的变量求出偏 F 值 对偏 F 值最小的那个变量作偏 F 检验 决定他是否留在回归方 程中 重复此过程 直至没有变量被引入 也没有变量可删除时为止 这样 应用逐步回 归法 既有引入变量也有剔除变量 原来被剔除的变量在后面又可能被引入到回归方程中 来 它是目前应用较为广泛的一种多元回归方法 例例 8 1 为了研究贮藏温度 氧气浓度和二氧化碳浓度对苹果硬度的影响 采用一次 回归正交设计进行试验 用 Z1 Z2 Z3分别代表贮藏温度 氧气浓度 和二氧化 碳浓度 用 y 表示苹果的硬度 kPa 贮藏 120 天时 测定果实硬度 试建立回归方 程并对回归方程进行统计分析 1 因素水平及编码 贮藏温度 氧气浓度和二氧化碳浓度的因素水平及编码见表 8 3 由公式 8 1 式 8 2 和式 8 3 计算各因素的零水平 变化间隔及水平编码 表表 8 3 贮藏温度 氧气浓度和二氧化碳浓度的水平编码表贮藏温度 氧气浓度和二氧化碳浓度的水平编码表 编码 xij Z1 贮藏温度 Z2 氧气浓度 Z3 二氧化碳浓度 上水平 14 02 012 0 零水平06 06 07 5 下水平 18 010 03 0 间隔2 04 04 5 2 制定试验方案 根据研究因素的主效应和互作个数 选择相应的 2 水平正交表进 行试验方案设计 本例为 3 因素 1 级互作有 3 个 共 6 列 可选用正交表经变换 2 7 8 L 后进行试验方案设计 设计时 将由 Z1 Z2和 Z3变换的 和分别置于表的 1 x 2 x 3 x 2 7 8 L 1 2 4 列 各列的 1 和 1 与相应因素的实际上 下水平对应 零水平 中心区 重复 6 次 具体方案见表 8 4 225 表表 8 4 一次回归正交设计试验方案一次回归正交设计试验方案 试验设计试验方案 试验号 x1x2x3Z1Z2Z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 8 0 8 0 8 0 8 0 4 0 4 0 4 0 4 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 10 0 10 0 2 0 2 0 10 0 10 0 2 0 2 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 12 0 3 0 12 0 3 0 12 0 3 0 12 0 3 0 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 3 建立回归方程 贮藏温度 氧气浓度和二氧化碳浓度的一次回归正交试验结果见 表 8 5 表表 8 5 三元一次回归正交设计结构矩阵及计算表三元一次回归正交设计结构矩阵及计算表 处理号 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 500 00 467 35 462 65 462 30 463 15 463 50 460 50 429 80 462 50 465 85 462 75 460 00 463 35 458 35 操作步骤操作步骤 Step1 将表 8 5 所示数据输入 SPSS 数据编辑窗口后 依次选中 Analyze 统计分析 Regression 回归分析 Linear 线性 如图 8 1 所示 即可打开 Linear Regression 对话框 226 图图 8 1 SPSS 数据编辑窗口数据编辑窗口 Step2 将左边 y 选入右边 dependent 因变量 内 x0 x1 x2 x3 x12 x13 x23 选入右边 Independent 自变量 内 在 Method 中选中 Enter 全回 归法 或 Stepwise 逐步回归法 如图 8 2 所示 图图 8 2 Linear Regression 对话框对话框 Step3 按 statistic 按钮后如图 8 3 所示 勾选 Estimates 估计值 Confidence intervals 置信区间 Model fit 回归模式适合度检验 R squared change 相关系 数的平方 并且勾选残差下的 Durbin Watson 然后按 Continue 按钮回到 Linear Regression 对话框 227 图图 8 3 Linear Regression statistics 对话框对话框 Step4 按 Options 按钮 出现 Options 对话框 如图 8 4 所示 然后按 Continue 钮回到主画面 按 OK 结束 图图 8 4 Linear Regression Options 对话框对话框 输出结果及分析 输出结果及分析 用全回归法处理结果如下 表 8 6 为变量输入输出表 表中第二列为输入的变量 第三列为剔除的变量 第四列 表示采用的方法为全回归法 表表 8 6 变量输入输出表变量输入输出表 228 表 8 7 为模型综述表 包括采用全回归模型进行拟合时的相关系数 R 为 0 886 相 关系数的平方 R Square 为 0 785 调整的相关系数平方值 Adjusted R Square 和估计 值的标准误差 Std Error of the Estimate 表表 8 7 模型综述表模型综述表 表8 8是方差分析表 由于F值的显著性概率 Sig 为0 039小于5 所以回归达到显 著水平 说明果实硬度和各因素之间存在显著的回归关系 试验设计方案是正确的 回归 方程式有意义 表表 8 8 方差分析表方差分析表 表8 9为系数分析表 表中列出了常数项和各个自变量对应的非标准化系数 Unstandardized Coefficients 包括常数项和变量系数的取值B及其标准化误差Std Error 标准化系数 Standardized Coefficients 包括Beta值 t值和显著性水平 Sig t 值的显著性概率 Sig 表明 果实硬度与 和的回归关系均达到显著水平 而y 1 x 2 x 3 x 一级互作 均不显著 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 表表 8 9 系数分析表 全回归法 系数分析表 全回归法 综合以上信息可得 用全回归法求得的多元回归方程式为 463 004 9 419 9 844 7 919 0 756 0 331 0 156y 1 x 2 x 3 x 21x x 31x x 32x x 将不显著因子 剔除后回归方程为 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 x 229 463 004 9 419 9 844 7 919y 1 x 2 x 3 x 用逐步回归方法处理结果如下 表 8 10 为采用逐步回归法得到的系数分析表 表表 8 10 系数分析表 逐步回归法 系数分析表 逐步回归法 由表 8 10 可知 用逐步回归方法求得的多元回归方程式为 463 004 9 419 9 844 7 919y 1 x 2 x 3 x 8 2 二次回归正交组合设计与统计分析二次回归正交组合设计与统计分析 当使用一次回归正交设计时 如果发现拟合程度不理想 就说明使用一次回归设计不 合适 需要引入二次回归正交设计 作为寻找最优工艺参数 最佳配比组合和最适研究条 件的食品试验研究 其试验多数为二次或更高次反应 因而研究二次回归正交组合设计十 分必要 8 2 1 二次回归组合设计二次回归组合设计 当有 m 个自变量时 二次回归方程式的一般形式为 a m j aj jj ji ajaiij m j ajj xxxxy 1 2 1 00 回归系数的个数 包括 因此 0 2 1 2 1 2 2 2 mmCmCmQ mm 回归方程的剩余自由度为 8 5 2 2 mr CNdf 式中为试验处理数 N 为了使回归方程比较可信 要想获得个变量的二次回归方程 全面组合试验的试验m 处理数 N 至少应该大于 才能使得剩余自由度不致于太小 但为了使试验在实际操Q r df 作中经济可行 试验的处理数 N 又不能太大 因此 试验处理数 N 的确定成为关键 同时 为了计算二次回归方程的系数 每个因素所取的水平数应 3 故 m 个因素 自变量 的 230 三水平全面试验的试验处理数 m N3 表 8 11 列出了不同自变量数目 m 2 6 时 二次回归下三水平全面试验的剩余自 由度 可见 大多数三水平全面试验中 试验处理数和剩余自由度太大 因而工作量 r df 太大 组合设计则可解决这一矛盾 表表 8 11 全面试验与组合设计的剩余自由度全面试验与组合设计的剩余自由度 三水平全面试验组合设计1 2 实施 因素数 m Q N r dfN r dfN r df 269393 3102717155 41581662510 5212432224322276 62872970177494517 组合设计是指在参试因子 自变量 的编码空间中选择几类不同特点的试验点 适当 组合而形成试验方案 由于组合设计可选择多种类型的点 且有些类型点的数目又可适当 调节 故组合设计要比全面试验灵活 并且也更为科学实用 二次回归正交组合试验设计 一般由下面 3 种类型的点组合而成 1 二水平析因点 这些点的每一个坐标 都分别各自只取 1 或 1 这种试验点 的个数记为 当这些点组成二水平全因素试验时 若根据正交表配置二水平 c m m c m2 部分实施 1 2 或 1 4 等 的试验点时 这种试验点的个数或 调 1 2 m c m 2 2 m c m 节这个 就相应地调节了误差 剩余 自由度 c m r df 2 轴点 这些点都在坐标轴上 且与坐标原点 中心点 的距离都为 即这些点 只有 1 个坐标 自变量 取或 而其余坐标都取零 这些点在坐标图上通常都用星 号标出 故又称星号点 其中称为轴臂或星号臂 是待定参数 可根据正交性或旋转性 的要求来确定 这些点的个数为 记为 m2 r m 3 原点 又称中心点 基准点 即各自变量都取零的点 本试验点可作一次 也 可重复多次 其次数记为 调节 显然也能相应地调节误差 剩余 自由度 0 m 0 m r df 上述 3 种类型试验点个数的和 就是组合试验设计的总试验点 处理 数 即 N 8 6 0 2mmmN c 例如 2 二因素 与 二次回归正交组合设计 由 9 个试验点组成 其试m 1 x 2 x 验处理组合如表 8 12 所示 表表 8 12 二元二次回归正交设计水平组合表二元二次回归正交设计水平组合表 231 处理号 1 x 2 x说明 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 二水平 1 和 1 的全因素试验点 22 4 c m 5 6 7 8 0 0 0 0 分布在 分布在和和坐标轴上的试验点坐标轴上的试验点 2 2 4 m 1 x 2 x 900 和均取零水平 0 m 1 x 2 x 二因素 二次回归组合设计的结构矩阵如表 8 13 所示 1 x 2 x 当 三因素 二次回归正交组合设计 则由 15 个试验点组成 3 m 1 x 2 x 3 x 其试验水平组合如表 8 14 所示 表表 8 13 二元二次回归组合设计的结构矩阵二元二次回归组合设计的结构矩阵 实验号 0 x 1 x 2 x 21x x 2 1 x 2 2 x 1111111 211 11 31 11 41 11 51 2 61 2 71 2 81 2 91 表表 8 14 三元二次回归正交设计水平组合表三元二次回归正交设计水平组合表 处理号 1 x 2 x 3 x说明 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 这 8 个点组成 2 水平 1 和 1 的全因子试验 23 8 232 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 10 11 12 13 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这 6 个试验点分布在轴上的试验点 321 xxx 15 由的零水平组成的中心试验点 321 xxx 三因素二次回归设计的结构矩阵如表 8 15 所示 321 xxx 表表 8 15 三元二次回归组合设计的结构矩阵三元二次回归组合设计的结构矩阵 试验号 0 x 1 x 2 x 3 x 21x x 31x x 32x x 2 1 x 2 2 x 2 3 x 11111111111 2111 11 1 1111 311 11 11 1111 411 1 1 1 11111 51 111 1 11111 61 11 1 11 1111 71 1 111 1 1111 81 1 1 1111111 91 00000 200 101 00000 200 1110 00000 20 1210 00000 20 13100 00000 2 14100 00000 2 151000000000 233 可以看出 组合设计具有以下明显的优点 它可使剩余自由度适中 大大地节省 r df 试验处理数 N 见表 8 11 及表 8 16 且因子数越多 试验次数减少得越多 组合设计的 试验点在因子空间中的分布是较均匀的 组合设计还便于在一次回归的基础上实施 若一 次回归不显著 可以在原先的个 二水平全面试验的或部分实施的 试验点基础上 补 c m 充一些中心点与轴点试验 即可求得二次回归方程 这是组合试验设计的又一个不可比拟 的优点 表表 8 16 二次回归组合设计试验点数二次回归组合设计试验点数 8 2 2 正交性的实现正交性的实现 由表 8 11 和表 8 15 可见 在加人中心点与轴点后 一次项 与乘积项 1 x m x 并没有失去正交性 即 而 jix xji m j j x 1 0 ji jix x0 21 mi 项和二次项 则失去了正交性 即 0 x 2 1 x 2 m x 0 0 02 02 2 1 22 1 2 0 2 1 2 1 00 caj N aic N aja c N aj N ca mxxmmxx mxmmmx 为了获得正交性 首先应该对平方项 进行中心化变换 即令 2 1 x 2 m x 8 Nmxx N xx caj N ajajaj 2 1 22 1 22 7 11 Nmj 因素数 m选用正交表表头设计 c mm2 0 mNQ 2 3 4 2 L1 2 列22 42 2 4196 3 7 8 2 L1 2 4 列23 8 2 3 6 11510 4 2 15 16 L1 2 4 8 列24 16 2 4 8 12515 5 31 32 2 L1 2 4 8 16 列25 32 2 5 10 14321 5 1 2 实 施 15 16 2 L1 2 4 8 15 列25 1 6 2 5 10 12721 234 这样变换后的项与项正交 m xxx 210 x 0 1 0 N aja xx 1 mj 其次 我们可取适当的轴臂 使变换后的项之间正交 m xxx 21 8 8 0 1 aj N aix x 21 mjji 将 8 6 与式 8 5 式代人 上式变为 Nmm cc 2 0 22 2 1 2 1 4 0 24 mmmm N cc 即 8 9 0 2 1 2 1 0 24 mmmm cc 由于 0 所以为了达到正交性 使式 8 7 亦即 8 8 式成立 只须使 8 2 2 2 0 2 mmmmm ccc 10 当试验因素数和零水平重复次数确定时 值就可以通过上式计算出来 为了m 0 m 设计方便 将由上式算得的一些常用值列于表 8 17 表表 8 17 二次回归正交设计常用二次回归正交设计常用值表值表 因素数 m 0 m 234 5 1 2 实施 5 6 1 2 实施 6 7 1 2 实施 11 000001 215411 414211 546711 596011 724431 760641 88488 21 078091 287191 482581 607171 661831 784191 824021 94347 31 147441 353131 546711 664431 724431 841391 884882 00000 41 210001 414211 607171 718851 784191 896291 943472 05464 51 267101 471191 664431 770741 841391 949102 000002 10754 61 319721 524651 718851 820361 896292 000002 054642 15884 71 368571 575041 770741 867921 949102 049152 107542 20866 81 414211 622731 820361 913612 000002 096682 158842 25709 91 457091 668031 867921 957592 049152 142722 208662 30424 101 497551 711201 913612 000002 096682 187382 257092 35018 111 535871 752451 957592 040962 142722 230732 304242 39498 例如 在 2 4 且 1 的情形下 由表 8 16 可查得 1 在此需m c m m 2 0 m 要对所有平方项进行中心化变换 即 3 2 2 ajaj xx 235 变换后使得 实现了结构矩阵的正交性 从而可以拟出经中心化变换后的0 aj x 二元二次回归正交设计的结构矩阵如表 8 18 所示 类似地可拟出三元二次回归正交设计的 结构矩阵如表 8 19 所示 表表 8 18 二元二次回归正交组合设计的结构矩阵二元二次回归正交组合设计的结构矩阵 实验号 0 x 1 x 2 x 21x x 1 x 2 x 111110 3330 333 211 0 3330 333 31 0 3330 333 41 0 3330 333 511 0 333 0 667 61 0 333 0 667 71 1 0 6670 333 81 0 6670 333 91 0 667 0 667 表表 8 19 三元二次回归正交组合设计的结构矩阵三元二次回归正交组合设计的结构矩阵 试验 号 0 x 1 x 2 x 3 x 21x x 31x x 32x x 1 x 2 x 3 x 111111110 270 270 27 2111 11 1 10 270 270 27 311 11 11 10 270 270 27 411 1 1 1 110 270 270 27 51 111 1 110 270 270 27 61 11 1 11 10 270 270 27 71 1 111 1 10 270 270 27 81 1 1 11110 270 270 27 911 215000000 746 0 7 3 0 73 101 1 21 5 000000 746 0 7 3 0 73 11101 2150000 0 730 746 0 73 1210 1 21 5 0000 0 730 746 0 73 131001 215000 0 73 0 7 3 0 746 14100 1 215000 0 73 0 7 3 0 746 236 151000000 0 73 0 7 3 0 73 8 2 3 二次回归正交组合设计的一般方法二次回归正交组合设计的一般方法 与一次回归正交设计类似 二次回归正交组合设计的方法 同样是在确定试验因素的 基础上拟定每个因素的上下水平 上水平以表示 下水平以表示 两者之算术平均 j Z2 j Z1 数为零水平 以表示 见式 8 1 把上水平和零水平之差除以参数 值可从表 j Z0 8 17 查出 称为因素的变化间距 以表示 即 j Z j 8 j j Z2 j Z0 11 对每个因素的各个水平进行编码 所谓编码就是对因素水平的取值作如下线性变换 j Z 8 jjijij ZZx 0 12 这样就建立了各因素与取值的一一对应关系 得到如下因素水平编码表 表 8 20 ij Z ij x 表表 8 20 因素水平编码表因素水平编码表 编码Z1Z2 Zm Z21Z22 Z2m 1Z01 1Z02 2 Z0m m 0Z01Z02 Z0m 1Z01 1Z02 2 Z0m m Z11Z12 Z1m 根据试验因素的个数 选择适当的二水平正交表 加上与的试验点 即设计 m 0 m 成试验方案 8 2 4 二次回归正交组合设计实例与二次回归正交组合设计实例与 SPSS 实现实现 1 例例 8 2 用二次回归正交设计分析茶叶出汁率与榨汁压力 P 加压速度 R 物料量 W 和榨汁时间 t 的关系 经初步试验得知 榨汁压力 加压速度 物料量和榨汁时间各因 素对出汁率的影响不是简单的线性关系 而且各因素间存在不同程度的交互作用 请用二 次回归正交设计安排试验 建立茶叶出汁率和各影响因素间的回归方程 各因素的变化范 围为 压力 5 8 at 490 784kPa 加压速度 l 8at s 98 748kPa s 物料PR 量 100 400g 榨汁时间 2 4 min Wt 237 设计方法 确定值 及 根据本试验目的和要求 确定 8 c m 0 m c m m 2 3 2 查表 表 8 17 得 1 546 0 34mm 确定因素的上 下水平 变化间距以及对因子进行编码 表 8 21 表表 8 21 3 因素因素 2 次组合设计水平取值及编码表次组合设计水平取值及编码表 编码 P at 1 x R 2 x at s W g 3 x t min 4 x 884004 17 476 7643473 646 06 54 52503 15 532 2361532 354 511002 j 0 972 26970 647 计算各因素的零水平 计算各因素的零水平 Z01 8 5 2 6 5 Z02 8 1 2 4 5 Z03 400 100 2 250 Z04 4 2 2 3 计算各因素的变化间距 01 8 6 5 1 546 0 97 02 8 4 5 1 546 2 26 03 400 250 1 546 97 04 4 3 1 546 0 647 列出试验设计及试验方案 表 8 22 表表 8 22 四因素二次回归正交组合设计及实施方案四因素二次回归正交组合设计及实施方案 试验设计试验方案试验 号 Z1Z2Z3Z4榨汁压力 P 加压速度 R 物料量 W榨汁时间 t 1 11117 476 7643473 646 2 111 17 476 7643472 354 3 11 117 476 7641533 646 4 11 1 17 476 7641532 354 5 1 1117 472 2363473 646 238 6 1 11 17 472 2363472 354 7 1 1 117 472 2361533 646 8 1 1 1 17 472 2361532 354 9 11115 536 7643473 646 10 111 15 536 7643472 354 11 11 115 536 7641533 646 12 11 1 15 536 7641532 354 13 1 1115 532 2363473 646 14 1 11 15 532 2363472 354 15 1 1 115 532 2361533 646 16 1 1 1 15 532 2361532 354 17 1 54600084 52503 18 1 54600054 52503 19 01 546006 582503 20 0 1 546006 512503 21 001 54606 54 54003 22 00 1 54606 54 51003 23 0001 5466 54 52504 24 000 1 5466 54 52502 25 00006 54 52503 26 00006 54 52503 27 00006 54 52503 试验结果的 SPSS 实现 根据四元二次回归正交组合设计的要求 将各自变量的编码填入相应的结构矩阵中 表 8 23 并进行统计分析检验 239 表表 8 23 四元二次回归正交组合设计结构矩阵及试验结果四元二次回归正交组合设计结构矩阵及试验结果 试验号Z0Z1Z2Z3Z4Z1 Z2Z1 Z3Z1 Z4Z2 Z3Z22 Z4Z3 Z4 1 Z 2 Z 3 Z 4 ZY 1 111111111110 230 230 230 2343 26 2 1111 111 11 1 10 230 230 230 2339 6 3 111 111 11 11 10 230 230 230 2348 73 4 111 1 11 1 1 1 110 230 230 230 2348 73 5 11 111 111 1 110 230 230 230 2347 26 6 11 11 1 11 1 11 10 230 230 230 2342 97 7 11 1 11 1 111 1 10 230 230 230 2350 73 8 11 1 1 1 1 1 11110 230 230 230 2345 33 9 1 1111 1 1 11110 230 230 230 2341 86 10 1 111 1 1 111 1 10 230 230 230 2340 11 11 1 11 11 11 1 11 10 230 230 230 2349 4 12 1 11 1 1 111 1 110 230 230 230 2345 73 13 1 1 1111 1 1 1 110 230 230 230 2345 83 14 1 1 11 11 11 11 10 230 230 230 2340 06 15 1 1 1 1111 11 1 10 230 230 230 2346 4 16 1 1 1 1 11111110 230 230 230 2345 13 17 11 5460000000001 625 0 77 0 77 0 7748 72 18 1 1 5460000000001 625 0 77 0 77 0 7745 48 19 101 54600000000 0 771 625 0 77 0 7746 24 20 10 1 54600000000 0 771 625 0 77 0 7747 52 21 1001 5460000000 0 77 0 771 625 0 7742 53 240 22 100 1 5460000000 0 77 0 771 625 0 7743 2 23 10001 546000000 0 77 0 77 0 771 62549 28 24 1000 1 546000000 0 77 0 77 0 771 62545 92 25 10000000000 0 77 0 77 0 77 0 7748 08 26 10000000000 0 77 0 77 0 77 0 7748 94 27 10000000000 0 77 0 77 0 77 0 7748 06 241 操作步骤操作步骤 Step1 将表 8 23 所示数据输入 SPSS 数据编辑窗口后 见图 8 5 依次选中 Analyze 统计分析 Regression 回归分析 Linear 线性 如图 8 6 所示 即可 打开 Linear Regression 对话框 图图 8 5 SPSS 数据编辑窗口数据编辑窗口 图图 8 6 SPSS 数据编辑窗口 下拉菜单 数据编辑窗口 下拉菜单 Step2 将左边 y 选入右边 dependent 因变量 内 z1 z2 z3 z4 z1 z2 z1 z3 z1 z4 z2 z 3 z2 z4 z3 z4 选入右边 1 z 2 z 3 z 4 z Independent 自变量 内 在 Method 中选中 Stepwise 逐步回归法 如图 8 7 所示 242 图图 8 7 Linear Regression 对话框对话框 Step3 按 statistic 按钮后如图 8 8 所示 勾选 Estimates 估计值 Confidence intervals 置信区间 Model fit 回归模式适合度检验 R squared cha