数学教育研究之关键性论题与发展趋势_郑毓信.pdf

第 7 卷 1 89 9 年 第 4 期 1 1 月 数 学 教育 学报 V ol No v No 4 IOU R A L NOF MA THEMAT ICSDE U CA T IO N 9 91 8 二二二 二二二 二二二 二二二 二二二 二 数学教育研究之关键性论题与发展趋势 郑毓信 摘要介绍和分析了当前数学教育研究的十个关键性论题及其发展趋势 关镶词大众数学建构主义认知 科学问题解决民俗数学 个 人从 整体上去论及 数学教育研究之 关键性论题与 发 展趋势 也许是一件不很 明 智的事 因为这一 题目所涉及的 内容实在太多 更要求作者对 全局有着较好的了解 然而 笔者在此之所以要提出这样一个题目 与其说胸有成竹 还 不 如说有一种责任感 或者说 即是 有 话于胸 不吐不快 具体地说 1997 年 4 月至n月 笔 者先是赴英国从事五个 月的合作研究 其间并应邀对意大利 荷兰 德国的一些著名大学作了学术访问和讲演 然 后 又应香港大学教育学院和台湾中央研究数学研究所的邀请进行两个 月的访 问 从 而就 有机会对 国际上的数学教育研究 特别是台湾的数学教育研究作一些实际的了解 作为一 个直接结果 笔者 曾在另一文章中对台湾的数学教育情况作了介绍 和分析 其中并特别指 明了台湾数学教育所存在 的一些问题 而这事实上就是 旁观者 清 的道理 当然 这种观 察与分析也促使笔者对大陆的数学教育作出反思 而最主 要的体会之一就是感到我 们对 世界上的发展趋势还不能说有很好的了解 更未能从整体上对数学教育的理论研究作出 有效的规划与协调 正是出于这样的考虑 笔者感到就有必要对数学教育研究之关键性议 题与发展趋势作出深入的研究 希望此文能引起数学教育界各位同仁的注 意 及进一步 的 研究 特别是 能依靠集体的 力量对数学教育的理论研究从整体上作出有效的规划和协 调 从而 更好地促进我们的数学教育 1 数学教育的专门化与国际化 所谓 专门化 在此是指数学教育已经成为一门专门的学问 数学教育学 就这方面 的发展而言 国际数学教育委员会 I CM I的成立 无疑是一 个重要的促进因素 另外 众多 数学教育的专门性杂志的存在显然也可被看成所说的专门化的一个证明 最后 特别重要 的是 数学教育研究应当说始终有着自己的特殊问题 并又正是围绕着这些问题 系统的 数学教育理论正在逐步形成 由数学教育的专门化我们也就可以立 即引出如下 的结论 第一 数学教育不应再被看成 完全附属于数学 特别是 尽管我 们应当高度重视数学 家们关于如何搞好数学教育的真知灼见 更应热烈欢迎 并积极 吸引数学家们参与数学 教 育的 研究和 实践 但是 我们 同时也应 明确 反对以下 的现象 即是认为数学家无须对数学 教育的问题作出任何较为深入的专门研究就可随意地对此发表指示性的意见 或者说 即 南京大学哲学系 2 1 93 收稿日期 1 9 98一0 3一1 3 数学 教育 学 报 第 7 卷 是把数学家看成数学教育的唯一主导力量 第二 数学教育学如有其独立存在的必要 无疑应当突出数学教育的特殊性 从而 数 学教育学就不应简单地被等同于 一般教育学 数学的实例 当然 在此我们也应清楚地 看到数学教育与一般 教育之间 的密切联 系 特别是 一般的教育理论应当说对于我们深入 地去开展数学教育的具体研究有 其重要的指 导意义 另外 数学教育日益的国际化 显然也向我们提出了这样 的 警告 在今天 关起门来 称大王 的作法 必将对数学教育的理论研究造成严重的后果 特别 是我们更不能 满足于 经验 总结 型 的数学教育研究 不然的话 在数学教育上我们将与先进国家之间出现越 来越大的差距 此时再去妄谈什么自己的某项研究已经 达到世界先进水平就只能是贻笑 大方 2 数学教育的全民化 数学教育的全民化可以说是社会发展的 必然产物 对此从有关的众 多口号 诸如 大 众数学 素质教育 普及教育 等 就 可清楚地看到 从而 主要的问题已不在于如何对 这一发展的必然性或必要 性作出论述 而 应努力弄清什么是 全 民化的数学教育 的主要 目标 从而有效地防止诸如 大众数学是否就意味着没有数学 此类现象的出现 换句话说 我们应 当明确地肯定 数学教育的全 民化 是与 数学上的高标准 不可分 割的 但是 什么又是所说的 高标准 的具体内容呢 正是从这一角度去分析 由美国科学基 金会所资助 的一项研究 经由数学进行 思考 thinking through mathematies 即可说是为我们提供T有益 的启示 具体地说 这一研究 项目的主要目标就是要探讨 如何教导所有的学生 而不只是少数学 生 经 由数学 课题作 思考 成为能思考的人 显然 这种关于数学教育应以促进学生的思考作为基本目标的提 法 与先前即已存在的 数学教育主 要地就是 应帮助学 生学会数学地思维 的思想是基本 一致的 或者说 前者即是从更大的范围为后 一思 想的合理性作出了论述 当然 就上述目标的具体实现而言 还 有大量的工作要作 特别是 从理论研究的角度 看 我们就应注意研究 数学学习究竟能在 哪些方面促进学 生的思考 我们的数学教学又 应如何具体去促进学 生的思考 例如 由于 思考活动不是在获 得课程内容的 知 能之 后才出现 的 而 是成功的学习过 程中整体的一部分 因此课程 内容须能挑动思考的 灵感 即使在最不起眼 最 基本的 课堂 情境中 亦可 启发思考的泉源 另外 除 内容 的选择 外 在此显然还 涉及 到 了具体的 教学 方法 而国 内 先前即已提出的 以思想 方法的 分析带 动具体知识 内容的 教学 值得大 力的 提倡 3 建构主义与数学教育哲学 80 年代以来 建 构主义无疑 是数学教育乃至一般教育 领域中最为热门的话题之一 并已经产生了十分巨大的影响 以致 在先进国家 中几乎每一个数学 教育工作者现 今都 自 称是一个建构主义 者 然 而 一 个应 当注意 的事 实 却在于 建构 主义既 非一个系统 的 数学 教育理论 也不 是一 个有 着明确目标的 数学 教育改革运动 也正因为此 随着研究的 深入 建构主义本 第 4 期郑筑信 数学教育研究之关健性论题与发展趋势 身就经历了由一元化 极端主义向多元化 辩证综合的重要变化 由于对建构主 义 国内尚 缺乏较为系统的介绍 因此 笔者将另外撰文对建构主义的现代发展及其教育涵义作出更 为专门的分析 在此 则仅限 于从 更为一般的角度对哲学 认识论 与数学教育理论研究之 间的关系作出简要的论述 具体地说 作为学习本质的分析 建 构主义事实上属 于认识论的范畴 从而 在这样的 意义上 建构主义在 数学 教育领域内的兴起就表明哲学的思考正在这一领域中发挥越 来越大的影响 另外 作为这种影响的又一实例 我们还可提到数学观的变革 也即是由静 态的 绝对主义的 机械反映论的数学观转变到了动态的 经验和拟经验的 模式论的数学 观 一般地说 以上两个论 题 即关于学习活动的本质以及什么 是数学 的问题的深入 分 析 就构成了数学教育哲学的研究课题 而后者在现代的迅速发展则就从又一角度表明 了 数学教育的理论研究正在日趋成熟 人们已能从理论的高度对已有的实践作出自觉的反 思 并以此来指 导新活动 事实上 哲学观念 包括数学观和数学教育观 的重要性现已得 到 了普遍的承认 不仅每个数学教师都是 自觉或不自觉地 在一定哲学思想指导下从事 自己的教学活动的 而且 更为重要的是 任何一个数学教育改革运动也必然反映出一定 的哲学观念 任何一个深刻的数学教育理论也必然依赖于哲学上的深入分析与思考 最后 笔者认为 正确的理论思维也是防止我们成为各种错误的时髦口号 即如所谓 的 极端建构主义 等 的不自觉俘虏的一个重要保证 4 认知科学与数学教育 相对于其它 论题而言 这一论题在国内应当说在很大程度上仍是一个尚待于开发的 领域 然 而 在笔者看来 这却又直接关系到 了数学教育学能否成为一门真正的科学 因 为 归根结蒂地说 一切数学教育研究都以帮助 学生学好数学作为最终的 目标 从而 就只 有对学生在学习数学过程中的思维活动有着较为深入 的了解 数学教育学才有可能在科 学的基础上得到健康的发展 具体地说 学生在学习过 程中的 思维活动属于学习心理学的研究范围 也正 因为此 国 际数学教育心理 学组织 IG PME 在近年来就显 得特别活跃 另外 就学习心理学研究 的现代发展而言 我们则又应 当特别强 调由行 为主义向认知主义的转变 从7 0年代起 认 知心理学已取代传统的行为主 义在心理学研究中占据了 主导的地位 后一转变首先是基本立场的转移 人们现已普遍地认识到 心理学的研究不应再象行 为 主义者所主张 的那样局限于可见行 为 而应深入地 去 了解内在 的思维过程 而且 这种 研究也是可以在科学的水平上得以进行的 其次 从理论的角度看 上述的转变则又可以 说是一种语言 理论框架 的转变 因为 认知心理学 的基本观 点就是把人类的知识 包括 学习 过 程看成是一个信息加 工的过程 从而 为了对这一过 程作出刻 划 我们所使用的就 不 应 是传统的 生物学语言 即 如刺激反应联结等 而应是 信息加工的语言 即如 信息的贮存 提取等 显然 上述 的转变事 实上也就为我 们深入地 去 开展数学学习心理 学的研究指 明 了努 力 的方向 即我们应当针对 各 个特定的 学科内容 逐一地 去弄清相应的认知过程与认知结 本 令 数 学教 育 学报 第 7 卷 一 二 二 二二二 二 二 构 尽管学习心理学主要 是一种实证的研究 但是 正如上面 所已提及 的 我们在此又应 明确地肯定理论思维的重要性 事实 上 在这 两者 之 间并可说是存在有一种相互依赖 互 相促进的辩证关系 首先 正是实证的研究为理论 的分析提供了必要 的基础 例如 在笔者 看来 建构主义就是从认识论的高度对认知心理学的具体研究成果进行分析的直接结果 其次 理论 的分析则又为新的实证研究指明了前进的方向 例如 从社会建构主 义 的立场 出发 在数学学习心理学 的研究中 我们就不仅应 当注意研究学生 内在的思维过程 而且 也应注意研究师生之间的互动作用 最后 应当指出的是 与先前单纯的心理学研究相比 现代的研究更多地表现出了跨 学科研究的性质 特别是 所谓的 认知科学 就是 由心理学 人工智能 神经科学 哲学 等 多种学科所组成的一个学科群 从 而 在 一些学者看来 这事实上也就为数学教育的研究 开拓 了一 个新的前景 即应努力 让数学教育的研究发展为认知科学的一个支柱 5 计算机与数学教育 计算机技术的迅速发展与普及已经并将继续对数学教育产生十分巨大的影响 而这 又不仅是指计算机为我们改进数学教学提供了一种新的有效手段 而且也是指这并将对 数学教育的各个方面 包括数学课程的内容选择及组织方式等 产生巨大的冲击 一般地说 关于这一课题的研究事实上也可被看成我国数学教育研究中最为薄弱 的 环节之一进而 由以下的事实 我们也就可以更为清楚地看出迅速改变这种情况的必要性 和紧迫性 具体地说 计算机在数学教学中最初只是作为一种辅助工具得到 了应 用 即如所谓的 学习机 可以取代教师随时起到出题 评判 补救的作用 显然 计算机的这种作用并不能 被认为是必不可少的 但是 计算机在数学教学 中的作用正在发生重 要的变化 按照现 代 的观点 计算机的主要作用就在于 它能为学生学习数学提供一种新的 前所未有 的学习 环 境 现在 的电脑 经适当的 设计 可以呈现出动态画面 供学习者观察 从观察中发现某些 现象 由发现 的现象猜测某些性质 对猜 测的性质进行证明或反证 对证明所 得的 性质加 以推广或一般化或特殊化 从而 这事实上就是 使学生处 在 数学研究 的位置 之上 也即 可以通过自身的探索相对独立地去从事数学的发现 和学习 从而 在上 述 的意义上 数学学习就已从传统的教师 和学生的二 元关系演变成了 学 生 教师和计算机的三元关系 显然 这一转变必将对数学教育的理论研究和实践产生十 分深远的影 响 6 问题解决 鉴 于笔者已曾多次撰文对这一主题进行论述 在此就仅限 于指出这样几点 第一 无论就 问题解决 与数学教育的关系的分析 或是就这方面的理论研究而言 波利亚都应被看成发挥了特别重要的作用 特别是 波利亚关于数学启发法的研究更可说 是为关于解题策略的深入 研究奠定了直接的基础 但是 就问题解决的现代研究而言 其 主要特征之一即是 对于波利亚 的超越 而后者主要是指这样 的认识 即解题策略 以及 对于相应知识成分的掌握 并不能被看成决 定问题解决能力的唯一要素 恰 恰相反 问题 第 4 期 郑坡信 数学教育研究之关键性论题与发展趋势 解决是一 包含 多个环节的复杂过程 从而 我 们就应 注意揭示那些对于解决问题有着十分 重 要的影响 但又往 往为人们所忽视的环节 特别是 我们应 当努力提高学生的元认知水 平 并帮助学生逐步 地树立起较为正确 的数学观和数学学习 教学 观 第二 问题解决 即如 何综合地 创造性地应 用已有的知识和技能去解决那些非单纯 练习题式的问题 包括实际问 题和源自数学内部的 问题 在数学教育中应当说从来就占 有一个比较重要的位置 与此相对照 作为 8 0年代数学教育改革运动的主要口号 其特殊 性 则 主要在于以下 的观念 即 是认为我们应 当以问题解决作为学 校数学教育的中心 从 而 这事实上就涉及到 了教育目标及教学方法等一系 列重要问题 然而 也 正是从后一角度去分析 我们即可清楚地看到 问题解决作为一个数学教育改 革运动的局限性 例如 一个比较明显 的问题就在于 就数学教育的基本目标而言 我们显 然不应唯一地强调解决问题的能力 而应同时注意培养学生提出问题的能力 另外 从已 有的实践看 问题解决也比较容易导致这样的偏向 即无论是学生或教师 都容易满足于 具体解答的获得 而未能从理论的角度去作出进一步的思考和研究 即如对已获得结果的 正确性作出证明 对结论进行推广 从方法论的角度去作出改进等 也正因为此 有不 少数 学家提出 与 问题解决 相比 数学地思维 就是一个更为合适的口号 显然 这即是与 数学教育的全民化 所引出的思考十分一致的 最后 笔者以为 我们在此应对基本的教育目标与具体的教学组织方式作出明确 的区 分 这就是说 尽管我们应 当以帮助学生提高解决问题的能力 学会数学地思维作为数学 教育的基本目标 但是 这并不意味着在数学教学中我们只能唯一地采取问 题解决的 形 式 勿宁说 这里的关键即在于如何处理好具体数学知识内容的教学与思维方法的训练这 两者之间的关系 另外 一个较为可取的方法就在于 我们应当将思维方法的 训练渗透于 具体数学知识 内容的教学之中 也即应当用 思维方法的训练去带动具体数学知识内容的 教学 而不是起取代或排斥的作用 7 民俗数学 民俗数学 e t ho nm at h e m a i c t s 前曾译为 民族数学 也是8 0 年代所提出的一个新的 研究课题 其基本的出发点就在于 我 们应 当清楚地认识到学 生可以通过自己的日常生 活 获得一定的数学知识 而 后者与他们在学校中所 学 到的数学 知识 可称为 学校数学 或 正规数学 很可能是不相同的 或者说 是完全不相干 的 就这方面的进一步研究而言 笔者以为 事实上 包括两个方面的 问题 第一 应当如何 去看待所谓的 民俗数学 特别是 我们是否应当对此采取视而不 见 甚至是完全排斥的 态度 第二 我们又应如何去看待民俗数学与学校数学的关系 特别是 我们是否应当努力 地去实现 由民俗数学向正规数学的转变 应 当说 研究者对于上述 问题的看法是较为 一致的 首先 不管是发达国家还是 发展 中国家的大多数人 民 民俗数学 对 于他们的一 生 的需要和应用是必不可少的 而且 由于 民俗数学知识富有生气的特点 在需要的时候 它就可以作为发展进一步 的知识的 出发点 事实上 在不少学者看来 这也就从又一角度再次向我们提出了这样的问题 即 是如何使我们的数学教学与学生的日常生活更紧密地联系起来 例如 正是基于这样的考 数学教育学报第 7 卷 虑 一些学者更提出了 数学课程 本土化 的口号 其次 民俗数学固然具有直接性 生动性的优 点 但 也正因为此 就其应用而言 通常 就 具有较大的局 限性 或者说 不 具 有 较大的 可迁 移性 从而 我 们也 就应 明确肯定由民 俗数学向正规数学转变的必要性 事实上 在 笔者看来 后一认识并直 接关系到了数 学 的本质特性 数学并非对于真实 事物或现象量性特征的直接研 究 而 是一种模式的科学 更为一般地说 这种 模式论的数 学观 正是现代数学观的一个重要内涵 从而也就有着十分重要 的教育涵义 这就是说 我 们应以模式的观点为核心来组织数学教育 也 即应 当把帮助 学习者逐步建立与发 展分析 模式 应 用模式 建构模式与鉴赏模式的能力作为数学教育的基 本目标 8 数学教育评价 就世界范围而言 数学教育评价相对于其它方面 的研究应当说是一个比较薄弱的环 节 我们应当把数学教育评 价看成是课程 发展研究 更为一般地说 就是数学教育研究 中 整体的一部分 特别是 一些重要 的新的数学教育思想更应在 评价活 动中得 到及 时的 充 分的反映 从而 我们就 可以通过评价获得关于新 的改革运动 的必要 反馈 例如 从问题解决的角度去分析 数学教育评价的 内容显 然就不应局限于数学 的知识 内容 而应包括更多的内容 特别是 应 当充分 反映 学生 对于解题策略 的掌握及其元认知的 水平 另外 即使就知识内容方面 的考核而言 也 应联系学生 在 应用数学 知识求解问题 时 的表现来加以鉴定 最后 由于问题解决是一 个动 态 的过程 因此 我们就应发展起相应的 动态评价方法 即所谓的 动态评价 dy n a mie a s s e s s m ent 最后 值得指出的是 从这样的角度去分析 我们也就可以更为清楚地看到传统考核 方法的弊病 例如 一些数学教育家就从信念的角度对标准化测验对数学的 教 与 学 所 造成的牵制与伤害进行了分析 标准化测验的 正统性 使人误以为数学知识可以分成不 相关联的小部分 标准答案只有 一 个 任何其它的 答案都不可接受 学生与教师 所 要追求 的成绩 必须经 由标准化测验加以鉴 定 以至于学校中的数学教学 对开放性 的问题 避之 唯恐不及 今日常见 的 数学信 仰 念 即拜它之 赐 显 然 这 一分析也为我们 敲响 了警 钟 9 数学师资培养 由以下的介绍可以看出 数学师资培养的研究是与其它方 面的研究相互呼应 互相促 进的 例如 正是基于 对数学教 育与一般教育之 间辩证关系 的认识 人们现已普遍地认识 到 为了培养好数学师资 不能仅仅从一般的角度去进行分析 而 应 具体地界定数学教学 需要哪些知识 这就是所谓的 数学教学知识 k n o w ledg eo f m athe m atie s te aehing 另 外 以下 的分析则显 然反映 了研究思想的 重要转变 即我 们不应唯一地强调 教材的分析与 教法的研究 而应更加重视对于学生在学习数学过程中真实思维活 动 的了解 从而 就 数 学教学知识 的 具体内容而言 就不仅应当包括 数学知识 和 一般教学 知识 而且也 应 包括关于学习者数学认知的知识 除知识成分以外 教师所具有的观 信 念 在教学活动中的重要作用现 也获得了应有 第 4 期 郑坡信 数学教育研究之关键性论题与发展趋势 的重 视 例如 以下就是了解数学教师信念的一个架构 l 数学是什么 2 学数学的意义 是什么 3 教学时应教给学生什么内容 4 数学教师的角色是什么 5 对学 生评价的 准则 是什么 显然 这与以上关于数学教育哲学基本 内容的 分析是十分一致的 从而 也就 十分清楚地表 明 了数学教育哲学 对于教 师观念转变的特殊重要性 另外 建构主义的兴起更可说是为师资培育提供了一个新的思考角度 首先 由于建 构主义提供了关于学习活动 本质的一种新的认识 因此 从 这样 的角度 去分析 我 们 显然 也就应 当对教师在教学活动中的作用作出新的 思考 而 这必 然地就 会对数学师资的培养 提出新的不同要求 其次 建构主义事实上也为我们如何具体地去从事数学师资的培养提 供了新的启示 这就是指 数学师资的成长 同样 也应被看 成是一种主动的建构活 动 例如 后者事实上