定积分与微积分基本定理 高中数学选修2-2（人教课改版）.doc

定积分与微积分基本定理知识网络目标认知考试大纲要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。难点：正确计算定积分，利用定积分求面积。知识要点梳理知识点一：定积分的概念定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式，当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分.记作，即，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.知识点二：定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.知识点三：微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的一个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.一般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.知识点四：定积分的几何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 在轴上方的面积积分时取正号，在轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.知识点五：应用（一）应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；2. 如图，由三条直线，轴（即直线）及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的面积公式为：.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积.（二）利用定积分解决物理问题变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功.规律方法指导1.要正确理解定积分的概念，掌握其几何意义，从而解决实际问题；2.要正确计算定积分，需非常熟悉导数的运算。经典例题精析类型一：运用微积分定理求定积分1. 运用微积分定理求定积分（1）； （2）； （3）.思路点拨: 根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.解析：（1）， ；（2）， .（3）， ；总结升华：求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得的原函数。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。有时需要将原式化简后再求解，有时不易找到原函数，此时可以用其他方法.举一反三：【变式】计算下列定积分的值：（1）， （2）， （3） 【答案】（1）（2）（3）2.求定积分（1）； （2）；（3）； （4）.思路点拨: 本题的几个被积函数比较复杂，要先化简再利用微积分基本定理积分。解析：（1）， ，（2） ，（3）（4） .总结升华：化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.举一反三：【变式】计算下列定积分的值.（1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1），（2）.（3）.（4） 又， 原式 . 即.3.求下列定积分（1）；（2） ，求函数在区间上的积分；思路点拨: 利用定积分的性质求解解析：（1）是奇函数， 是偶函数。 （2） .总结升华：当被积式为分段函数时，应分段积分；利用函数的奇偶性等。举一反三：【变式1】求定积分：【答案】【变式2】求定积分：【答案】是偶函数， .【变式3】求定积分：；【答案】 【变式4】已知函数，计算.【答案】 .类型二：利用定积分的几何定义4. 求定积分：； 思路点拨: 利用定积分的几何定义求解解析：设，则表示个圆， 由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积, 所以举一反三：【变式1】求定积分：。【答案】设，则表示个圆， 由定积分的概念可知，所求积分就是圆的面积,所以【变式2】求定积分：【答案】设，则表示如图的曲边形， 其面积, 故.类型三：利用定积分求平面图形面积5求直线与抛物线所围成的图形面积.思路点拨: 先画出符合题意的图形，由图形可以看出所求的面积一个梯形与曲边梯形之差，进而可以用定积分求解。为了确定定积分的上下限，要求出两条曲线的交点的横坐标。解析：如图，由得，交点， 所求面积： .总结升华：求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）； （3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（5）计算各个定积分，求出所求的面积.举一反三：【变式1】求抛物线与直线所围成的图形的面积.【答案】解方程组得或 即交点. .需要指出的是，积分变量不一定是，有时根据平面图形的特点，也可选作为积分变量，以简化计算.但要注意积分上限、下限的确定.若选为积分变量，则上限、下限分别为1和3，所以要求的面积为： .【变式2】求由曲线围成的平面图形的面积.【答案】由 得； 由 得. 所求面积： 【变式3】在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为. 试求：切点A的坐标以及切线方程. 【答案】设点，则切线，即，则 由，得点， ， ，即，解得. 切点，切线.【变式4】如图，过抛物线C：上一点的切线为，是抛物线C与切线及直线所围成的面积，是抛物线C与切线及直线所围成的面积.（1）求切线的方程；（2）用表示、；（3）若，求的值。【答案】（1），在点处的导数值为， 故切线的方程：，即（2）， ，（3） ，解得。类型四：利用定积分解决物力问题6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？思路点拨：因为距离速度时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数式成为该题的关键.解析：首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间， 当时，汽车速度公里/小时米/ 秒8.88米/秒. 刹车后汽车减速行驶，其速度为. 当汽车停车时，速度， 故从到用的时间秒. 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是 米. 即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.总结升华：解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.举一反三：【变式1】如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）A 0.18J B、 0.26J C 0.12J D、 0.28J【答案】 A【变式2】一物体在力的作用下，沿着与相同的方向，从处运动到处，求力所做的功。【答案】.【变式3】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止。求：（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程。【答案】（1）由解得，因此，火车经过后完全停止；（2）=学习成果测评基础达标：1下列等于1的定积分是（ ） A B C D2.与的大小关系是（ ）A. B. C. D.无法确定3=（ ）A B C D4.设，则（ ）A. B. C. D.不存在5=（ ）A B. C D6.下列定积分值为0的有（ ）A. B. C. D. 7.已知为偶函数且，则（ ）A.0 B.4 C.8 D.168曲线与坐标周围成的面积（ ）A4 C D39.一辆汽车以速度的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（ ）A. B.1 C.3 D.2710已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（ ）A C D11.（1）；（2）=_；12.计算由直线和抛物线所围成的平面图形的面积为_；13.（2006湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是_。14（2008山东）设函数f(x)=ax2+c(a0).若，0x01,则x0的值为_.能力提升：15.定积分（ ）A. B. C. D. 16已知，则实数等于（ ）A0 B. C.1 D.217的值是（ ）A0 B. C.2 D.418两地相距25千米,甲以速度千米/小时从到直线行驶,同时乙以速度千米/小时从到直线行驶,则甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为（ ）A60分钟 B.100分钟 C.120分钟 D.150分钟19如果1力能拉长弹簧1，为了将弹簧拉长6，所耗费的功为（ ）.A0.18 B.0.26 C.0.12 D.0.2820一质点在直线上从时刻以速度运动，则该质点在时刻时运动路程为（ ）A B. C. D.21定积分_.22若，则_.23由截面积为的水管往外流水，打开水管时，水流速度 ，那么从到这段时间内流动的水量是_.24将下列图形中阴影部分的面积用定积分表示出来.25求由两条曲线及直线所围成图形的面积.26求曲线与轴所围成的图形的面积27一物体在变力作用下沿坐标平面内轴正方向由m处运动到m处，求力做的功.综合探究：28求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.29设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（3）若直线x=t（0t1把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.30抛物线在第一象限内与直线相切此抛物线与轴所围成的图形的面积记为求使达到最大值的、值，并求 参考答案：基础达标：1.答案：C2.答案：A；分析：，3.答案：D4.答案：C；分析：5.答案：C6.答案：D；分析：在区间上是奇函数，则7.答案：D；分析：为偶函数，则8.答案：D9.答案：D；分析：这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：10.答案：C11.答案：（1）；（2） ； 分析：（1）； （2）原式=12.答案：； 分析：由得点， 将抛物线分别表示为函数和， 那么所求面积为： 13答案：.14答案：.能力提升：15答案：D； 分析：中的被积分函数恰是一个位于x轴上方 的半圆，其面积为，故；又，故选D16答案：B17答案：C18答案：D19答案：A20答案：C21答案：；提示：利用定积分的几何意义解题.如图可知，实际就是求半圆的面积.22答案：23答案：7224答案：，或.25解析：如图所示，解方程组容易得到.由对称性，所求图形的面积为轴右侧图形面积的2倍，则图形的面积为：.若选为积分变量，则所求面积为：.26解析：首先求出函数的零点：，. 又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方， 所以所求面积为27解析：由题意知力做的功为：综合探究：28解析：焦点坐标为，设弦AB、CD过焦点F，且 由图得知：，故 所求面积为：29解析：（1）设