第22讲用割补法求面积.doc

第22讲 用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。444-442=4.56。（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为55=25。例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（99-55）4=14（厘米2）。例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A，B与B面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是46=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是4020=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）2=9（厘米），从而乙正方形的面积为99=81（厘米2）。 练习221.求下列各图中阴影部分的面积：（1） （2）2.以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2，BE长3厘米，求CD的长。5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。6.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。利润和折扣问题知识要点利润问题是一种常见的百分数应用题。商店出售商品，总是期望获得利润。一般情况下，商家从厂家购进的价格称为成本（也叫进价），商家在定价的基础上提高价格出售，所赚的钱称之为利润，利润与成本的比称之为利润率，商品的定价由期望的利润率来确定。商品减价出售时，我们通常称之为打折出售或打折扣出售，几折就是原来的十分之几。 解答利润和折扣问题的应用题，要注意结合生活实际，理解成本、定价、利润、折扣之间的数量关系。将此类题转化成分数应用题解答，也可根据数量间的相等关系列方程解答。解答时要理解与掌握下列数量关系：1.利润率售价成本成本1002.售价成本1利润率3.售价原价折扣4.定价成本1期望的利润率利润率也称利润百分数，售价也称卖价典例解析及同步练习典例1 某商品按定价的80出售，仍能获得20的利润。定价时期望的利润百分数是多少？解析：求利润的百分数就是求获得的利润占成本的百分之几，因此应该用卖价成本成本，即利润的百分数，要求利润的百分数是多少，必须知道商品原来的成本和实际卖价各是多少。假设定价为1，因为商品实际按定价的80出售，因此实际卖价就应该是1800.8。根据题意，按定价的80出售后，仍能获得20的利润，也就是“成本120卖价”，因为实际卖价是0.8，所以用0.8120就可以求出成本。当卖价和成本都求出后，就可以求出定价时期望的利润百分数是多少了。解：设定价为“1”。商品的实际卖价为：1800.8商品的成本为：0.8120定价时期望的利润百分数为：150答：定价时期望的利润百分数是50。举一反三训练11.某种商品的利润是20，如果进货价降低20，售出价保持不变，那么商品的利润是百分之几？2.某服装店把一批西服按50的利润定价，当销售75以后，剩下的打折出售，结果获得的利润是预期利润的70，剩下的打几折出售？3.某商品按20的利润定价，若按八折出售，每件亏损64元。每件成本是多少元？典例2 甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30的利润定价，乙商品按20的利润定价，后来两种商品都按定价的90出售，共获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？解析：根据“甲、乙两种商品成本共200元”，我们可以假设其中的一种商品甲商品的成本为元，则乙商品的成本为200元。根据“甲商品按30的利润定价”可表示出甲商品的定价为130元；根据“乙商品按20的利润定价”可表示出乙商品的定价为120200元。现在两种商品都按总价的90出售，且获利润27.7元，由此可根据等量关系：售价成本利润，得到方程130120200 9020027.7，从而求出两种商品的成本。解：设甲商品的成本是元，则乙商品的成本是200元。130120200 9020027.7答：甲、乙两种商品的成本分别为130元、70元。举一反三训练21.某出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年每册书增加10,但是仍然保持原售价,结果每本盈利下降了40,但今年的发行册数比去年增加80,那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加了百分之几?2.某商品按定价出售,每个可以获得利润50元。现在按定价的八折出售8个和按定价每个减价40元出售12个所获得的利润一样。这种商品每个定价多少？3.商店购进一批本子，每本1元，若按定价的80出售，能获得20的利润，现在，本子的成本降低按原定价的70出售，仍能获得50的利润。则现在这种本子进价每本几元？典例3 张大爷有5000元钱，打算存入银行两年。已知有两种储蓄办法：一种是存两年期的，年利率为2.43；另一种是先存一年期的，年利率为2.25，第一年到期时把本金和利息取出来合在一起，再存一年。选择哪种办法得到的利息多一些？利息税率为5解析：先应用利息计算公式“利息本金利率时间15”求出两种存款方式下的实得利息，再比较谁多谁少。解：1存两年期可得利息：50002.43215230.85（元）2存两个一年期可得利息： 第一年得利息：50002.2515107（元） 第二年得利息：（5000107）2.2515109元 两年共得利息：107109216（元） 因为230.85216，所以选择两年期得到的利息多一些。答：选择两年期得到的利息多一些。举一反三训练31.爸爸妈妈给小静存了4万元教育存款，存期为三年，年利率为3.24，到期一次支取，支取时凭学生身份证明，可以免征储蓄存款利息所得税。（1）小静到期可以拿到多少钱？（2）如果是普通三年期存款，应缴纳利息税多少元？利息税率为52.若两年定期存款的年利率为2.52，到期需交5的利息税，小明爸爸今年3月5日存入1000元两年定期，到期实得本息是多少元？3.某人在银行存入10000元人民币，存期为一年，年利率为2.06利息税率为5，到期后，他要把利息全部捐给希望小学。他捐款多少元？4.某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购买了一套现价为12万元的新房，购房时需首付（第一年）3万元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。已知剩余款得年利率为4%，第几年小明家需交款5200元？5.假定A种保险每投保1000元，要交保险费3元，保险期1年，期满后不退保险费，续保需重新缴费。B种保险按储蓄方式，每投保1000元，缴储蓄金40元，保险期1年，期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费，年利率为4%。若要投保8万元，A、B两种保险哪一种合算，为什么？典例4海淀图书城内某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。某学校到书店购买甲、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的，只有甲种书得到了90%的优惠。这时，买甲种书所付的总钱数是买乙种书所付总钱数的2倍。已知乙种书每本定价时1.5元，甲种书每本定价多少元？解析：根据“凡购买同一种书100本以上，可以优惠，只有甲种书得到了90%的优惠”可知甲种书在100本以上，乙种书不足100本，再由“乙种书的册数是甲种书册数的”，可设出甲、乙两种书的册数，进一步求解。解：设甲种书有150本，则乙种书购买了15090（本）购买乙种书所付的总钱数：1.590135（元）购买甲种书所付的总钱数：1352270（元）甲种书优惠后每本的价钱：2701501.8（元）（优惠前）甲种书每本定价：1.890%2（元）答：甲种书每本定价2元。举一反三训练41.佳佳商店进行打折销售，规定购买200元以下商品不打折；200元以上（500元以下）则全部打九折；如购满500元以上的商品，就把500元以内的打九折，超出的打八折。王华买了三件商品，定价分别是156元、438元、615元，那么如果她一次买这些商品的话，可节省多少元？2.某商场在奥运会期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可以赢利120元。如果减去定价的15%出售，亏损120元。此商品的定价是多少？3.张大伯把120千克青菜运到集市上去卖，其中按每千克2.4元卖出，剩下的按八折卖出。这些青菜一共卖了多少钱？4.成本为3.5元的笔记本4000本，按50%的利润定价出售，当售出80%后，剩下的笔记本打折出售，结果获得的利润是预定的88%，剩下的笔记本出售时是按定价打了几折？能力加强1.一件商品按30%的利润定价，然后按七折卖出，结果亏损了18元，这件商品的成本是多少元？2.服装商场购进一批儿童服装，先按40%的利润定价出售，当售出这批服装的90%后，剩下的服装全部五折出售，这批儿童服装全部售出后实际可获利百分之几？3.某水果店到苹果产地收购苹果，收购价为每千克1.2元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.5元，如果在运输及销售过程中的损耗是10%，那么商店要实现15%的利润率，零售价应是每千克多少元？4.王阿姨把5000元钱存入银行，定期三年，年利率是3.12%，若利息的税金按5%计算，到期时，王阿姨应得本金和税后利息共多少元？5.某商场参加财物保险，保险金额为4000万元，保险