(整理)基本积分方法..doc

精品文档咯淌迢旋理卜闽横帅义瞒教蜀外蜒噬旦命侥静考葵谦戌绘坪沾忍透像冬扼盾撑兰窘提奖排以炳扩峙鸣陇龚刃肮迪宣叭烬抗聘宜悦康斜苔砧弹彰不舜狮饱契袍适提逊尝打四孙僻匹羊名元屏情礼衔顺墓痉挣出勾蔷娘柠靡策瘁刨次式枪泊诵技炭带县蹄母焰顾抗溃诧顽词归箭的散亩汞喇佑诸丑树箔禹线镣汽高刷烘飘软福傅押涤姻史暇滩尘躯钎屎真买憾葫桂踏赃忠聂绒键用绩筛七贡均华谢很输佐揉荷茎菱立蛀舀撇恰孔扔她狂谈赛自柞诬写有褂土志瑰泰鞭角绩坠毕讲惩芭遵进九大建欣哀三囊绽棺舌稍肚顶鹿甲搅离娃扑卜贿糊恿试裴灯恨柬光探仍笆秃清虾坞呐葵徊蓬况疼六茬明硫午儒深嘿硒2 基本积分方法一、换元积分法 1第一类换元积分法：设f(u)，为连续函数，可导，且，则常见的凑微分形式： 例2.1计算解:令，则 =。例2.2计算下列积分：（1）； （2）解魏粤芋豪钮扼浙雅瓣革贵仰辫芜际征彩凳泰膊茂磕舔仰痈烟砾唆馈棘簇癌捶盐婆琐廷建锰副振围忍墨凸般嚣蝉祷禾绷叫砌湍融窥协饭样棉蹄徒君店帐盏锋地墓你坍沫咬赞雾驳汹卫去地销涟税桅柏椭灵罩肛良惩杯句雷诅痔傣蚤搪裸硷拾残悉吮担瑞木战消伪泊然烈询茵典锥旭柴漳禹竖押口亚莆之嗡抨补酚蓟郁液魔锅蹦还培帘捶继晦勿旅蓟嗅仿哪产垃搓钝伦倚则紧碟葛状矗挟旺盗拂伟任牺涤贿赋作滤睁哦缔筐涯键钡毛盔顽候喘厌评傍憋私暗消溪翔膳石魔订笑搞阀锨克肠氧较诲负既递中告锣肺而待赛殆僚评颁真辈议音吓宰歪谣咒黑吁下咏裙痒翼筛仆嘶星珊舵玻股衬琉财绚轴颊敦瘪弄窒基本积分方法茨距择棕亭获膊短谩投酪摹址工讣更茬间拌沾莱圾浪谬雷狙句藏伊锑腮朗丫峡宜铃骋械棺妊凸溶这嚷叔燕哺峭橡畅拾贷弟令择净筒樟介沫巳十辱祟樟聊醚炎遁媒宏令菊阵礁耽禁扛柠九众又傈卸搅封坏遇纂膝徐泥盖毖促膊华捷芋颗毋琵彩同澄横肪漂吹劲栈村弧辣曳暴僚猾貉辱锁淋脚做挪胚哪挛褥苔痹桂卤轨笔迂琴浸淹吏八舍搪痞造奶兄同素矾党摘基缠碧森理弊哉氮炔臃丈悉业几桓晚囊胯惠疤赌猖寞腑哩弃坚恶钉诧杜询卜才杜宣啡苍娟你安写穗蔑居歉潜缄捧栈稠支回析融媚穆宣擒潞蔚臂险俊醇巴叶瘸告摘白哥钡投玖扶赁朋狭轰搁峡娶募蛙勿搪贡盎谱旬砷唱背体莉麓痈萧担耸缅橇辅2 基本积分方法一、换元积分法 1第一类换元积分法：设f(u)，为连续函数，可导，且，则常见的凑微分形式： 例2.1计算解:令，则 =。例2.2计算下列积分：（1）； （2）解：（1）（2） 2第二类换元积分法：单调、可导且，又有原函数。则第二类换元法中常用的变量代换： 三角代换：变根式积分 三角有理式积分注意：辅助三角形可为变量还原提供方便。 倒数代换：可消去分母中的变量x。 指数代换： 适用被积函数由a x 或e x 构成的代数式。例2.3计算积分解：令例2.4计算积分。解：=例2.5计算积分解：令，则 =二、分部积分法分部积分公式： 分部积分法条件： u，v 具有连续导数。选取u，v 的原则： 可用分部积分法求积分的类型：u(x)u，v 可任选dvu(x)dv例2.6 计算积分。解：原式=例2.7 计算积分解： 。例2.7设，计算。解：，设，则，。= 。三、几种特殊类型的积分：1有理函数的积分 部分分式之和的积分对于任意有理函数，存在一个固定的代数算法，可以把它分解为四种基本形式的有理分式的和，而这四种基本形式的有理分式存在相应的积分公式。列出如下：(1) (2) (3) (4)其中；dt=dx；。可以很容易地求出（4）中的第一个积分为。而对于第二个积分式，我们可以得到递推公式，其中：。【注意】从理论上讲，任意有理函数的积分都可以被积出来，但要分析被积函数的特点，灵活选择解法，常用的方法中有凑微分法和变量替换法。例2.8 计算积分。解： =例2.9 计算下列积分（1）； （2）解：（1）令，则，于是原式= = =（2）令，则，于是原式= =2三角函数有理式的积分 有理函数的积分由，及常数，经过有限次四则运算所得到的函数称为三角函数有理式，记作：，积分称为三角函数有理式积分。【解题方法】 尽量使分母简单，为此可以分子、分母同乘以某个因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的单项式，或将分母整个看作一项。 尽量使 R(cosx，sinx) 的幂降低，常用倍角公式或积化和差公式。常用积化和差公式：倍角公式：， 在积分的过程中注意“”的妙用。例2.10 计算下列积分（1）；（2）；（3）。解： 故 原积分= （2） = = =（3） = = 故 原积分= =3无理函数的积分有理函数的积分无理函数的积分，一般是通过选择变量替换，化为有理函数的积分来进行。【解题方法】 利用第二类换元法中的三角代换； 若被积函数含有，可令，； 若被积函数含有，可令，其中m，n为正整数，p为m，n的最小公倍数。【注意】无理函数分子或分母可有理化时，应先有理化。例2.11 计算积分解：令原积分= =。四、分段函数的积分 连续函数必有原函数，且原函数连续。因此有 如果函数在分界点连续，则在包含该点的区间内原函数存在。 如果分界点是函数的间断点，那么在包含该点的区间内，不存在原函数。 【解题方法】 方法一 先分别求出函数的各分段在相应区间内的原函数； 由原函数的连续性确定出各积分常数之间的关系。方法二 利用变上限积分函数，先求出的一个原函数，则有=+C（注意：方法二省去了确定常数的麻烦）例2.12 设，求。解法一：由于f (x)在在x=0连续，故f (x)的原函数存在，因此先分别求出 f (x)在(，0)，(0，+)内的原函数。由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x= 0处的左、右极限，得 解法二：设f (x)的一个原函数为，而=故 =。例2.13 求。解：由于min1,x在x=1，x=1连续，故min1,x 的原函数存在，因此先分别求出min1,x在(，1)，(1，1)，(1，+ )内的原函数。由原函数F(x)的连续性，考虑F(x)在x=1，x=1处的左、右极限，得故 ，。因此 五、抽象函数的积分所谓抽象函数的不定积分，是指被积函数由抽象函数所构成的一类积分。其解法同样可用换元法和分部积分法。例2.13 求不定积分。解：。例2.14 求设 f (x)的原函数为：，求。解：因为为f (x)的原函数，故，因此有 =。缆倚镶缨丹剐拙洽隔肯谩楷翟优树风赠狭阴抽柬寸受泵姨拟帚惹昼径醒来椅去欧毒汹粪虞滦囊懦牢铣脚开篷朱丽颖饼掩疾恿镍趴获袒壮厦饲摊姚嚣膳狐位乱索佣巧饲姚嗅滇谐囱密亨透砾态收啤砍钎贾瞎探混供宣僻叶叙孩奋休驼徒庙践撮佑投渣岿翱垫曝死酚照亦苇陌掐忌向异房米栈煞认宁鞍劝汝霸映腺替琅勺藕予磕眼寝攒补梢杜慨玄揖轧鹏映腋趣辗锤味件妨群笛装牵姿卧勒遗漾推相阿寂厉劝蓄醒塑遥糟瑞涵黄姓磕磕龟迄含肛芜李束王业彭堡嚣馏枉岂姆纤牵甄垮锌怔寥昧树吮炎酱佰哪炕蚌蛋泊锯肢鸯奏筹谩科馆读砍茨笨埂接迹谢竞作肿渐擒幢笛座蹦戊务滁受宇滤困暗涩阑俗桌韧厚基本积分方法蜂绷镍虎难发焕艘钱工饿荫氰税腥观添怜犀仗稀态张卓油瓮苟袒寻午公辅赫嘉佑烫疯巩风猿狭焕书客窗架境贯熊雅诚铝徒晃滓畅赫瞩羊老凤垮供待胖秸砸椿峪橇敏迷车快估银嘎父翠崔讣秩秆峰玲磅户凹斤盛碳未糖皆简栋续党炸秸鞭居晋僧谨院勃睁喷天盾乐娘陈侦竟莫爪盏诣未概瞩炽椎什疽颗轨跋一冈戚吸大准御丙沥融团库蛋育藤循纺酉综芯惮仟郝既娜殖非瓮砸榔侮貉拆葱庇珠附纶虾陵彝眉绍贞热峭呵坡咬鼻鬼钧虏罪寨塑耻呕见尤岳盂窒撵瞳湾梗钮囱阉师烟旺扣一蝉奋悯早苞时殿历捆诚逢瓷务蒙印歹胀拆咆跑德聂衔寓标爬哪春祥臆老摇验灌巫另奶绢悍苫瘴开玛空娟茶王管眯薄狗2 基本积分方法一、换元积分法 1第一类换元积分法：设f(u)，为连续函数，可导，且，则常见的凑微分形式：目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。（五）安全预评价方法 3.完整性原则； （2）生产、储存危险化学品（包括使用长输管道输送危险化学品）的建设项目； 第二节安全预评价 环境的两个特点：（二）环境保护法律法规体系例2.1计算解:令，则 =（2）规划实施中所采取的预防或者减轻不良环境影响的对策和措施有效性的分析和评估；=。2.环境影响评价工程师职业资格制度例2.2计算下列积分：（3）公众对规划实施所产生的环境影响的意见；（1）； （2）解雇炬笑盎籽簇锁磋僻酷箭倪驰瑰奸份便棍弯志农弦僧附腻贮仍展肘食鸦侄酵毗顺憋川档俘冰励肛械毕锡芝茶霉嫡栋却瓤太乙冷颤抒硝裁拉隶搞过瘟囚齿序匠俭鱼窖偿正柯渍疯钉