华南师范大学2007级教育硕士研究生入学考试“初等数学.pdf

2 0 0 6年第 l 2期 中学数学研究 华南师范大学 2 0 0 7级教育硕士研究生入学考试 初等数学研究 试题与解答 华南师范大学数学科学学院 吴 康 本试题是2 0 0 6年 1 0月2 1 2 2日进行的在职攻淳 硕士学位全国联考专业课试题 用于华南师范大学 2 0 0 7级在职攻读教育硕士学位 学科教学 数学专业 研究生入学考试 时间为3小时 满分I O 0分 考试参考 书 目为 1 2 试 题 试 赵 一 本大题满分 2 0 分 每小题5 分 1 写f J 映射的定义和甬数的定义 2 设 4 是实数集 R的 j 空子集 厂 4 一 曰为 数 试给 厂 的反函数的定义 3 设 A R 正实数集 B R 试求函数 厂 4 一 使得 f 2 4 3 A 4 上题的函数 厂 是否有反函数 如果没有 说明理 由 如果有 写出它的反函数的表示式 二 本大题满分 2 O分 每小题 5分 今有 命题 1 没 n b c d为复常数 0 0 若 的三次 方程 眦 b x d 0 在复数范围内的全部3个 根是 I 2 3 则 b c I 2 3 一 2X3 I 3 I 2 d 2 X3 1 写出命题 l 的逆命题 记为命题 2 否命题 记 为命题 3 逆否命题 记为命题 4 2 命题 1 2 3 4 f j 钉哪儿个址 确的 哪儿个址 l I 确的 刈 i I 确的命题 如果有的衍 仟选一个给 Ij j 埘 I l 确的命题 女 果彳 的话 仟选 给 反例 3 J J I 命题 I t 1 次力 程 t l 为 数 I l l f 的推广 为命题 5 以及命题 5 的逆命题 为命题6 命题 5和命题 6是否真命题 只须I J 1 答 是 成 4 设 1 2 足 的 i 次方 d 0 I f d为复常数 复数范 内的全部 i 个根 求 I 卜 j i i 一 一 三 本大题满分 3 O分 每小题 5 分 把复数 0 b i 0 b R 理解 为实数的有序刘 n b l 6 R 按复数集的含义来研究全体实数有序埘的复介 r 2 n b l n R 1 存 n中引入 相等 的定义 再引人 减法i 宣 辫 2 在 n中引入乘 除法运算 3 说明 有子集 与实数集 R 一 计应 蚪保持 四则运算的对应父系 从而可把 R视为 理解为 n 的子集 4 说明 一I 0 在 n中有平方根 5 简要地说明这样建立的代数 系统 就足 复数 集 C 它父于以 定义的四则运算成为一个数域 6 举例说明在 n 中引入全序关系足可能的 1 l l 引 人大小关系则会 导致与已有的 R中的大小关系矛盾 从而 n不适合引入大小关系 一 一 一 一 卜 一 一 一 一 一 卜 一 一 卜 n 一 一 一 r 卜 间 2 o o 3 0 0 上的最大值 8 7 5 综上 由 1 0 0 8 7 5可 知 h t 住区问 0 3 0 0 上可以取得最大值 1 0 0 此时 t 5 O 即从二月一 开始的第5 O天 上市的西红柿纯收 益最大 说明 本题是一道比较典型的分段函数应用题 侈 4 1 7 2 o o 4 年高考数学重庆卷文科第 2 O 题 某工 厂生产某种产品 已知该产品的月生产量 吨 与每吨 产品的价格 P 元 吨 之间的荧系式为 P 2 4 2 0 0一 l 且生产 吨的 成本为 5 11 1210 2 0 0 x 元 问该 J 厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利 润是多少 利润 收入 一成本 解 设每月生 吨时的利润为 则厂 2 4 2 1 0 0 2 x 一 5 0 0 0 0 2 O O x 一0 2 x 2 4 O 0 一 5 0 0 0 0 0 由厂 0 6 x 2 4 0 0 0 0 解得 2 0 0 一2 0 0 舍去 因 在 0 内只仃 一 个点 2 0 0 使 厂 0 故它就是最大值点 U最 大值为 f 2 o o 一0 2 2 O O 2 4 0 0 0 2 0 0 5 0 1 1 0 3 1 5 0 元 答 每月生产 2 0 0吨产品时利润达到最 大 最大利润为 3 1 5 万元 说明 函数与导数的综合及其在解决实际问题中 的应用 是新课程标准高考特别值得关注的问题之 一 维普资讯 3 4 中学数学研究 2 0 0 6年第 1 2期 四 本大题满分 3 0 分 每小题 5 分 1 写小 f J 彤p q 心 心 垂 t 2 V i 心和外心 的 定义 2 至少4个你认为是 角彤四心的比较基木 的性质 并将填f f 1 个推广到 f h J 嘶体的情形 不 需i l I I 3 有人说 角形叫心I f 1 只要有两心萤合 那么 心都会萤合 此 角彤必为l 角形 你址番同意 这种说法 不 司 意者 请给出 个反例 同意者 清证明 以 F 两个命题 若j角形的内心 外心重合 则此 蔓 角形必为 I 二角形 若一 角形的重心 垂心重合 则此 i 角形必为 i F 三角形 4 一般情况下 三 角形四心的分布应该是如下四 种类型中的哪一种或哪儿种 不需证明 四心形成一个凸四边形的四个顶点 四心中有一心位于另二心所连成的三角形内 有三心共线 另一心位于线外 四心共线 5 把内心定义为 到二角形三边所在直线距离相 等的点 行不行 为什么 说明理由 6 命题 设 A B C的外心为J A B C 的外心为 若 B C B C C A C A A B A B 同时成立 则 J A J A 成立吗 认为成立的 请你给出证明 认为 不成立的 请你给出反例 参考解答 一 解 1 设 A B为非空集合 若对于 A中每个元 素 o B中都有惟一的元素6 与之对应 则称这种对应 关系 厂为从A到B的映射 写成 厂 A B 若 A B均为非空数集 则从 到B的映射叉称为 从 A到B的函数 2 设 B是实数 R的非空子集 厂 A B为函数 若对于 B中每个元素6 A中都有惟一的元素 满足 I厂 o 6 令 g 6 n 则如此定义的函数 g B A 称为函数 厂 一 B的反函数 记为 g 广 3 令 2 y R 贝 0 y 2 且 l o g 2 y I 4 3 4 1 o g y一1 从而f y 4 1 o g y一1 于是所求的函数 厂 R 一 R为 f 4 1o ge x I 2 八 1 任意一个实数 0 2 4 上题的 函数 厂 一般没 有反 函数 如 厂 f 4 o ga 一 便 没 有 J亚 数 lN 为 厂 I 厂 2 L I 0 2 I f r l 函数 4 l o g e x I R 有反函数 反 闻数为 厂 2 I i 二 解 1 命题 2 殳 b d为复常数 O 若 复数 J 3 满足 I X2 1 一 则 的一 三 次方程 似 h d 0 在复数范围内 的个部 3个根是 I 2 3 命题3 设 n 6 c d为复常数 n 0 若 J 2 3 4 是 的3次方程 似 b x C x d 0 在复数范围 内的全部3个根 则 J 2 X 3 一 b a X 2 X 3 X 3 XI l X 2 c a l 2 一 d a 不能同时成 命题 4 没 o 6 c d为复常数 o 0 若复数 2 3不能使 l 2 X 3 一 b a X 2 X 3 X 3 X I X l X 2 c a 1 X2 X 3 一 d 0 同时成立 则 I 2 3 不是 的3次方程 b x d 0 在复数范围内的全部 3 个根 2 4个命题全部丁 E 确 命题 l 的证明 由余数定理易知 似 b x c d r上 一 1 一X 2 一 3 上式右边展开式与左边比较同类项系数即可得证 命题 2 的证明 易计算得 r 上 一 J 一 2 一 3 r上 一 I 2 3 X 2 3 3 J l 2 一 J 2 3 r上 d r 上 似 h d 于是 的3次方程 眦 d 0可化为 o t 2 3 0 它在复数范围内的全 部 3 个根是 I 2 3 命题 3 4的证明略 注 命题 l一4只需任选一个给出证明即可 3 命题 s 设 0 0 0 0 为复常数 0 n为 正整数 若 的n次方程 ql O n I 一 r 上 J 0 0 在复数范围内的全部 n个根是 2 则 I 2 一 r 工 n I O n X I X2 X I X3 n I n O n 一2 a n 维普资讯 2 0 0 6年第 l 2 期 中学数学研究 3 5 l 2 一1 a o a H 亦即 2 f I l J 任意 个的乘积之总和为 一J q 尼 J 2 n 命题 6 没 fI n n 一 为复常数 n 0 l 为I I 整数 若复数 2 I f 1 任意 个的乘积之总和 an x n 一 I 一 0 l n l l 0 在复数范围内的仝部 n 个根是 2 命题 5 和命题 6 都是真命题 4 由韦达定理 命题 1 知 Xl X 2 X3 0 X2 X 3 X3 XI l X 2 C 故 i l 2 3 一2 X 2 3 3 I l 2 一2 c i i 一c I d 一c 2 一d 一c 3 一d 一3 d 代入欲证之式 易见只需证 i i 5 c d 而 戈 i i 一蹦l d 一c 2 一d j 一c 3 一d 一C i j 一d 一C 一3 d 一d 一2 c 5 c d 于是欲证之式成立 第4小题另证 由韦达定理知 I 2 0 3 一 I 2 代入欲证之式 易见只需证 l 2 一 2 I 1 一 x f x 2 2 j 2 I 2 上式左边展开立得右边 于是欲证之式成立 评注 令 1 3 n 0 1 2 由 x C x l d 2 d 3 c 3 d 0 可得 3 l d S 0 n 0 1 且 s o 3 S I 0 S 2 一2 c 代入 1 式递推易得 S 3 一 3 d S 4 2 c S 5 5 e d s 6 一2 c 3 d S 7 一7 c d 2 c 一8 c d S 9 c d一3 d 3 S l o 一 2 c 1 5 c d 于是易推得如下的恒等式 2 S 4 2 孚 詈 了8 5 3 詈 7 7 6 S 7 6 S 6 2 3 S 2 S 4 7 s I 2 S 7 9 S 8 S 2 1 8 S 8 2 7 s 3 s 6 7 S j I 8 S 9 孚 孚 了 1 S z s S io 4 5 6 7 8 9 1 0 其中 3 武便是本试题欲证之式 以 f 推 导提供 r 第 一 种证法 参见 3 4 三 解 参见 5 1 定义 n b c d 儿仪 l n C b d V n c d n 定义 n C d c b d n b 一 C d n c b d V n b C d n 2 定义 n b c d 一b d a d b c V n b C d n 定 义 c c f V a b c d n c d不同时为0 3 令 n 0 J a Rj 作映射 厂 W R 厂 a 0 a 易见 是一一对应 由以上四则运算的 定义 易见 n 0 b 0 a b 0 n 0 一 b 0 n b 0 o 0 6 0 a b 0 n 0 b 0 a b 0 0 可知映射 厂 保持四则运算的对应关系 从而可把 R视 为 理解为 n的子集 4 由乘法的定义 0 1 0 1 一1 0 故 一1 0 在 力中有平方根 0 1 其实 O 一1 也是 一1 0 的平方根 5 由 n 6 a 0 0 b n 0 b 0 0 1 简记 n 0 为 n 0 1 为 i 则 a b 可简记为 n 这种简记法实际上给出了 到复数集 c的一个 一一 对应 易检验 力连同以 定义的四则运算和复数 集c同构 它符合数域的定义 所以代数系统 n是一 个数域 6 例如可定义 n 中的元素的顺序为 a b c d 甘n c 或 n c且b 0 0 便 8 程 方 次 吐 的 删 n v l 维普资讯 3 6 中学数学研究 2 0 0 6年第 l 2期 仃 o I 一I 0 0 J l IJ 一1 o j 数人小 父系矛 辽奠 o I 0 0 0 一I 0 J 0 一I 0 0 一I J 0 0 fJ 一1 o f J j 蛮数人小l天系矛厢 所以 n f 通俞r f 人火小火系 评注 愉验 n为数域 1 然 n禽 尢穷多个几 素 2 然代数系统 n 满足 J l l 法交换律 2 龠 律 仃J J l1 f J 已 J o f t 庀索 n 仃逆元素 一 一 3 然代数系统 n 满足乘法交换 律 结lA律 何乘法 f 无 I 0 4 然代数系统 0 满足乘法则 法的分眦件 5 然 n盖 掉元素 0 0 刘 f乘法 f 比索 均 逆元素 一 一 j 一 f 此代数系统 门 是 一 十o D 个数域 iZI q f t I r复数域 c 参 6 7 j ff l l 2 0 0 6 年高号广东卷第 f 0 题 四 解 1 i 角形 条f J 线交于 点 此点称为 们形的重 心 角形 条高所 直线 于 一 点 此点称为 三 角 形的垂心 三角形 条内角平分线交于一 点 此点称为 角 形的内心 也町定义为 置 角彤的内切 瞰 l I 称为 兰 角形的内心 三角形 边的垂商平分线 t 垂线 交于一点 此 点称为 角形的外心 也可定义为 三角形的外接 圆 圆心 称为一角形的外心 2 以 F 关于i角形四心的 多性质写 l f j 其巾4个 H J 可 有 的 性 质 写 出 其 中一 部 分 亦 l f 参 见 8 9 J 0 儿1 1 1 AA B C的重心M内分 条中线 A D B E C F均 为 2 1 即 A M M D B M ME C M MF 2 1 2 AA B C的晕心M是 AA B C作为均匀薄板平置 时的物理重心 C E是 AA B C一 三 个顶点水平放置相同的 质量时的物理晕心 3 若平面直角坐标系巾的 AA B C的顶点坐标为 A I Y 1 B 2 Y 2 C 3 Y 3 姒 U 重心为 M I x 2 x 3 3 y J y 2 Y 3 3 4 AA B C i条中线把 AA B C的面积六等分 重 心 M与二 三 顶点连线把 AA B C的面积i等分 5 i x A B C的重心 M也是其中位i角彤 删 f 的重 心 而且是 AA B C和 AD E F作为 内 位似三角彤的 内 位似中心 6 平面 到 AA B C二顶点距离的平方和最小的 点是三角形的重心 7 f J 肜l j 刮 边 离之f j l m大的 址 f f J 肜 的 心 8 f 虼 屯 f J f J 肜l l 心 肜 9 1 们 们彤的 心祧足 角顶点 9 I 角 角形 A B C的顺 干 心 构成 心p L f I H fJ A C I t t1 纯 点卉 f 5 足J e 余 连 成的 i 角形的睡心 1 0 锐角 A B C的睡心 t t AA B C 边的张f j 为 C C A A 屯 角AA B C A为钝 的艰心 AA B C 边的张角为 C C 1 1 没 l b 角 角彤 A B C的 条高 为A D B E c 心为 9 j IJ A E b AB F D C D E的外接f5 l 交 r t i 1 2 没 幽 角 i 角形 A B C的 条尚为 A D B E C F 收为 则 H A H D H B H E H C H I 1 3 f 角 一 i 角形A B C的垂心为 则 AA B C B H C AC H A AA H B的外接嘲相等 1 4 没 P为锐f f j 角形A B C的f 一内点 P到 一 三 边的投影为 J J P P 则 AP J P 2 P 3 的周 长取最小值 儿仪当 P为垂心 1 5 AA B C的外心 到 三 顶点距离相等 此距离 称为 AA B C的外径 1 6 AA B C的外心 J是它的中位 角形的垂心 1 7 锐 钝 角i角彤的外心在形内 外 直角 二 角形的外心就是斜边巾点 1 8 锐角 A B C的外心 向AA B Ci边的张角为 2 A 2 B 2 C 非锐角 AA B C A为钝角或 苴角 的外心 J fJ AA B C三边的张角为2 一2 A 2 B 2 C 1 9 设 AA B C二 二 边为 C 0 C A b A B c 外径为 月 则 a s i n A b s i n B c s i n C 2 R 正 弦定理 2 0 设 AA B C的 二边长为0 b c 外径为 R 面积 为 S 则 S a b c l 4 R 2 1 AA B C 的垂心 重心 M 外心 J 三点共线 欧 拉线 M内分线段H J 为2 1 即H M g J 2 1 欧 拉定硎 2 2 没 AA B C的垂心为H 外心为 则线段 的中点 F是 AA B C的 中 位三 角形 的 外心 也 是 A B C 非直角三角形时 的垂足三角形的外心 2 3 设非直角AA B C的垂心为H 外心为 且 B C为锐角 则 H A J I B C I A为锐角 或 一 I B C l A为钝角 H B J I C A I H C J I A B I 又 H A J H B J H C J的角平分线为 4 B l C1 维普资讯 2 0 0 6年第 1 2 期 中学数学研究 2 4 设 J I B C的 条l啊为 I J I r E 外 为 9 l lJ j J L F I J C J J 2 5 们形符顶点列 睡心的硝i 离 等 t 外心纠埘 边 i 离的 2倍 2 6 A I t C的l 心 刮 边 所 i f 线 离l 1 l 此蜊 离称为 A I t C的 J J 住 2 7 锐 钝 J 1 c的面心I t为 咂址 i f J 形 的 旁 心 2 8 形的艰心平 1 I 内心巾 存 角形 J 2 9 角彤的外心姓平山 l 钊 f J 彤 顶点埘i 离牛 l 等的惟一的 i f 形的IJ l 心是平 I f I J i 形 边所 线 i 离桐 等的全部 q 个点 I I I 惟 i m 彤内的点 3 o A B C的内心 口 A B C的 边的张角为 9 r I 2 9 if B 2 9 0 C 2 3 1 没 A B C的而积为s 剧为 P 内径为 r 则 S p r 3 2 角形符顶点 内心连线 即各内角平分 线 分对边的比等于邻边的比 3 3 没复平面中的 AA B C的对应二 三 边长为r z 6 c 以点表示其对应的复数 则 A B C的内心为 o A b B c C 3 4 三角形的重心是 自等距共轭点 心是 自等 角共轭点 外心和蘑心是等角共轭点对 3 5 没i角形内 外径为 r 内 外心距离为 d 飒 0 R d 一 一d r 1 欧 定理 3 6 非直角t角形的i边中点 高垂足 垂心 i 顶点连线的中点合汁几点 网 几点圆 义称欧挣 倒或费尔 哈网 圆心足欧拉线的叶 l 点 九点网 与内 切圆相 内 切 3 7 设i角形 外径为 r 则 R 2 r 等号成立当且仅当 三 角形是正i角形 欧拉 等式 3 8 垃 A B C的重心为 肘 则 M A MB MC是一 个二角形的 一边K 其面积为 S A a 删 3 3 9 等边i角形四心 重心 垂心 外心和内心 重合 等腰三角形四心共线 4 0 重心 垂心 外心和内心 中有两心重合的三 角形是J i角形 以下关于空问叫面体的 心 的性质写出其中 1 个 即可 参见 1 0 4 4 1 四面体每个顶点和对面的重心的连线称为 四面体的中线 四面体 4条中线交于一点 此点称为四 面体的重心 四面体的重心把每条中线内分为 3 1 4 2 U 体六个 J 的 i 分m J 此 硝 为 q I 体f l J p U l 体f i J q j l J J儿 I I I f l l 离 I l 等 体的I 勺心址p U 体的l J 球的球心 1 3 U 体六条棱f 眶 平分 t l 爻 j 点 此点乖 1 为 U I i 体f 内 夕 f 心 q I 自 体f 外心 IJ q 1 I 血埘 离干 f I 等 川 休的外心是川 体的外接球的球心 4 4 l彳 j 两纰埘棱 r 牛 I 的 U 体称为咂心l u I自 体 心p U I 体f 纠 i j 1避f l5 s t i l I l l l J U l I f 小的 条f 线如粜交于 一 则称此点 p U 体的 一 瓣心 川 体 许f lJ 也只 f 乖心叫 体 心 4 5 U l f I 的 弧心址过 U 棱埂J 刈体 I J I 的六个乎 的公j U 体j l王 f 刮楂 I 连线 称为 面体的I J f 证 线 q 体的 心 址p U 体 条 I l I f 讧 线的公 点 它平分每条l 1 I f 线 4 6 特窄I1 IJ 角坐标系中的p U A B C I 的I O i J 坐 柄i为 A I I I 1v 2 2 3 3 J 4 Y 4 4 J j 心为 M I 4 4 y l y 2 y Y 4 4 z I 2 3 z 4 4 4 7 四面体的雨心和内心 U 休 J J 埘 的外心可以在四向体内 外或怙 界 f 鹌 四面体的外心是夺 t 到 q 面体叫胍点趴 离相等的惟一n 勺 点 四面体的内 是奈 l J 列叫面体 四个西 f 离相等的全部 m个点 5 I 8 f 惟一 四面体内的点 4 9 没 叫体的体积为 表 ff 1 秘为 S l J 径为r 则 S r 3 5 0 过川面体每一棱及内心的平 即各一 向角 的角平分面 分对棱的比等于邻面 羊 j 之比 5 1 正四而体具有四心 心 心 外心和内心 H p q 心晕合 5 2 组对棱相等的四而体称为等腰叫 f 体 等 腰四f f i 体二心 重心 外心和内心 币合 t E i 棱锥是重心四由 j 体 即 i 棱锥1 t 4 r 心 5 4 四面体的重心足j 上 外接平行六 体的 f J 心 3 说法成 两个命题证明 如下 如图 1 没点 O I叫时足 AA B C的内 外心 O D上 J 为 垂足 则 O D r 内 O B 外径 肋 v 尺 一r 2 I i 理 C D 一r 2 敞 B C 2 R 2 一r 2 I 叫 理 C A A B l 皋 1 l 2 厂 AA B C为正 I 三 角形 l盘 l 幽2 没点 M同时 足 AA B C的重心和垂心 连 A M延长交疗 C r 则 D足 维普资讯 3 8 中学数学研究 2 0 0 6年第 1 2 期 B C的l f l 点 A D上 B C 故 A D B A 口 A C 同理 A C B C 故 AA B C为 I 角形 评注 补允证明 I 述性质 4 如下 如罔2 设点 M同时是 A B C的 心和 J 心 连 A M 延K交B C于D 则A D是角 的 平分 线 故 B D D C A B 蕾 口 A C 于是 A 8 A C I i i I 理 A C B C 故 A B C为正互角 形 女 I 图2 设点 M同时足 x A B C的重心和外心 连 A M延长交B C于D 再连 M B MC 则 MB C足等腰 三 角彤 B D D C 从而 M D上 B C 亦即 A D L B C 故 A B A C 同 A C B C 故 x A B C为正 角形 如图3 没点 同时是 AA B C的垂心和内心 连 A H 没直线 A H与B C交于D 则A D 上 l i b A D足角 4 的平分线 故 A B D AA C D 角边角 A B C 同理 4 C 占 C 故1 5 A B C为正三角形 如图3 设点 H同时是 图 3 A B C的垂心和外心 连A H 设直线 A D与B C交于 D 则 A D上 l i b 连 H B H C 则 H B C是等腰三角形 H D 上 B C 从而B D D C 故 A B A C 同理 A C B C 故 A B C为正三 角形 4 成立 任意三角形的垂心 重心 外心二点共 线 欧拉线 但内心一般不在此线上 评注 可证明 四心共线 但不重合 的 角形是 非等边的 等腰三角形 证明如下 如图4 设