高考数学练习_用放缩法证明不等式的方法与技巧1.doc

用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。一常用公式1 23( 4()5 6 二放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7） 或（8）等等。三常见题型（一）先求和再放缩: 1设，求证：2设（），数列的前项和为，求证：（二）先放缩再求和:3证明不等式：4设（1）求证：当时，；（2）试探究：当时，是否有？说明理由.5设，求证：（1） （2）6设， 求证（1） （2）7 设， 求证: 8 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数.（1）试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；（2）证明：.9（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和10（010深圳）在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，2证： .3证明：2 4解：（1）当时， 又当时，.（2） 当时,要只需 即需，显然这在时成立 而,当时 显然 即当时也成立综上所述：当时，有. 5证法一： .10分证法二：，下同证法一. 10分证法三：（利用对偶式）设，则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即 10分证法四：（数学归纳法）当时, ,命题成立; 假设时,命题成立,即, 则当时, 即即故当时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数，不等式成立. 10分 由于，所以，从而.也即14分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分7证明: 当时， 当时. 故 综上，原不等式成立 8解： 由于因此，当时，有所以.又，所以. （注：直接给出结果也给分）当时，. 所以. 9（1）证明：当时，解得 当时， 即为常数，且， 数列是首项为1，公比为的等比数列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首项为，公差为1的等差数列 ，即（N）（3）证明：由（2）知，则所以 ， 当时， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（证法1），；，.猜想,， 以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么,.时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数时，；当为偶数时，即数列的通项公式为 （注：通项公式也可以写成）（证法2）令，则，从而（常数），又，故是首项为，公差为的等差数列，解之，得，即， ，从而（余同法1）（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得显然，； 当为偶数时，； 当为奇数（）时，.综上所述， （解法2）由（2），得以下用数学归纳法证明，