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高中数学知识竞赛参考题 必修1 第一章 集合与函数概念 一、集合 1、集合的含义是什么? 答:集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合中元素的三个要素及各表示是什么?答:（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合经常用的表示方法是什么? 答:列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来. a,b,c b、描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 xR| x-32 ,x| x-32 4、集合的分类哪几种? 答:（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系是什么? 答:（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 6、常用数集哪几种?如何记法? 答:非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z ;有理数集Q ;实数集R 7、集合间的基本关系是什么? 答: （1） “包含”关系; （2） “相等”关系;(3) “运算”关系 8、 集合间的“包含”关系有哪些?答:（1）子集; （2）真子集 9、什么叫子集? 如何表示呢? 答:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合 有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或B） 10、若A是B的子集(),则几种可能性? 答:（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。 11、子集有哪些性质? 答: 任何一个集合是它本身的子集AA 如果 AB, BC ,那么 AC 空集是任何集合的子集。12、什么叫真子集?如何表示呢? 答: 对于两个集合、，如果，且就集合是集合的真子集。记作AB(或BA),读作A真含与B 13、真子集有哪些性质? 答: 如果AB且BC，那么AC 空集是任何非空集合的真子集A。 14、如何计算集合的元素个数? 答:如果一个集合中含有n个元素，那么它的子集个数为个；真子集个 数为一1个；非空子集个数为一1个；非空真子集个数为一2个。 15、什么叫“相等”关系? 答: 对于两个集合、，如果，且，那么就说集合和集合 相等，记作。 16、什么叫“空集”? 空集有什么规定? 答:不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 17、 集合间的“运算”关系有哪些? 答: （1）交集; （2）并集;(3) 补集;(4) 全集. 18、什么叫“交集”? 答:由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，记作AB，即 AB =x|xA且xB； 19、“交集”有哪些运算性质? 答: ， 。 20、什么叫“并集”? 答:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集 合A和集合B的并集，记作AB ，即AB=x|xA或xB. 21、“并集”有哪些运算性质? 答: ，； ，； 。 22、什么叫“全集”? 答:如果集合含有所研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作 一个全集，全集通常用表示。 23、什么叫“补集”? 答:设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于 A的元素组成的集合。记作： CsA 即 CsA =x |S且 xA24、 “补集”有哪些运算性质? 答: (CuA)(CuB)= Cu(AUB);(CuA) U (CuB)= Cu(AB); AU(CuA)=U; A(CuA)=; . 二、函数的概念 25、函数的概念是什么? 答:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫 做函数的值域 26、函数的三要素是什么？ 答:定义域、值域、对应法则 27、如何比较两个函数是否相同？ 答:只有定义域相同，且对应法则(表达式)也相同的两个函数才是同一 (相同)函数. 28、求函数的定义域有哪些常见类型？ 答:如果为整式，其定义域为实数集R； 如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；如果是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0 的实数集合；如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； 的定义域是如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义； 对数的真数大于零； 指数，对数函数的底数大于零且不等于1； 中， 29、求函数的定义域有哪些常见类型？答：（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函 数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数 的类型。 30、符号的含义是什么？与的区别与联系？答：是“是的函数”的数学表示形式，是表示函数的数学符 号，是自变量的函数，不是“等于与的积”； 与的含义不同，表示自变量时所得的函数值，它是一个 常量. 31、函数的表示方法有哪些? 答：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 32、求反函数的步骤掌握了吗？答：反解x；互换x、y；注明定义域 33、 反函数的性质有哪些？ 答: 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 34、区间的分类有哪些？ 答：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间 35、如何理解区间的概念及表示法? 答：设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭 区间， 记做 ；满足的实数的集合叫做开区间，记做； 满足 或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做 ，；满足 的实数的集合分别记做 36、映射的概念：答：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”37、对于映射f：AB来说，则应满足什么？答：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数38、映射与函数有什么联系与区别?答：函数一定是映射，但映射不一定是函数。在函数中，A,B是两个数集，即A,B中的元素都是实数。但在映射中， A,B中的元素不一定是实数。39、什么叫分段函数?答：在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这羊的函数通常称为分段函数。40、分段函数的特点是什么？ 答：（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数41、什么叫函数解析式子？答：函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.42、求函数的解析式的主要方法是什么？ 答：1）代入法： 2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：43、什么叫增函数？答：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有f()f()，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.44、什么叫减函数？答：如果对于区间D上的任意两个自变量的值，当 时，都有f()f()，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.45、函数图象的特点是什么？答：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.46、函数单调区间与单调性的判定方法是什么？答：(A) 定义法： 任取，D，且； 作差 f()f()； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差 f()f()的正负）； 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）(B)图象法(从图象上看升降)47、什么叫偶函数？答：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数48、什么叫奇函数？答：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数49、奇偶性的函数的图象有什么特征？答：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称50、利用定义判断函数奇偶性的步骤是什么？答：a、首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；b、确定f(x)与f(x)的关系；c、作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数51、如何利用奇偶函数的四则运算判断奇偶性？ 答： 在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数； 奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数； 及设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇第二章 基本初等函数 一、指数与指数函数 52、什么叫根式？答：如果 ，且 ，那么 叫做 的 次方根当 是奇数时， 的 次方根用符号 表示；当 是偶数时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示；0的 次方根是0；负数 没有 次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，53、根式的性质有那些？ 答：；当为奇数时，；当为偶数时， 54、正数的正分数指数幂的意义是什么？答：且；0的正分数指数幂等于055、正数的负分数指数幂的意义是什么？答：且；0的负分数指数幂没有意义 56、分数指数幂的运算性质有哪些？答： 57、什么叫指数函数？答：函数且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R58、指数函数的性质有哪些？答：定义域： 值域：过定点：图象过定点，即当时，奇偶性：非奇非偶单调性：当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。二、对数函数59、什么叫对数？答： 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数. 负数和零没有对数60、如何互化对数式与指数式？答：61、重要的对数恒等式有哪些？ 答：，62、两个重要对数是那些？答： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）63、对数的运算性质有哪些？ 答：如果，那么 法：减法： 数乘： 换底公式：64、什么叫对数函数？答：函数且叫做对数函数.65、对数函数有那些性质？答：定义域： 值域：过定点：图象过定点，即当时，奇偶性：非奇非偶 ；单调性：当时，在上是增函数。当 时，在上是减函数。三、幂函数66、什么叫幂函数？答：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数67、幂函数有那些性质？答：（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第三章 函数的应用方程的根与函数的零点68、函数零点的概念是什么？答：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。有时我们把一个函数的图象与轴的交点的横坐标，也叫做函数的零点。69、函数零点的意义是什么？答：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点 70、函数零点的有那些求法？答：（1）（代数法）求方程 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点71、函数零点的判断方法是什么？答：如果函数在区间上的图象不间断，并且在它的两个断点处的函数值异号，即，则这两个函数在区间上至少有一个零点。72、什么叫二分法？答：对于在区间，上连续不断且满足0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。73、用二分法求函数零点近似值答：给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，验证0，给定精确度；(2)求区间，的中点； (3)计算： 若=，则就是函数的零点；若0，则令=（此时零点）；若0，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精确度；即若，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤2-474、如何判断二次函数的零点？ 答：二次函数（1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点 必修4 第一章 三角函数75、什么叫做任意角？答： 76、什么叫做角? 答：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形。射线的端点叫做叫的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终 止 时的射线叫做角的终边。 77、什么叫做象限角? 答：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终 边落在第几象限，则称为第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认 为这个角不属于任一象限。 78、几种常用角的表示： 答：第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 终边在y=x轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 与角终边相同的角的集合为79、什么叫做角度制?答：周角的为1度的角。 80、什么叫做弧度制? 答： 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度 81、弧度制与角度制的换算公式是什么？ 答：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式：360=2; 180=; 1rad57.30=5718 10.01745（rad） 82、弧长与扇形公式是什么？ 答：若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为， 面积为，则， ， 83、什么叫做单位圆的? 答：在直角坐标系中，我们称以圆点为圆心，以单位长度为半径的圆。 84、三角函数的定义是怎样的？ 答： 设是角终边上的任意一点，且，则有： ； ； ；. 85、三角函数的在各象限内的符号是怎样的？ 答：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正， 第四象限余弦为正 86、同角三角函数的基本关系式有哪些？ 答：（1）平方关系：；（2）商数关系：；（3）倒数关系：； 87、诱导公式有哪些，有何记忆规律？答：诱导公式是指角的三角函数与诸如， ，等同角三角函数的关系. 记忆规律是：“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇变偶不变中的奇、 偶分别是指的奇数倍和偶数倍.88、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤 是什么?锐角三角函数0到2p的三角函数正角的三角函数任意角的三角函数 答： 89、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象如何? 答：（1）正弦函数的图象：（2