数学奥林匹克高中训练题(178).pdf

4 2 中 等 数 学 蟹 耄寓 则镲 1 7 8 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 4 0 6 0 0 4 2 0 5 第 一 试 一 填空题 每小题 8分 共 6 4分 1 袋内有 8只白球和 2只红球 每次从中随 机取出一只球 然后放回 1 只白球 则第四次恰取 完所有红球的概率为 2 已知函数 J x 2 k 且存在 口 b fit o 一 詈 由I厂 2 k 知 x k 即 2 k l 2 k 1 2 4 k 2 一2 2 k 一2 而 当 一 9 一 2 时 均 有 2 k 1 2 k 1 2 4 k 2 一2 一 2 故 矗 一 9 一 2 3 分别过点 C A作 P D的垂线 则垂线必交于 加 上一点 Q 且 Z A Q C A Q C Q 因 为 A C B 3 所 以 A Q C Q A C n D Q 1 由 P Q P C 一 C Q 2 得 P c 单 设 0为正方形A B C D的中心 则四棱锥外接球 的球心 0 必在直线 P D上 P D与球交于另一点P 3 L C O A C 测 P O 妻 D 3 知 R 1 P 0 P 0 9 故 扣 4 瓜 注意到 厢 则 厢 丽 一 2 3 1 3 5 2 k r t k z 原方程两边平方得 2 7 1 6 s i n 1 C O S 1 6 1 一 C O S 1 2 c o s C O S 1 6 c o s 4 3 2 c o s 一3 2 c o s 1 1 0 2 c o s 一1 2 4 c o s 2 1 2 c o s 1 1 0 c s 1 2 k 7c 詈 尼 z 6 6 9 当0 b 1 时 a b a 一2 01 4 2 01 4 2 01 4 V一一一 k k 1 k 1 2 n 1 4 2 01 4 2 01 4 T 当Ij 4 4时 1 中 等 数 学 当 5 B t 1 故当 k 10 4 y 一 4 m 1 6 y 1 6 m一 7 0 再将其看作关于Y的一元二次不等式 已知 其解集为 Y E 1 6 故 6 2 二 9 注 意 到 当 1 1 时 均 有 州 于 是 在 l 上 单 调 递 增 故 当 丢 l 时 7 2 当 o 吉 时 单 调 递 减 因此 当 E 0 1 时 一 1 2 故A 一 1 2 构造一次函数 g 戈 b c b c 一b c 4 E 一 1 2 根据一次函数的单调性 只需证明 g 2 I 0 和 g 1 0即可 而 g 1 一 b c b c 一 b c 4 一 号 2 6 一 2 c 一 1 9 因为 2 b 一 1 2 c 一 1 E 一 3 3 所以 2 b 一 1 2 c 一1 9 从而 g 1 0 又 g 2 2 b c b C 一b c 4 b 一 2 c 一 2 t 0 故 a b c 4 口 6 b c c 0 1 0 依题意 动点 Q的轨迹是以 M 和 J7 r 为焦 点 2 a 4为长轴长的椭圆 除去与 轴的交点 于是 曲线 C的方程为 等 予 1 y 0 设点 P x o Y o a x 1 Y 1 B x 2 Y 2 直线 A B 的斜率为 k 则切点弦 A B所在直线的方程为 等 将其与椭圆方程联立得 3 一 蒡 o 又 4 则 2 0 1 4年第 6期 4 5 蒡 12 l6 3 1 6 3 丽 4 y o 且l A B J I x 一 I 故 s 1 I A B I d 3 I 3 3 4 9 X 2o y 4o 9 y 2o 3 6 1 2 I y 0 I 1 2 一 l 2一 l 2 l y o I 易知 此函数在 0 2 上单调递增 于 是 当 Y l 2 时 S 0 c D 取 最 大 值 1 1 由题设得 n 2 a l n 口 2 n 1 z r 号 n 1 2 a 1 n n 1 a 2 n 1 令 b n n 1 a 则 b 1 2 b 川 b 2 n 1 2 r 1 故b b 一 b i 2 1 2 3 n 2 r 1 注意到 对正整数 a b r 有 a b I a b 贝 4 n l i n n 1 I i n 1 一 注意到 n 一1 b 2 n r 十 n 川 i I n 1 一 i 1 因此 n I b n 1 I b 因为 n n 1 1 所 以 I L n 1 I b 故对任意正整数 n 均为正整数 加试 一 如图 2 联结 MC 则 C M上 M B 因为 C H上 B N 所 以 C H M B四点共圆 故 M H B MC B 4 5 O 由 A C N2 NH NB A N NB 一 N H A N 网2 j A NH B NA N A H NB A NH A N A B 4 5 o 于是 N H A MHB 易知 A N H B MH 则M而 H B H 删 A 删 M 又C H 2 B H N H 1 C H 2 MH A 且 二 1 易知 1 9步后石子分成 2 0堆 记此以 后第 步操作后粒数最多的 2 0堆之和为 Js 显然 S 单调不增 若不存在 S i 6 0 则 S i t 6 1 而S 5 9 设 s 中各堆 的粒数为 a a a 其 中 某个 a 分裂成两堆 y 重排后得 s 的各 堆的粒数为 b 6 2 b 加 则 只有三种可能的重排情形 i 若 口 1 a l 离开 S b 1 m i n a 2 则 A S i S i l a l 6 l 口 2 ii 若 a l y 离开 S b l a l 则 直 I J L 三 一 而 中 等 数 学 A 戈 口l b 1 i i i 若Y 口 1 6 m a x y 口 0 口 是第 i 步后 粒数仅次于 n 的堆 则 y b 1 6 1 由于 2 只能 i b l 2 S f 6 1 S i l 5 9 口 1 6 1 但 此 时 口 嘉 2 故 口 2 5 之外的各堆粒数均为 1 或2 总粒数为 1 0 0 6 1 3 9为奇数 故必有一堆粒数是 1 将其与 口 交换即得第 i 步后有 2 0堆 其石子总数为 6 0 2 称初始堆为 主堆 每步从中分出3粒 3 3步后成为3 3 个 3 粒堆和一个 1 粒堆 该过程中 主堆的粒数始终为模 3 余 1 其他堆为 3粒 故任 意 l 9堆若不含 主堆 石子总数为 5 7 而若含主 堆 石子总数为模 3 余 1 也不等于6 0 此后无论如何操作 由于每堆不多于 3粒 任 意 l 9堆的石子总数不多于 5 7 因此 任何时刻均 不存在 1 9堆 其石子总数为 6 0 三 1 用反证法 若方程有非整数解 记 A B 则 A Z B O 1 于是 原方程化为 3 A一1 3 一 2 A 0 贝 0 一 3 A 2 A 1 0 解得 一 It A 1 故 A O或 1 当A 1 时 有 B 一 1 矛盾 当A 0时 有 B 0或 1 亦矛盾 因此 方程没有非整数解 而对于任意的 Z 方程均成立 故该方程 的解为整数 2 设 一 一1 贝 0 厂 x 3 x 一 2 0 一 1 专 o 因此 函数 的零点唯一 记为 利 用 在 手 单 调 递 增 可 证 x 注意到 2一 0 于是 5 从而 3 4 2 3 故 一 3 2 1 一 且 H j E 整数 为方程的解 四 n Z当且仅当 b I n 口 显然 6 1 口 任意 符合要求 下设 b 1 设 凡一1 n n 1 Z 贝 0 n一 1 0 n a n 1 口均被 b 整除 而这三个数奇偶交替 故 6 为奇数 又 6 l n 1 一 n 即 b I 5 n 1 0 n 1 0 n 5 n 1 则 b 与 5 n 互素 此夕 6 I 一 1 n 1 一 2 凡 b I 2 0 n 1 0 n b I 1 0 n 2 n 1 但 b与 1 0 n 互素 于是 b I 2 n 1 即 2 n i 一1 ro o d b 贝 U 0 4 n 1 一 n 5 2 n 2 0 n 2 n 2 0 2 n 2 0 n 4 三 一1 1 roo d b b I 1 1 因此 大于 1的解只有 b 1 1 当b 1 1 时 对与 1 1 互素的整数 加 兰1 ro o d 1 1 故 兰 1 ro o d 1 1 因此