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第二章 光纤传输基本理论2.1 电磁场理论基础22.1.1 电磁场基本方程22.1.2 电磁场边界条件32.1.3 波动方程和亥姆霍兹方程42.1.4 均匀平面电磁波和偏振状态52.1.5 平面波的反射和折射82.2 电磁场理论的短波长极限几何光学理论92.2.1* 几何光学的基本方程程函方程(补充内容)92.2.2 光线传播的路径方程112.3 光纤中光信号传输的几何光学解释122.3.1 阶跃光纤中光线的传播122.3.2 梯度光线中的光线的传播162.4 阶跃式光纤中的模式理论202.4.1 阶跃式光纤中的矢量模212.4.4 传播模的色散曲线352.4.5 导波模的场形图362.5 阶跃光纤中的标量解372.5.1 线偏振模场解382.5.2 线偏振模的特征方程及截止参数402.5.3 LPmn模与矢量模之间的对应关系432.5.4 LPmn模的场分布及功率分布442.6 传播模式的一般特性462.6.1 传播模式数量462.6.2* 渐变折射率光纤的理论分析（补充内容）472.6.3* 理想波导中模式的正交性和完备性502.6.4* 非理想波导中模式的耦合51第二章 光纤传输基本理论2.1.1 电磁场基本方程宏观电磁现象可以用电场强度，电位移矢量，磁场强度矢量，磁感应强度矢量四个矢量描述，它们都是空间位置和时间的函数。这四个场矢量之间的关系由麦克斯韦方程组描述，即：式中是介质中的传导电流密度，是自由电荷密度。为了从麦克斯韦方程组完全确定电磁场量，还需要另外一个方程，即：物质特性方程。式中称为介质的极化强度矢量，称为磁化强度矢量，是介质的电导率，对良导体可以认为是近似为0，对于非磁性介质=0，从而有：电极化强度可以写为：如果只有第一项，则介质是线性介质，否则是非线性的。对各项同性介质： 它可以用个标量x来表示，从而得到： 一般来讲，所有的场量都是空间变量和时间的任意函数，一个时空函数可以用傅立叶分析方法写成：在电介质中，电流密度和电荷密度都为零，于是频域中的麦克斯韦方程组可以写成： 2.1.2 电磁场边界条件 麦克斯韦方程组描述了电磁参数，为位置坐标的连续函数的介质中电磁场量的基本规律。如果介质的电磁参数发生突变，则以微分方程形式出现的麦克斯韦方程将不再适用，此时需将方程改写成它的积分形式，即： 由此可得，电磁场矢量的边界条件： 2.1.3 波动方程和亥姆霍兹方程（1）均匀的各项同性线性介质 在各项同性均匀介质的线性电介质中，可根据麦克斯韦方程得到方程：上式即为线性、均匀、各向同性介质中的波动方程。其矢量波动方程可以写成： 在直角坐标系中，、的x、y、z分量均满足标量的亥姆霍兹方程： 式中，（2）非均匀的各项同性线性介质 由于存在： 式中n2=r是位置的函数，如果介质的折射率或相对介电常数位置的变化较为缓慢，即满足条件，则这种介质为缓变介质，于是上式方程可以变为：注意：此式虽然和均匀介质中的波动方程形式一样，但却有重要区别，即该式中的折射率是空间位置的函数，因而对其求解更加困难。2.1.4 均匀平面电磁波和偏振状态1） 平面波与导波平面波：在均匀无限大的各向同性线性介质中传播的电磁波等相位面是平面，因此称为平面波。沿z方向传播的平面波电场和磁场矢量振动方向是相互垂直。正弦变化的平面波可以表示如下： 如图所示，式中的光波频率为，是传播常数（也称波数）在相对介电常数为的线性介质中传播的正弦变化的单色平面波相位传播速度为：其中c为光速，n为介质的折射率。在实际中应用的电磁波往往不是单色，而是由许多频率分量组成的电磁波。那么，不同频率的正弦电磁波合成后是什么波形呢？让我们考虑频率为与,波数为与组成的合成电磁波。如图2.5所示合成波为平均频率为的幅度随和变化的包络，波包络幅度变化的速度称为群速。由于信号调制在载波上形成波包，所以群速表示信号或能量的传播的速度。群速度定义为：。频率为与,波数为与的两个电磁波的合成电磁波为： 导波光纤、金属波导和平板介质波导等将电磁波限制在沿传播轴垂直的截面上，并沿纵向传输轴传播的波称为导波。传播导波的元件称为波导，介质光波导的导波区域折射率大于周围媒质的折射率。无论是金属波导还是介质波导传播的光波可存在各种传导模式（导模），在介质波导中还存在辐射模和泄漏模。求解波动方程，可知波导中传播的导行电磁波由各个导模的线性迭加组成： 式中Ai是第i个模式的幅度，i是第i个模式的传播常数。各个模式在波导横截面的电场（磁场）分布不相同，在相同的频率下，传播常数i也不相同，各个模式能量传播的速度也不同。光纤是圆柱形的介质波导，对一定的光纤结构（纤芯半径，折射率一定）光纤内部只有有限个离散的导模可以传播，这是由于虽在无限大媒质中的平面波，在不同折射率的两种媒质的交界面上可以以任何角度入射、反射，但是波导中的导波，由于在上下界面反射形成横向驻波，只能允许有限个入射角的光线传播，在光纤中传导光波电磁场是沿传播轴的行波，沿光纤的传播轴传播，当光纤弯曲时，被导光波也随之沿弯路传播。2） 平面电磁波的偏振状态 平面电磁波的偏振状态是指电场强度矢量或磁场强度矢量的空间取向随时间的变化情况。如果对一个确定的观察点，场矢量始终在一个确定的方向上振动，矢量尖端的轨迹是一个线段，则称为线偏振波。如果场矢量尖端的轨迹是一个圆，则称为圆偏振波。如果场矢量尖端的轨迹是一个椭圆，则称为椭圆偏振波。 任意的场矢量总可以写成沿两个特征方向的分矢量之和，即：式中e1和e2为波传播的横向上两个相互正交的单位矢量，1和2分别为两个分量的相位因子。当时，线偏振波；当，且E1=E2时，圆偏振波；当时，场矢量的旋转方向与波的传播方向呈右手螺旋关系，称为右旋圆偏振波；当时，则为左旋圆偏振波。其它情况，为椭圆偏振状态，当时，为右旋椭圆波；当时，则为左旋椭圆波。（注意：不同的教科书中可能定义的圆和椭圆偏振波的旋转方向不一致，这里定义与工程电磁理论中的约定一致。）另外：任意一种偏振态的平面波也可以看成是沿着两个旋转方向相反的圆偏振波的叠加，即： 式中，EL和ER分别为左旋和右旋圆偏振波的振幅，如果EL=ER，则代表一个线偏振波；如果ELER，则代表一个椭圆偏振波；如果任何一个为零，则为圆偏振波。2.1.5 平面波的反射和折射 平面电磁波在不同介质的分界面上将发生反射和折射，根据分界面两侧电磁场应满足的边界条件，可得两种介质中入射波、反射波、折射波之间的如下运动学特性： 入射光线、反射光线和折射光线共面或波矢量共面； 反射角等于入射角； 满足snell定律； 根据入射波的偏振状态，可以得到以下动力学性质： （1）对于垂直偏振波，即电场矢量与入射面垂直的线偏振波，其反射系数和折射系数分别为： （2）对于平行偏振波，即电场矢量与入射面平行的线偏振波，其反射系数和折射系数分别为： 上述四式也就是菲涅耳公式。2.2 电磁场理论的短波长极限几何光学理论 在光学的发展历史上，几何光学的基本概念的形成，如光的直线传播，在不同介质界面上的反射、折射都早于波动光学。几何光学的基本方程程函方程（Eikonal方程）也完全可以从变分原理得到，而不借助于麦克斯韦的电磁波理论。但几何光学可看成电磁波理论的短波长极限，由几何光学得到的结果物理概念清晰，易于理解，所以在分析光波的传输特性时，有重要的应用。2.2.1* 几何光学的基本方程程函方程(补充内容) 程函方程是描述几何波阵面的运动规律。 在各向同性的非磁性介质中，频域中的麦克斯韦方程为： 在各向同性的均匀介质中，存在均匀平面电磁波解，其电场和磁场可以表示为： 上式描述了一个沿K方向传播的均匀平面波，其波阵面是与K垂直的平面簇。 在更一般的情形下，如果介质的电磁特性不均匀，也就是说其折射率是空间位置的函数，在这种非均匀介质中，一般来说已不存在均匀平面波解。作为非均匀介质中麦克斯韦的试探解，可以将其写成： 式中振幅矢量E0(r)和H0(r)都是位置的函数，k0是自由空间波数，而(r)称为光程函数。 将上式带入频域的麦氏方程可以得到： 我们感兴趣的是电磁波在波长趋近于零或频率趋于无穷，即波数很大时的情况，也就是所谓的短波长极限。在这种情况下，上式中右边的项都可以忽略，从而得到： 从上式可以看出，电场强度矢量和磁场强度矢量都与矢量相垂直，如果令PSI为常数，则可得到一系列曲面，这些曲面就是波的等相位面或等程函面。 把上式中的二式带入一式中可以得到： 利用矢量恒等式，以及第四式可得： 显然，式中电场矢量振幅不能处处为零，因而必有： 即： 上式即称为程函方程，或称Eikonal方程，是几何光学的基本方程。2.2.2 光线传播的路径方程 用几何光学处理光的传播问题，离不开光线这一概念。这里定义等程函面，又称为几何波阵面的正交轨线为光线。也就是说： 式中dr/ds是光线传播路径切线方向上的单位矢量，根据程函方程，可以得到：，于是有：，将该式对路程s求导，即： 交换右边的求导顺序，即： 利用前面式可得： 该式就是折射率分布函数为n的介质中光线传播的路径方程。 在均匀介质中，n为常数，因此，路径方程可以写成： 积分上式可解得：，式中a和b是两个常矢量，s是路径的长度。因此，上式是一个直线方程，矢量b指出了光线的起始点位置，矢量a指出了光线的传播方向。 （补充图）2.3 光纤中光信号传输的几何光学解释 用几何光学方法分析光线传输原理，我们主要关注的问题是光束在光纤中传输的空间分布和时间分布，并由此得到数值孔径和时间延迟的概念。2.3.1 阶跃光纤中光线的传播1传播路径及光线分类 假设光纤为阶跃式，且折射率分布是均匀的，所以光线在纤芯内沿直线传播。当光线到达纤芯和包层界面时，按斯涅耳定律发生反射和折射，在一定的条件下，光线在界面上发生反射，则在纤芯内形成了沿折线路径传播的束缚光线。 此时光线由于入射方向的差异，必须区分为两种情况：一种是传播路径与光纤轴线相交的光线，称为子午光线，子午光线的路径是平面折线，在光纤横截面内的投影是长度为2a的线段，也就是光纤纤芯的某一直径。另一种是传播路径不与光纤轴线相交，称为偏斜光线。偏斜光线的路径是空间折线，在光线横截面内的投影是内切于一个圆的多边形。子午光线子午射线是在子午面（也就是包含光纤对称轴的平面）上传播的电磁波。子午射线又分为：束缚光线（局限在纤芯中沿光纤轴传播的光线）和非束缚光线（折射出纤芯的射线）。理想的阶跃折射率光波导中，子午光线传播机理的射线光学表示偏斜光线偏斜光线不在单一平面内而沿螺旋型路线在光纤中传播。在光纤中的轨迹是空间曲线，而不是平面曲线。沿光纤的螺旋线发生一次发射，方向角改变2，其中是反射点处的二维投影光线与纤芯半径的夹角。不同于子午光线，斜光线由光纤出射至空气的出现点依赖与光线发生全反射的次数，与光线的入射条件无关。偏斜光线分为：传导射线（类似于束缚光线，在光纤内部及表面传播）和泄漏光线（类似于非束缚光线，能量一边传播一边泄漏）。2数值孔径如前所述，无论是子午光线，还是偏斜光线，只有当满足一定条件的时候才能成为束缚光线并沿光纤轴向无衰减传播，而光线的起始倾斜角则由光线端面上光线的入射方向决定。可以根据Snell定律，为了表示光纤的收光能力，定义了最大收光角和数值孔径。假设当光线从空气中以入射角z投射到光纤端面上，如图所示，光线进入光纤以后，其传播路径与Z轴之间的夹角1，根据斯涅耳定律应有： ，所以可以得到： n1是纤芯折射率，n0是光线端面外介质的折射率。纤芯与包层的相对折射率差：。对于空气，如果从空气中入射到光纤纤芯端面上的光线被光纤俘获并成为束缚光线的最大入射角max必须满足上述条件。定义上述光线成为束缚光线的最大入射角的正弦即sinmax为光纤的数值孔径，记为NA，即：NA=。数值孔径NA是光纤的一个极为重要的参数，它反映了光纤俘获光线能力大小。NA越大，光纤俘获光线的能力就越强，光纤和光源之间的耦合效率就越高。一般光纤的NA值在0.140.5之间，通信光纤的NA值在0.10.2之间，对应的接收角为5.711.5。某些非通信应用的光纤，如光纤内窥镜的NA可能大于0.5（角度大于30）。但是，实际情况是过大的数值孔径会导致严重的多径色散。所以实际光纤的NA控制在一定的范围内。一般而言，斜射线的数值孔径和子午线的不同，比子午线的稍大。如果是斜光线，其数值孔径值为：其中，是光线能够发生全反射的最大入射角。由此可以看出，当NA一定时，斜光线的轴向接收角要比子午光线的大，这取决于cos(r)的值。实际上，对子午光线而言，cos(r)等于1，等于，虽然是子午光线的最大接收角，但它却是斜光线的最小入射角。3传播时延和时延差 光线在芯层中的传播速度为： ，c是自由空间的光速度，n1是纤芯的折射率。由于光线在纤芯内沿锯齿状路径传播，光线沿Z轴方向传播距离Z时，走过的实际路径长度为： 传播这段距离所需要的时间为 定义沿z轴方向传播单位距离的时间为光线的传播时延，用表示，则： 如果在纤芯中有两条束缚光线，他们与z轴之间的夹角分别为z1和z2，则在z轴方向单位传播距离时，它们所走的路径不一样，因而传播时延也不一样，两条路径传播时延差用表示，则有： 在所有可以存在的束缚光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线传播的光线，其z=0，而路径最长的一条光线则是靠近全反射临界角入射的光线，其倾斜角z=arcos(n2/n1)。这两条光线传输的时延差最大，称为最大时延差，记为max，易于证明： 由上式可以看出max与纤芯折射率和包层折射率之差n1-n2成正比，而较大的时延差将会导致严重的多径色散，引起光脉冲的传播过程中展宽，这在后面还将论述，所以实际的光线n1-n2值不宜过大。2.3.2 梯度光线中的光线的传播1折射率分布 阶跃式光纤结构简单，容易分析，其缺点是存在严重的多径色散效应。为了减小多径色散，可以将光线纤芯折射率做成渐变的。一般是让纤芯折射率从中心轴到与包层分界面单调下降，而且折射率是呈轴对称分布的，这样的光纤就称为梯度光纤。 梯度光纤的折射率分布可以写成：2路径方程 在以光纤轴为z轴的圆柱坐标（r,z）中，光线的路径方程可以写成三个标量方程： 如果仅仅考虑子午光线，则d/ds=0，则上式中第二式为恒等式。于是由两方程得到： 由上式中第二式可得： 由第一式可得： 将具体的折射率分布函数代入上式，即可求得子午光线的传播路径。进而求得其它需要的参数。3光线路径及光线分类 由于这种光纤的纤芯折射率从中心轴到与包层的分界面呈轴对称的单调下降分布，所以子午光线和偏斜光纤的路径都是周期性的曲线。其路径如图所示：偏斜光线的路径是螺旋状的空间曲线，它交替的为r=rtp（外焦散面的半径）和r=ric（内焦散面的半径）的圆柱面相切。rtp的大小由光线的起始倾斜角决定，起始倾斜角越大，rtp就越大。对于束缚光线，由于折射率渐变，光线路径还未达到分界面就会折返，这时的半径就是外焦散面的半径。如果rtp=a，则意味着光线到达纤芯包层分界面，这就是介于束缚光线和折射光线之间的临界状态。下面我们只限于讨论束缚的子午光线。4数值孔径 由于梯度光纤的纤芯折射率是半径的函数，因此其数值孔径也是半径的函数。根据数值孔径的定义，可以得到： 对于光纤轴，数值孔径取最大值。在接近纤芯包层处，数值孔径几乎为零。通常所说的梯度光纤的数值孔径是指其轴线上的数值。5传播时延 对于梯度光纤，光线沿曲线路径传播，其传播路径上任意两点之间的路径长度为：，其光程则为：， 光线的传播时间则为Lo/c。这是光线传播半个周期所花的时间，对于在z轴方向传播一个单位距离所花的时间，可以首先计算单位距离内所包含的半周期数量，然后与Lo/c相乘。 下面列举两种折射率分布的传播时延。（1）光纤的纤芯折射率按双曲正割函数分布，即： 采用相同的方法可以得到子午光线的传播路径为： 由此可见，子午光线是一簇周期性曲线。在z轴方向半周期长度，由上式很容易就可以得到：，该式说明，子午光线的传播时延与光线的起始条件无关，即以任何角度入射的光线，只要能满足束缚光线的条件，则在纤芯内传播同样的距离所花的时间相同。这种光线称为自聚焦光纤（Self-focusing Fiber）。但是这种光纤也仅对子午光线成立，还未找到能同时使得子午光线和偏斜光线同时实现自聚焦的光纤结构。（2）理想的双曲正割折射率分布的光纤也很难实现，所以在实际使用中常采用抛物线型光纤来减小传输时延差。假设光纤的折射率分布为： 这种折射率分布具有典型性，也就是所谓的抛物线型折射率分布。实际使用的梯度型光纤的折射率几乎都是这种规律分布。将此折射率分布函数带入前式可以求得，子午光线的传播路径为： ，式中是光线的外散焦面半径。由此可见子午光线的路径是正弦曲线。 进一步可以得到这种光纤中子午光线的传播时延差为：。由此可见，采用抛物线型折射率分布的梯度光纤，其传播时延差比阶跃光纤至少要小两个数量级，这意味着光纤的可用带宽至少可以提高两个数量级。2.4 阶跃式光纤中的模式理论 虽然几何光学的方法对光线在光纤中的传播可以提供直观的图像，但对光纤的传输特性只能提供近似的结果。光波是电磁波，只有通过求解麦克斯韦方程组导出的波动方程，分析电磁场的分布的性质，能更准确的获得光纤的传输特性。 在光纤的分析中，求上述亥姆霍兹方程满足边界条件的解，即可得到光纤中的场的解答，求解的方法主要有两种：标量近似解和矢量解。 1标量近似解的求解过程在分析阶跃式光纤时，假设光纤里的横向电磁场的幅度满足标量亥姆霍兹方程，求出近似解。这是一种近似，其前提是光纤的相对折射率差很小。很小的光纤称为弱导光纤，一般实际使用的阶跃光纤均满足这一条件。分析渐变光纤时，假设包层的尺寸无穷，边界不起作用，然后假设横向电磁场的幅度满足标量亥姆霍兹方程，求出标量近似解。采用标量近似解法可以得到光纤中各个模式的传输系数、模式的截止条件、单模传输条件、多模传输时的模式数量和模式功率分布等的简便计算公式。还可以利用这一方法来分析光纤的色散特性。采用标量近似解得到的光纤中的模式为标量模。这种方法可以使得分析大为简化，其结果也比较简单，便于应用。2矢量解的求解 矢量解是求满足边界条件的矢量亥姆霍兹方程的解答。矢量解中各个分量在直角坐标系中都满足标量的亥姆霍兹方程。而在圆柱坐标系统中，除、外，其它横向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解、的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量的关系，求其它分量。 在分析阶跃光纤时，纤芯和包层的折射率都是均匀的，所以矢量解是严格的分析方法，它可以得到精确的模式及分布，但是比较复杂。 对于渐变光纤，需要作一些假设，分析仍然十分复杂，需进行数值计算。采用矢量解得到的光纤中的模式为矢量模式。 光纤就是圆柱状的介质波导，其分析方法与微波技术中分析介质波导的方法并无本质差别。我们知道，波导中可以实际存在的电磁波都可以表示为特定的模式的叠加。这些模式可以分为传播模（或称为导波模）和截止模（或称辐射模）。 对于作为光信号的传输介质，我们主要关心的是导波模，包括模式的传输条件、模式的特征参数及传播特性、模式的色散特性、模式的场分布等特点。2.4.1 阶跃式光纤中的矢量模光纤波导中的电磁场方程 矢量解法是指用波动理论来解光纤中的问题。它是满足光纤边界条件的麦克斯韦方程的解。由于光纤是圆柱状波导，所以为了定量的描述光纤的结构和传输特性，采用以光纤中心轴为z轴的圆柱坐标系最为方便。假设光纤纤芯半径为a，折射率为n1，包层内半径为a，外半径为b，折射率为n2，在圆柱坐标系中，光纤的横截面的折射率分布为： 在圆柱坐标系中，电磁波的电场强度E和磁场强度H可以写成如下三个分量之和，即： 式中Ez和Hz满足标量波动方程。在圆柱坐标系中将横向拉普拉斯算符展开，可得： 将纤芯折射率和包层折射率带入上式，可得纤芯和包层的纵向场分量Ez和Hz。 电磁场的横向分量Er，E，Hr，H可以从麦克斯韦方程的标量式中解得，略去推导过程，这里直接给出结果： 求解光纤中的电磁场问题，第一步就是在已知的折射率分布条件，求出纤芯和包层中的纵向场分量Ez和Hz，然后再由求出电磁场的横向分量。根据纤芯和包层分界面上的电磁场边界条件，确定场解中出现的一些待定常数，最终完成求解过程。阶跃光纤中的矢量解1 场方程的解阶跃光纤纤芯和包层折射率n1和n2都是常数。纵向电场Ez和纵向磁场Hz满足同一方程。用代替Ez和Hz，则可以把Ez和Hz圆柱坐标系中方程写为： 式中kc2由前式定义。 采用分离变量法求解，假设方程式的解可以表示为： 式中R(r)只是r的函数，()只是的函数，因子e-jz表示电磁场解是沿光纤轴（即z轴）方向的行波，波的相位常数为。将其带入方程，求得： 在上式两边同乘，得： 式左边只是r的函数，右边只是的函数，而r，都是独立的变量，欲使本式对任何r和都成立，只有两边都等于同一常数才能可能。于是由上式方程的右边得到： 上式的解为： ()可以取，也可以取。由R(r)和()方程可得：式中，当时，上式是m阶Bessel方程，如果，则上式是m阶变态Bessel方程。在光纤纤芯中，折射率n1较大，可以假设，因而在纤芯中，上式的解可以表示为： 式中Jm(kcr)是m阶第一类贝塞尔函数，有时也称为m阶贝塞尔函数；Nm(kcr)是m阶第二类贝塞尔函数，又称为m阶纽曼(Neumann)函数。Jm(kcr)和Nm(kcr)都是用无穷级数表示的特殊函数。两类贝塞尔函数都是振荡函数，有无穷多个零点或根。 贝塞尔函数 变态贝塞尔函数 然而，根据贝塞尔函数的渐近特性，Jm(kcr)在宗量kcr很小时取有效值，而Nm(kcr)宗量kcr很小时的发散的。所以在纤芯内的场函数中不应包括Nm(kcr)，因为在纤芯轴上（r=0），Nm(kcr)发散，即：将R(r)及()的表达式代入前式，即可得到纤芯内的场解： 式中A1和B1是两个待定的常数，脚标“1”表示纤芯中的场，式中场量随变化的函数()，当Ez1的表达式中取时，Hz1的表达式中取；反之上式中，两个量必须取不同的变化。只有这样才能保证r=a，也就是纤芯和包层界面上的电磁场边界条件得以满足。在光纤包层中，由于折射率n2较小，可以假设，因而在包层中方程的解为变态贝塞尔函数，即： 式中，Im(cr)为m阶第一类变态贝塞尔函数，Km(cr)为m阶第二类变态贝塞尔函数。 这两类变态贝塞尔函数都是单调函数。Im(cr)是随cr增大的单调升函数，而Km(cr)则是随着cr增大的单调降函数。在宗量cr很大时，Im(cr)按指数规律增长，而Km(cr)则按指数规律下降。为了保持场量在包层中始终为有限值，所以场函数中只应包含Km(cr)，即： 于是包层中的场解可以写成： 式中A2和B2是两个待定常数，脚标“2”表示包层中的场，有关和的选取原则同前一样。 为了后面的运算方便，在纤芯和包层中的纵向场量表达式中，我们只选取和这两个解中的一个，例如，只取式中上面的一组解。引进两个新的特征参量U和W代替c和kc，其定义为：。于是纤芯和包层中的纵向场解分别为： 特征常数U和W与k0、n、之间的关系为： 用上面两式相减，可以定义另一个重要的特征参量： 该常数就是称为光纤的归一化频率，它与工作频率成正比，是一个无量纲的参数。 利用前式可以求得纤芯内外区域中的横向电磁场分量，也就是总共8个场分量。 场分量公式表明电磁场的纵向分量Ez和Hz在纤芯内沿半径方向用贝塞尔函数描述。场量在径向呈驻波分布。圆周方向，场量按和函数页呈驻波分布。M是贝塞尔函数的阶数，也就是场量沿圆周方向出现最大值的对数。沿z轴方向呈行波状态，波的相位常数为。包层中场量沿圆周方向的分布和光纤纤芯内的分布一样，可以保证包层和纤芯界面上的边界条件总可以得到满足。与纤芯中不同的是，包层中场量用第二类变态贝塞尔函数描述，在r较大时场量按指数规律迅速衰减，异保证电磁波能量主要集中在纤芯以及与包层的分界面附近。包层中的波具有表面波特性。如果这种特性不再存在，则在光纤中传播的电磁波就不再是导波，而成为辐射波。2边界条件和特征方程 在纤芯包层分界面上电磁场的切向分量必须连续。也就是在r=a面上必须有： 由前两个方程可得： 由后两个方程可得： 从中消去A、B两个常数可得： 上式中含有三个待求量U、W、，将它和特征常数关系式方程联立，即可求得已知光纤参量及工作波长的条件下求得光纤导波模式的特征参量。上式即为光纤或圆柱状介质波导的特征方程。 通常所用的光纤为弱导光纤，实际上，1，所以可以认为n2/n1=1，将此代入上式可得一个简化的特征方程： 式中m=0,1,2,。这就是弱导光纤中的特征方程。2.4.2 传播模式分类 根据上面特征方程中的m是否为零，以及“”的取法可以将光纤中传播的光波分为4中不同的模式，如果m=0，则可以得到TE模和TM模。如果m0，则可以得到EH模和HE模。下面分别进行讨论。1TE模和TM模 在特征方程中取m0，从前面的Ez和Hz的表达式可知，二者之中必有一个为零。如果Ez0，则在波的传播方向上电场强度为零，这就是所谓横电波模式，也就是TE模。如果Hz0，则在波的传播方向上磁场强度为零，这就是所谓的横磁波模式，也就是TM模。由于m=0，所以特征方程可以简化为： 这就是TE模和TM模的特征方程。式中的J，0(U)表示零阶贝塞尔函数的导函数。利用贝塞尔函数的递推公式： 利用上式，又可将TE模和TM模的特征方程写成： m=0，意味着场量不是的函数，即场量在光纤中呈轴对称分布。这就是说，只有场结构呈轴对称分布的电磁波，才有可能在光纤或介质波导中以TE波或TM波的形式存在。2EH模和HE模 如果m0，场量沿圆周方向按和函数分布，要使边界条件得到满足，则A和B都不得为零。即电磁波的纵向场分量Ez0，Hz0。也就是说，光纤中的非轴对称场不可能是单独的TE场，也不可能是单独的TM场。Ez和Hz同时存在的电磁场模式称为混合模。 m0时方程弱导光纤中的特征方程在取同一m值时，有两组不同的解，对应着两类不同的模式。在弱导条件下，方程右边取正号时所解得的一组模式称为EH模，而右边取负号时所解得的一组模式称为HE模。 根据上面的分类，弱导条件下，光纤中EH模和HE模的特征方程分别为： 利用贝塞尔函数的递推公式，可将上式改写成为： 模式的截止参数和单模传输条件 传播模又称为导波模，一个导波模式场的横向分布特点由m、U和W确定，纵向传播特征则由确定。参数m确定场量沿角方向场的分布规律。U确定纤芯内场沿半径方向的分布规律，W则决定场量在包层中沿半径方向衰减的快慢程度。、U、W之间的关系由给出，只要由特征方程解出其中的一个，其它两个便可求得，导波模的特征也就完全确定了。 一个导波模沿z方向无衰减传播（忽略材料自身的吸收损耗）的条件式U、W都是正实数。W为正实数时，包层中的电磁场沿半径方向几乎按指数规律快速衰减，W越大衰减越快，电磁能量就越集中在纤芯中。反之W越小，就有越多的电磁能量向包层中弥散。如果W20，该模式可以在光纤中传播。反之，如果V小于某一个模式的归一化截止频率Vc，则W20，该模式截止，称为辐射模。也就是需要满足的传输条件为：。 在所有的TE0n模和TM0n模中， TE01模和TM01模的归一化截止频率是最低的，为2.405；其截止波长是最长的，为： （2）EH模的截止参数Uc或归一化截止频率Vc根据EH模的特征方程为：将W0时，Km(W)的渐近式代入，可以得到上面的特征方程的右端为： 由此可以得到EH模的截止状态时，其特征方程应为：，也就是：。 但Uc0应舍弃，这是因为Uc0时，由Jm(Uc)的渐近式有： 所以在截止状态，EH模的特征方程应为：Jm(Uc)=0，截止参数Uc或归一化截止频率Vc是m阶贝塞尔函数的根，即：Uc=Vc=umm，m=1,2,3, n=1,2,3 式中m是贝塞尔函数的阶数，n是m阶贝塞尔函数根的序数。由m阶贝塞尔函数的第n个根所确定的EH模称为EHmm模。 几个低阶贝塞尔函数Jm(U)的头几个根。由它的根的特点，我们可以看出m0的情形，umn中最小的是u11=3.83171。这就是说：在EHmn模序列中，EH11模的归一化截止频率是最小的，其值为：Uc=Vc=3.83 EH11模的截止波长在EHmn模序列中是最长的，其值为： 仍考虑前面的例子，若a=4.0微米，0.003，n11.48，则EH11模的截止波长c0.75微米。这就是说，在此光纤中不仅1.31微米的光波不能以EH11模传播，而且0.85微米的光波也不能以EH11模传播。（3）HE模 HE模的特征方程为：当W0时特征方程的右端的渐近特性应区分为m=1和m2两种情况讨论。当m=1时，将K0(W)和Km(W)的渐近式带入特征方程的右端，得到： 这就是说m=1时，HE模在截止状态下的特征方程为：UcJ1(Uc)=0。 上式的解为Uc0和一阶贝塞尔函数的根u1n。由于U0时J0(U) 1，所以Uc0也是特征方程在W0时的一个解。以0和u1n为归一化截止频率的HE模，记为HE1n。 为了将Vc0的模作为第一个HE1n模即HE11模，HE1n模的截止频率参数则为：Uc=Vc=0, u1,n-1=0, 3.832,7.016 和EH模的截止参数相比，可以发现HE1,n+1模和EH1n模具有相同的归一化截止频率，所以HE1,n+1模和EH1n模是简并模。 需要特别指出的是HE11模，其归一化截止频率：Uc=Vc=0，截止波长：，这就是说HE11模不截止，它可以以任意低的频率在光纤中传播，是介质波导和光纤中的主模。HE11模的截止波长c=，这个结论仅是一个理想的极限。如果波长过长，则HE11模的能量将向包层中转移，传输损耗将加大，因而太低频率的波以HE11模传输也是十分困难的。 如果m2，将渐近式带入特征方程右边，则可得到： 而特征方程的左边可用贝塞尔函数的递推公式： ，和贝塞尔函数的降阶形式：将其简化： 由此得到HE模（m2）在截止状态时的特征方程为：，也就是说，对于m2的HE模，其归一化截止频率为：，其中m=2,3,4，n=1,2,3。同前面相比，可以看到HE2n模和TM0n模、TE0n模具有相同截止参数，他们称为简并模。 同样，当m=3时HE3n模的归一化频率是一阶贝塞尔函数的第n个根，和前面的结论相比，可以看到HE3n模与EH1n、HE1,n+1模的归一化截止频率相同，它们是简并模。 如果m4，HEmn模与EHm-2,n模的归一化截止频率相同，它们是简并模。综上所述，在所有的模式中，如果截止参数相同的模式划为一组，则截止频率从低到高可以将前34个模排列在下表中，每个模式组中所包含的模式数是这样计算的，TE0n模和TM0n模都是轴对称模式，所以每个TE0n模和TM0n模都只是一个模式，而所有的混合模，即HEmn和EHmn模，其场量在圆周方向的分布函数即可以取余弦，也可以取正弦，即每一个混合模都存在两个在空间相互正交的模式，它们都是二重简并的，所以在一个模式组内计算模式数量时都是二倍的。 可以看到，光纤的主模为HE11模，其归一化截止频率为零。次最低阶模为TE01模、TM01模和HE21模，其归一化截止频率为2.405。如果设计光纤，并选择工作波长，使得归一化工作频率满足：0V2.405。 则TE01、TM01和HE21模以及所有的高阶模都被截止，只有HE11模可以传播。这就是光纤中的所谓单模传输条件。由于归一化频率： 所以又可以将单模传输条件表示为： 例如：如果光纤a=4.0微米，0.003，n1=1.48，则对于1.31微米的工作波长，此光纤是满足单模传输条件的。这种光纤也就是称为单模光纤。 光纤通信系统的工作波长在1.31微米和1.55微米这两个低损耗波长窗口上，早期的长途光通信多ITUT建议采用G.652光纤，它以1.31微米为工作波长的。如果取0.003，n1=1.46，则此种光纤的纤芯半径应满足： 这就是通常将单模光纤的纤芯直径选在8-9微米的依据。 光纤中的导波模在远离截止状态时的性质，也同样可以通过归一化频率的条件讨论。（不作要求）2.4.4 传播模的色散曲线光纤中的传播模的特性由特征参数U、W、决定。U、W决定了导波场的横向分布特点，决定其纵向传播特性。如果给定归一化频率V，则可由各类模式的特征方程求得相应的U或W。然后由U、W的关系式求得： 改变归一化频率V的值就可求得不同的值，从而可以作出每一个模式的V曲线，这条曲线被称为光纤或介质波导的色散曲线。 电磁波传播的相速度：，式中c是自由空间光速度，而波的群速度则为：。 由以上两式可以看到，如果得到了V关系，也就等价于求得了波的相速度和群速度与波的归一化频率之间的关系，也就是说求得了导波模的色散特性。如果某个模式的V曲线是一条直线，则这个模式就是无色散的，但这种无色散模在介质波导中是不能存在的。 光纤和介质波导中所能传播的TE波、TM波和EH波、HE波都是色散波，它们的相位常数都是归一化频率的复杂函数，其相速度和群速度都是归一化频率的函数。这种函数关系可以从V曲线得到，所以称V曲线为色散曲线。 下图是几个低阶模的色散曲线，图中纵坐标是归一化相位常数，横坐标为归一化频率。从图中可以看出，对所有模式，截止时归一化相位常数趋于包层折射率n2；而远离截止状态时，趋于纤芯折射率n1。因而，导波模的相位常数的范围在：。低阶模的色散曲线2.4.5 导波模的场形图 对每一个确定的m=0, 1, 2, 3, 都可以求得各类模式特征方程的一个解系。每一个解都对应着一个或几个（简并时）确定的电磁场模式，都有完全确定的电磁场结构。求得了某个模的特征参数U、W及值，也就完全确定了这个模式的各个电磁场分量（除了一个振幅因子以外）。根据这些电磁场分量的表达式就可以做出该模式的场型图。几个低阶模在横截面内的场分布如图所示，图中的实线为电力线，虚线为磁力线。几个低阶模在横截面内的场分布图中各个模式电磁场的电力线和磁力线分布