相似三角形竞赛试题.doc

001例2 如图 2-77所示在ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而EFAB证 过B引BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H因为AE是BAC的平分线，所以BAE=CAE因为BGAC，所以CAE=G，BAE=G，所以 BA=BG又BDAG，所以ABG是等腰三角形，所以ABF=HBF，从而ABBH=AFFH又M是BC边的中点，且BHAC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以 ABAC=AFFH因为AE是ABC中BAC的平分线，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC)由合分比定理，上式变为AMMB=FMME在MEF与MAB中，EMF=AMB，所以MEFMAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)所以ABM=FEM，所以 EFAB002例3 如图2-78所示在ABC中，ABC=124 即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=ABAC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC相似，期望能解决问题证 延长AB至D，使BD=AC(此时，AD=ABAC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED下面证明，ADEABC设A=，B=2，C=4，则A+B+C=7=180由作图知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2EBA，AEBE又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以 ABCDAE，003所以004例4 如图2-79所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH.分析 要证QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ与DHC应该相似证 在RtPBC中，因为BHPC，所以PBC=PHB=90，从而 PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为ABC=BCD=90，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因为BHQQHC=90，所以 QHD=QHCDHC=90，即 DHHQ005例5 如图2-80所示P，Q分别是RtABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PMQM求证：PB2QC2=PM2QM2分析与证明 若作MDAB于D，MEAC于E，并连接PQ，则PM2QM2=PQ2=AP2AQ2于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2， 等价于PB2-PA2=QA2-QC2 因为M是BC中点，且MDAC，MEAB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，等价于(ADPD)2-(AD-PD)2=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， 等价于ADPD=AEEQ 因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等价于MEPD=MDEQ 为此，只要证明MPDMEQ即可下面我们来证明这一点事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可由于ADME为矩形，所以DME=90=PMQ(已知) 在的两边都减去一个公共角PME，所得差角相等，即PMD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，从而成立，则原命题获证006例6 如图2-81所示ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米求：FM，MN，BN的长解 取AF的中点G，连接DF，EG由平行线等分线段定理的逆定理知DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA 所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又在BDF中，E是BD的中点，且EHDF，所以因为EHAB，所以NEHNAB，从而显然，H是BF的中点，所以故练习十六0071如图2-82所示在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分线求证：ABAC=BDDC2如图2-83所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC3如图2-84所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2PAPC(提示：设法证明PABPBC)4如图2-85所示D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AEEB=21求证：CEAD5如图2-86所示RtABC中，A