《线性代数》第一章行列式精选习题及解答.pdf

第一章第一章 行列式行列式 1 1 目的要求目的要求 1 会求 n 元排列的逆序数 2 会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式 3 深入领会行列式的定义 4 掌握行列式的性质 并且会正确使用行列式的有关性质化简 计算行列式 5 灵活掌握行列式按 列 展开 6 理解代数余字式的定义及性质 7 会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性 唯一性及求出方程组的解 1 2 重要公式和结论重要公式和结论 1 2 1 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 n 阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 n n nppp t ppp aaa 1 21 21 21 其中是 n 个数 12 n 的一个排列 t 是此排列的逆序数 表示对所有 n 元排列 求和 故共有 n 项 n ppp 21 1 2 2 行列式的性质行列式的性质 1 行列式和它的转置行列式相等 2 行列式的两行 列 互换 行列式改变符号 3 行列式中某行 列 的公因子可提到行列式的的外面 或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行 列 4 行列式中若有两行 列 成比例 则该行列式为零 5 若行列式的某一行 列 的元素都是两数之和 则此行列式等于两个行列式之和 即 nnnn inii n nnnn ininiiii n aaa aaa aaa aaa bababa aaa L MMM L MMM L L MMM L MMM L 21 21 11211 21 2211 11211 nnnn inii n aaa bbb aaa L MMM L MMM L 21 21 11211 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行 列 对应的元素上 去 行列式的值不变 1 2 3 行列式按行 列 展开行列式按行 列 展开 设 D 为 n 阶行列式 则有 n K jk ikaA 1 ji jiD AaAaAa jninjiji 0 2211 n K jk ikaA 1 ji jiD AaAaAa jninjiji 0 2211 其中是的代数余子式 st A st a 1 2 克拉默法则克拉默法则 如果线性非齐次方程组 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa L MMMMM L L 2211 22222121 11212111 的系数行列式 则方程组有唯一解0 D D D x 1 1 i 1 2 n 其中是 D 中第 i 列元素 即的系数 换成方程中右端常数项所构成的行列式 i D i x 2 如果线性齐次方程组 0 0 0 2211 2222121 1212111 nnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa L MMMMM L L 的系数行列式 则方程组只有唯一零解 若齐次线性方程组有非零解 则其系数行 列式 0 D 0 D 1 2 5 一些常用的行列式一些常用的行列式 1 上 下三角形行列式等于主对角线上的元素的积 2 设 kkk k aa aa D L MMM L 1 111 1 nnn n bb bb D L MMM L 1 111 2 则 21 11 111111 1 111 0 DD bbcc bbcc aa aa nnnnkn nk kkk k LL MMMMMM LL L MMM L 3 范德蒙行列式 1 11 1 11 2 1 1 21 ij nji n n nn n aa aaa aaa cba0 1 222 cba0 ac 0 0 cba 0 1 222 A 若73 BA 则 T ABE 2 1 12 设 则 653 042 001 A 1 2AE 13 解方程组0 1 1 1 1 2 2 2 22 1 2 11 2 n nnn n n n bbb bbb bbb xxx L MMMM L L L 其中为各不相同的常数 n bbbb 321 L 14 证明 21 22221 11211 xaxaxa xaxaxa xaxaxa dx d nnnn n n L MMM L L n i nnnn inii n xaxaxa xa dx d xa dx d xa dx d xaxaxa 1 21 21 11211 L MMM L MMM L 15 设 x xx xxx xg 620 321 3 32 求 x g 16 设 171312 31533 111 852 22 xxx xxxxg 试证 存在 1 0 使得0 g 17 证明 奇数阶反对称矩阵的行列式为零 18 设zyx 是互异的实数 证明 0 111 333 zyx zyx的充要条件是0 zyx 19 设 4322 3211 4311 3151 A 计算 44434241 AAAA 的值 其中是 4 3 2 1 4 iA i A的代数余子式 20 利用克莱默法则求解方程组 32 322 22 321 321 321 xxx xxx xxx 21 求极限 110 1cossin 321 2sin 123 1 lim 23 0 xx xx xx x 第一章第一章 参考答案参考答案 1 4 独立作业独立作业 1 4 1 基础训练基础训练 1 C 2 B 3 C 4 A 5 B 6 解解 17092 14251 2000 20007092 20004251 90927092 62514251 5682000 7 0 8 解解 0 1 1 1 312111 cb ca cb AAA 故答案为 0 9 解解 因为在此行列式的展开式中 含有的只有主对角线上的元素的积 故答案为 10 解解 由范德蒙行列式得行列式的值为 288 3 x2 11 解解 0 2222 2222 9753 16941 131197 11975 9753 16941 49362516 3625169 251694 16941 12 解解 xy x yx x xy y yx y xy yx yx xy D 0 00 0 0 00 0 00 00 00 00 22222 yx xy yx x xy yx y 13 解解 013 120 101 4 2000 0013 0120 0101 2 20000 12000 00013 00120 00101 D 20 31 12 4 313 120 001 4 14 解解 y z xzxy xzyxz xyzxy yzx xyz zxy yzx 1 1 0 0 1 1 1 1 xzzyyx 15 解解 52000 35200 03520 00350 00033 52000 35200 03520 00352 00032 52000 35200 03520 00352 00035 5200 3520 0352 0035 32 52000 35200 03520 00350 00033 20000 32000 03200 00320 00032 5 L665 16 解解 14131214 14131213 14131212 14131211 44342414 43332313 42322212 41312111 yyyyyyyx yyyyyyyx yyyyyyyx yyyyyyyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx yxyxyxyx 0 17 解解 1 3 2 1 1 1 32 21 1321 000 000 000 000 1 000 000 000 n n n nn nn n a a a a b aa aa aa bbbbb D L MMMMM L L L L MMMMMM L L L 12 2 21 1221 00 000 00 nn nn n aa a aa bbbb a L MMMMM L L L LL 121nn n n n Da a b aaa 1 21 n i i i n a b aaaL 18 解解 由第 列的ini 2 1L i x 1 倍加到第一列上去 n n i i n x x x x x x x D L MMMM L L L L MMMM L L L 000 000 000 111 1 001 001 001 1110 2 1 1 2 1 1 1 21 n i i n x xxxL 19 解解 4 3 2 1111 4 3 2 1 001 001 001 1 1111 1111 1111 1111 x x x xxxx x x x x 4 3 2 111 4 1 3 1 2 1 1 000 000 000 1 x x x xxx x x x x x x x 3214214314324321 xxxxxxxxxxxxxxxx 20 解解 2020 0120 0020 0021 222 2322 2222 2221 nnL MMMM L L L L MMMM L L L 202 012 002 nL MMMM L L 2 2 n 21 解解 211 121 111 1 211 121 111 211 121 112 L LLL L L L LLL L L L LLL L L n n n n Dn 1 101 011 001 1 nn L LLL L L 22 解解 由齐次线性方程组有非零解的条件可知 0 111 213 142 解之得 0 2 3 于是当 0 2 3 时 齐次方程组有非零解 0 1 02 3 0 1 42 321 321 321 xxx xxx xxx 23 证明证明 1 当时 结论显然成立 2 假设当1 nkn 时 结论成立 3 当时 1 kn 1 1 cos21000 1cos2000 00cos210 001cos21 0001cos2 k k D L L MMMMM L L L k k D cos21000 00100 00cos210 001cos21 00001 1 cos2 3 L MMMMM L L L L sin 2sin sin sin sin sincos2 sin 1sin cos2 1 kkk D k k sin 1 1sin k 故结论成立 1 4 2 提高练习提高练习 1 B 2 C 3 D 4 B 5 D 6 2 1 nn 7 44332112 aaaa 8 0 0 9 32 64 10 2 3 12 n 11 27 7 12 6 13 提示 用范德蒙行列式将行列式展开求解 答案为 i bx ni 2 1L 14 用行列式的定义和导数的运算法则 证明证明 1 11 1 21 22221 11211 2 21 1 xaxaxa dx d xaxaxa xaxaxa xaxaxa dx d n n pp ppp p t nnnn n n L L MMM L L L 1 111 1 2 21 1 xaxa dx d xaxa ni n ppp ppp p t LL L n i nnnn inii n xaxaxa xa dx d xa dx d xa dx d xaxaxa 1 21 21 11211 L MMM L MMM L 15 利用 14 的结论进行计算便可得结果 答案为 6 2 x 16 用罗尔中值定理证 证明证明 1 显然是多项式 故在上连续 在 xg xg 1 0 1 0 内可导 且 从而由罗尔中值定理知 存在0 1 0 gg 1 0 使得0 g 17 用行列式的性质 3 的推论 同济四版 18 证明证明 3333 33333333 001111 xzxy xzxy xzxyx xzxyx zyx zyx 0 11 2222 zyxyzxzxy xxzzxxyy xzxy 由于zyx