二项展开式中哪项系数最大最小.pdf

年第 期中学数学教学 勿 展开式中哪项系数最大 最小 安徽粱湖四中 郭德智 邮 编 的 二项式 系数和二项展开式 中各项的系数是两个不 同的概念 现行高中数学课本中关于二项式系数介绍 得比较详细 但对二项展开式 中各项的系数的一些特 点却没有提 到 本文就 的展开式中各项 系数 的一些性质 作部分 的研 究 并举例说 明运用本文所研 究的这些性 质给解某些类型的题目所带来的方便 约定文中 均为任意非 零 实数 为自然数 和 分别为展开式 中第 项和第 项的系数 项 类似性质 的证 明过程 十 成 小 十 簇 十小 十 沪多 丁 一气尸一了 气 丫 一 黑 成 井王兴只二午 一 一 十 性质 记 秃 则 妙 的展开式 这是 一矛盾的结果 说明系数 绝对值最小 的项只 能在首项或尾项中出现 下面的性 质 将进一步揭示 这一问题的实质 中系数绝对值最大的项是 当 为非整数时 为第 目 项 左 为不超过 庵的最大整数 当掩为整数时 为第 泛项和第 项 证明设 妙 的展开式中第 项的系数 绝对值最大 性质 记 二 则 十 的展开 式中各项系数绝对值在 幻矜 的情况下 当项 数 成 时为单调递增 当 月 毛 成 十 时 为单调递 减 当 二 时 整体为单调递减 当 幻 时 整体为 单调递增 证明当 差 笋 时 一 即 一乡 川 一 一 川 一 化简得 川 一 一 一 化成 喊裂 粽挤 一 今裂 各留 一 一 一 一 镇 镇 刀一 一 一协 一 笠 矛 之 而从 犯一 十 上 业 其 州卜 一 一 一 一 嘴一亩 必 马 毛 由此可得 簇 簇花 显然 几 并且 十 为正 整数 所以 立即得到性质 的结论 仁 例 一 展开式中系数绝对值最大 的项是 第几项 二 二 三 卫土卫二 粼 一 令 为非整数 得 一 即 镇 灸 特 时 展开式中各项系数 绝对值为单调递增 同理可证当 幻 秃 护 时 展开式中各 项系数绝对值为单调递减 而当以 与 时 则可看成是上述情况的 特例 推论 十妙 的展开 式中系数绝对值最小 的 项是 当 司时为第 项 当 时 为第 项 当 时为第 项和第 十 项 虎 解 一 号 一 由性质 系数绝对值 最 大的项是第 项 例 二 展开式中系数绝对值最大的项是 第几项 解 一一 秃 万 恙从一产 等于子 为整截 产 筋 由性质 系数 绝对值最大 的 项是 第 项和第 编者注 当 为整数时 两种情况 必有其一 成立 情况一盛二 去 州 中 一 亡 盆 即 卜 一 习裂 十 一 中 卜 一 卜 即 二 十 十日 无论哪种情况皆有 一 一 要想找到 妙 展开式中系数绝对值最小的 中学数学教学 年第 期 数学 园地 错在哪里 责州务川 县务川 中学申学勃 禾福 邮编 题不等式护二尹妻 的解集是空集 则实数 的取值范围是 解法一原不等式可化为 入 t 或 I x十tO l一xZ 0 1一22 xZ Zt二 tZ 为空集 解法二不等式了 西妄 遥 x 的解集兄空 望冷 价于不等式丫i二牙 o 且 1一扩多 的条件下 t一 犷叮 xZ Zt二十tZ 恒成立 即 2x2 Ztx tZ一l o 恒成立 由 恒成立知 判别式 o 即 4 t z 一 8 广一1 丫万 一 或 一 丫2 由 I 之 t 0 1一扩妻O 得 断乏 决 为使不等式的 解集 为空集 则一t 1 但 t 1 不满足 x t1 应舍去 x十t 0 由 l 代l一xZ李0 t l一xZ xZ Ztx t 芯 但 t 为空集 行 不满足 了 士 裂 故 一 一飞簇 簇1 tZx Z十Ztx 十tz一1簇0 以上两种解法答案虽正确 但都有错 错在哪Ll 切 解法二 应用了补集思想 回避 了分类 讨论 使解题 过程简化 但解 法有错 错在由2扩十2 t 二十沙一 l 亘 成立 得判别式 因为 不是对 任意 eR 2 一 卜 若同时满足 的x使 不成立 即2x2 Zrx r 一 o 恒成立 则不等式的解集为空集 由 恒成立知 判 别式 0 即4t 一8 tZ一l 丫万或 一 护百 但 一 了万不满足 敌 丫厄 寸 不 等式 石二乎 x 的解集 Z tl十t 2一1 0 恒成立 事实上 当 工 满足 J 伟 一 f 户 月一 之 二 卜 且 2二2 Zrx tZ一l o 恒成 立时 有 可能二次函数 f x Zx Zt x tZ一l 与 x 轴有 交点 即 2二 十2 了 护一1 O在某区间恒成立只是 的必要条件 小 记 充分条件 解法一犯同样错误 正确解法如下 证明由性质2易知系数绝对 值最小的项必为第 l项或第n十l项 现将己l司 与 C 司 相比较 即得 推论的结论 例3 Zx一3刃3展开式中系数绝对值最小的项是 第几项 解 l a 卜 2 b 卜 3 即 I l b 由推论知 2 x 一3刃8展开式中系数绝对值最小的 项是第1项 性质1 性质2的灵活运用举例 例4求 3x一Zy l 的展 开式中 系数最大的项和 最小的项 k 4 由性质 l知第5项系数绝对值最大 而 t 二 C 尧 3 6 一2 2 3 C 0 第S J贞为 系数 最大的项 于是 3二一Zy 展开式 中系数最大 的顶为 TS C 3 二 一2夕 C I 3 2 x 夕 第 4 项与第 6 项系数显然为负 由性质2知系 数最 小的项必为这两项中的一项 a l 一 3 b